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Full text of "Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions"

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TRAITÉ ÉLÉJIENTAIRE , 

DE 

GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIONS 

ET INTRODUCTION. 

A LA GÉOMÉTRIE An DIMENSIONS, 

PAU 
B. JODFFRET, 

Licuteaant-Colonel d'Artillerie, «e retraite, 

Aocîen Élive de l'École Poljtechajqne, 

Oincierde U Ugioo d'honnent. 

Oriicier de l'InstructioD pnblique, 

Membre de )a Société mathémiUque de France. 



PARIS, 

GAUTIUER-VILLAItS, IMPKIMEUR-LIBRAIItR 

UBCAD DES LONGITUDES, OB l'ÉCOLB P0LÏTBCONIQD8, 
Quai dei Gmnds-AugustiHS, SS. 



r* 



r # 



TRAITE ELEMENTAIRE 



DS 



GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIONS. 



, 



VI AVANT-PUOPOS. 

M. Poincaré en donne Texplication suivante. La conception 
que nous avons de Tespace a pour base une image qui se 
forme sur notre rétine et qui a deux dimensions. L'idée d'une 
troisième dimension résulte de Teffort d^accommodation qu'il 
faut faire avec nos yeux et de la convergence qu'il faut leur 
donner; elle dépend de ces deux indications qui sont dis- 
tinctes, mais qui se trouvent toujours concordantes et équiva- 
lent ainsi à une seule. Ceux des éléments de nos sensations 
visuelles qui concourent à former en nous la notion de l'es- 
pace sont donc, en définitive, des fonctions de trois variables 
indépendantes, et c'est de là que viendrait le sentiment de trois 
dimensions. On conçoit d'ailleurs la possibilité d'un état de 
choses tel que les deux indications qui constituent ensemble 
la troisième variable soient indépendantes l'une de l'autre 
au lieu d'être liées entre elles par une relation constante; alors 
nous attribuerions sans doute quatre dimensions à l'espace 
visuel. 

Voici une autre explication, d'après Hinlon. 

L'analyste peut, ou du moins a pu jusqu'à nos jours, inter- 
préter les phénomènes de la Nature avec la conception sui- 
vante de l'espace. Pour lui, celui-ci n'est pas autre chose 
qu'un Système de trois variables, qu'il appelle des dis^ 
tancesy ou des coordonnées (*), et auxquelles il demande uni- 
quement de pouvoir prendre toutes les valeurs imaginables, 
chacune indépendamment des deux autres ; un point de l'espace 



Géométrie {Bev. de mélaph. et de morale, iSgS, p. 63 1, 646 et 1897, p. 66). — 
Nbwcomb, The philosophy of hyperespace {Bull, of the amer, math. 
Society, fév. 1898. — Hinton, Many Dimensions, dans Scientific BomanceSy 
in-ia. Londres, 1896. 

V Étude sur Vespace et le temps, par Lechalas, Ingénieur en chef des Ponts- 
et-Chau8sées (in-8", Paris, 1896), est un excellent exposé de la question de l'Es- 
pace; il faut que Ton voie aussi la discussion de ce livre, par L. Gouturat, 
dans la Bev, de métaph, et de morale, 1896, p. 646 à 669. 

(*) Leur signification absolue lui importe peu et il peut même la changer 
sous certaines conditions; voyez §§ 17, 18 et 19. 



AVANT-PROPOS. VII 

n'est pour lui qu'un système de valeurs déterminées de ces 
trois variables, et la connaissance du monde matériel que 
celle des relations qu'elles ont entre elles et avec le temps, 
dans un certain ensemble de circonstances appelé phénomène. 
C'est sur cette base qu'ont été édifiés les immortels travaux 
de Laplace, Lagrange, Poisson..., etc. 

Trois variablesy voilà donc à quoi se réduisent, en fin de 
compte et en combinant leurs effets, les mille et mille causes 
qui se jouent autour de nous et engendrent tout ce qui nous 
fait jouir ou souffrir. Peut-être est-ce tout simplement ce 
fait qui, senti confusément par l'esprit de nos pères, s'y serait 
fixé, à la longue, sous la forme plus ou moins gratuite d'une 
chose appelée espace et douée de trois dimensions, d'ailleurs 
assez imprécises : par une de ses opérations favorites, ledit 
esprit aurait substitué cette chose concrète au système analy- 
tique abstrait, * 

Ce cas n'est pas le seul où l'on aurait vu l'instinct popu- 
laire devancer le mathématicien; voyez, par exemple, ce 
qui est dit au sujet de « Treize à table » dans les Contes de la 
veillée de Ch. Nodier et, par M. Dormoy, dans le Journal 
des Actuaires français, fascicule de janvier 1875, p. 62. 

Or il se trouve que les trois variables ne suffisent pas à 
l'Analyse depuis que, de plus en plus puissante et exigeante, 
elle a porté ses recherches dans le monde des petites dimen^ 
sions, que nos pères ignoraient; la raison de cette insuffi- 
sance est qu'une étude plus approfondie lui découvre des 
effets dont les causes étaient jusque-là comme inexistantes. 
Dès lors, elle est amenée, bon gré mal gré, à remplacer pour 
ces nouvelles éludes son système de trois variables par un de 
quatre. On verra plus loin(*) que la quatrième, qui n'inter- 
vient qu'à propos de très petites grandeurs et de très petits 



( * ) A la Aq' de TAvant-propos et au § 48. 



VIII AVANT-PROPOS. 

mouvements, se traduit, au concret, par une quatrième épais- 
seur très petite. Plus l'étude de la Nature deviendra minu- 
tieuse, plus il faudra, comme dans les Méthodes d'approxima- 
tions si/ccessives, augmenter le nombre des variables et, en 
conséquence, celui des dimensions spatiales, au moins dans 
Tordre de petitesse considéré. 

Si cette seconde explication est la bonne, ne pourrait-il pas 
se produire progressivement, dans notre mentalité mise aux 
prises avec des causes de plus en plus nombreuses, une 
transformation correspondante à celle de l'Analyse et ayant 
pour résultat de donner à nos lointains descendants la sensa- 
tion de se voir, et de concevoir l'espace, avec quatre dimen- 
sions ? 

Le géomètre conçoit l'espace divisé en une infinité de tran- 
ches infiniment minces qu'il appelle des plans, celles-ci en 
une infinité de bandes infiniment étroites qu'il appelle des 
droites, et celles-ci en une infinité de segments infiniment 
courts qu'il appelle des points. Quelquefois, ce qu'il appelle 
plans, droites ei points, c'est, nonpasles /ra/ic/re^, les bandes 
et les segments eux-mêmes, mais les séparations, dénuées 
de toute espèce d'épaisseur et de réalité, que sa pensée voit 
entre eux. Ces divisions ou ces séparations, il en fait autant 
d'êtres particuliers qu'il écarte les uns des autres, avec ou 
sans les choses qu'ils contiennent ; il les déplace de toutes 
façons et les entrecroise à sa guise; il les peuple de figures 
créées par son imagination, liées entre elles par des lois dont 
il devient lui-même l'esclave. Suivant l'une ou l'autre manière 
dont la conception de ces sortes de cloisons, de tringles et de 
billes s'est formée en lui, il dit — que, sur les trois dimen- 
sions, il y en a une infiniment petite chez les plans, deux chez 
les droites, trois chez les points, — ou bien qu'au lieu d'avoir 



AVANT-PROPOS. lî 

trois dimensions, les plans n^ en ont que deiix^ les droites n*en 
quhine, et les points n^en ont pas. De toute façon, les divi- 
sions sont purement idéales, et elles peuvent être faites d'une 
infinité de manières. 

Prenant la série en sens inverse, c'est-à-dire à partir du 
point, la géométrie qui va nous occuper la poursuit plus loin 
que C espace. 

Celui-ci n'est également pour elle qu'une tranche (nous 
ne pouvons plus diversifier les mots et nous cueillons le der- 
nier laissé par la série commencée) qu'une tranche infini- 
ment mince au milieu d'une infinité d'autres espaces formant 
autant de ^ra/icAe^ pareilles dans une étendue à quatre dimen- 
sions. Espaces qu'à leur tour le géomètre peuple, déplace, 
entrecroise comme il l'entend. 

Nous appellerons étendue l'ensemble que forment ces 
espaces en nombre infini, et qui est leur contenant comme 
chacun d'eux est le contenant d'une infinité de plans, chacun 
de ceux-ci le contenant d'une infinité de droites, chacune de 
celles-ci le contenant d'une infinité de points. Rien n'empêche 
de considérer l'étendue comme étant englobée à son tour 
dans un champ à cinq dimensions, et ainsi de suite indéfini- 
ment. 

Telle est la conception des champs successifs. Chaque 
champ procède du précédent par une amplification de plus en 
plus grandiose. Infiniment grand relativement à celui-ci, il 
est infiniment petit vis-à-vis de celui dans lequel il est englobé ; 
sans limites suivant chacune des dimensions dont il est doué, 
il n'est plus qu'une chose évanouissante suivant une dernière 
qui lui fait défaut et qui existe en dehors de lui. 

Que sont les choses que contiennent ces champs succes- 
sifs? 



AVANT-PROPOS. 



Prenons, pour commencer, un des plans innombrables que 
notre pensée peut créer, on vient de voir de quelle façon : ce 
sera, par exemple, le plan horizontal sur lequel nous mar- 
chons, supposé prolongé indéfiniment dans tous les sens. Les 
choses qui sont dans ce plan ne sont que les sections faites par 
lui à travers des corps à trois dimensions occupant Tespace 
dans lequel il est plongé, ou bien les faces de contact, les 
affleurements de ces mêmes corps avec le plan. Nous y conce- 
vons bien encore des figures n'ayant pas cette origine, for- 
mées de lignes et de points ; mais celles-là, comme leur nom 
rindique et comme le plan lui-même, n'existent que dans 
notre pensée, par une abstraction de la troisième dimension 
à laquelle certains cerveaux ne s'habituent pas aisément. 

Toutes ces choses, intersections, affleurements ou figures, 
nous pouvons les concevoir se déplaçant et se transformant 
dans le plan sans restrictions ni Umites. Mais nous ne les conce- 
vons qu'avec les deux dimensions de celui-ci; dans le sens de 
la troisième dimension, elles n'ont comme lui qu'une épais- 
seur, ou nulle, ou infiniment petite, selon que le plan est conçu 
de Tune ou de l'autre des deux façons indiquées au début. 
Enfin, elles ne sont pas des êtres réels, qualité qui est l'apanage 
des corps à trois dimensions. 

Ce que le plan est dans l'espace, nous avons admis que 
celui-ci l'est à son tour dans l'étendue à quatre dimensions : 
il y est, vis-à-vis de la quatrième, comme une tranche (?) 
infiniment mince et absolument plate, comme un plan (?) qui 
serait infini suivant trois dimensions au lieu de l'être suivant 
deux seulement. Les mêmes conditions doivent être faites 
aux êtres qu'il contient. Chez tous, la quatrième dimension 
est nulle ou infiniment petite. Ceux qui ne sont pasdesyï^wre^ 
évoquées par notre pensée seront les intersections ou les 
affleurements de l'espace avec des corps à quatre dimen- 



AVANT-PROPOS. XI 

slons existant hors de lui au milieu d'êtres analogues dissé- 
minés dans rétendue à quatre dimensions. Ces derniers 
jouiront seuls de l'existence réelle; tous les autres : ceux qui 
ont trois dimensions, ou les solides, ceux qui en ont deux, ou 
les sur/aces, ceux qui n'en ont qu'une, ou les lignes, enfin, 
ceux qui n'en ont pas, ou les points, seront, comme on dit en 
philosophie, des êtres de raison, c'est-à-dire des abstractions 
n'existant que dans notre pensée. Ils pourront se déplacer 
et se transformer dans l'espace sans restrictions ni limites 
(cette fois, c'est à dessein que nous répétons les mêmes expres- 
sions), mais ils n'auront, comme lui, qu'une épaisseur nulle 
ou infiniment petite dans le sens de la quatrième dimension. 

Ils y seront à la superficie (*) pour un œil qui regarderait 

* 

l'espace comme nous pouvons regarder le plan qui est sous 
nos pieds. 

En outre, l'espace ne sera plus une chose absolue, une 
entité unique et nécessaire, mais une simple unité au milieu 
d'une infinité d'autres, et il faudra dire : notre espace^ pour 
spécifier celle de ces unités qui nous est dévolue. Qu'il les 
conçoive vides de toutes choses ou, comme le nôtre, peuplés 
d'univers, notre esprit ne peut a priori formuler aucune 
raison ni pour, ni contre l'existence de ces espaces congé- 
nères du nôtre, ni pour, ni contre celle de la vaste étendue 
qui embrasserait tout. L'observation n'en fournit pas davan- 
tage. Il semblerait donc que ce sujet doive être sans intérêt 
pour tout autre que le géomètre ou le métaphysicien ; on 
verra cependant qu'il peut en être autrement, et que ces 
autres espaces, qui forment avec le nôtre une seule et même 
chose, qui ont avec lui la même continuité que les plans d'un 
espace ont entre eux, peuvent, en dépit des apparences, ne pas 
lui être complètement étrangers, et expliquent plusieurs des 

(') Cette image sera précisée à la fin do l'Âvant-propos (p. xxviii). 



XII AVANT-PROPOS. 

grosses difficultés auxquelles se heurtent les sciences phy- 
siques. 

C'est dans ce sens, pour revenir à notre premier mot, que 
nous appartenons au monde des quatre dimensions, s'il 
existe. Et, s'il existe, il est soumis aux lois de la Géométrie 
que nous allons esquisser, comme le nôtre est soumis, avec 
les petits champs qu'il englobe, à celles de la Géométrie 
ordinaire. 

Anticipant un peu sur le développement logique des idées, 
et au risque peut-être de déconcerter quelques lecteurs, nous 
voulons citer dès à présent un exemple des modifications et 
des généralisations que la multiplication des champs apporte 
dans celle-ci : ce sont des résultats qui reparaîtront à leur 
place naturelle dans le Chapitre III. 

I* Par un point donné sur unplan^ on ne peut lui mener, 
dans notre espace, ^ une seule perpendiculaire; mais consi- 
dérez ce plan dans V étendue : vous pourrez alors lui mener, 
par le même point, une infinité de perpendiculaires, dont le 
lieu est un autre plan qui n'a que ce point commun avec le 
premier, et qui/i'a quune droite commune avec notre espace, 
nous ne voyons, nous, que celle-là et nous l'appelons la 
droite perpendiculaire au plan. 

2** Prenez encore une droite quelconque; pour nous, le lieu 
des perpendiculaires qu'on peut lui élever en un de ses points 
est un plan P; pour le géomètre à quatre dimensions, c'est 
un espace qui n'a pas d'autre point commun avec la droite 
donnée, mais qui contient, avec le plan P, une infinité 
d'autres plans perpendiculaires aussi à cette droite; son 
intersection avec notre espace est le plan P, que nous appe- 
lons LE plan perpendiculaire à la droite, ne voyant pas les 
autres. 



AVANT-PROPOS, XIII 

3*» Enfin, et ce dernier point nous sera déjà utile dans cet 
Avant-propos, Ton peut, en un point quelconque d'un espace, 
lui élever une perpendiculaire; elle est unique et déterminée; 
elle est parallèle à toutes les autres droites qui sont perpen- 
diculaires au même espace; et elle est perpendiculaire à 
toutes les droites et à tous les plans qu'on peut tracer par son 
pied dans celui-ci. L'on peut donc mener, par un point 
donné, quatre droites perpendiculaires entre elles, puis- 
qu'on en peut déjà placer trois dans l'espace ; celles-ci étant 
données, la quatrième s'ensuit, toujours la même et toujours 
déterminée. 

On voit combien la Géométrie à quatre dimensions élargit 
et synthétise le Chapitre de la perpendicularité entre droites 
et plans; et elle en ajoute un nouveau sur la perpendicularité 
entre droites, plans et espaces. 



II. — La non-perception. 

Le lecteur vient d'entrevoir des idées et des /ormes qui lui 
auront sans doute paru singulières. Les premières seront 
précisées au moyen d'équations, qui ne seront que la conti- 
nuation logique et naturelle de la Géométrie connue, et qui 
remplaceront, avec leur perfection coutumière, la termino- 
logie que le langage ordinaire ne nous fournit pas suffisam- 
ment. Les mêmes équations définiront les secondes, qui, sous 
le nom générique A'hypercorps, et les noms spécifiques 
àH hypersurfaceSy polyédroïdeSy etc., sont déjà riches d'une 
littérature abondante. 

On verra que ces configurations peuvent être représentées 
par des projections sur notre espace, au moyen de perpendi- 
culaires abaissées des divers points du corps sur celui-ci, tout 
comme les corps de notre espace peuvent être, au moyen de 



XIV AVANT-PROPOS, 

perpendiculaires, représentés par des projections sur un plan. 
Des modèles en relief de pareilles projections, qui sont des 
sur/aces ou des polyèdres, ont été construits en Allemagne 
et en Amérique, constructions coûteuses et encombrantes, 
auxquelles nous suppléerons par celles de la Géométrie des- 
criptive (Chapitre VIII). Mais si, avec une projection sur 
un plan, encore mieux avec deux projections sur deux plans, 
on n'a guère de peine à constituer et à voir par la pensée 
le solide de l'espace, il est de toute impossibilité de remonter 
de la projection d'un corps à quatre dimensions à ce corps 
lui-même, ni d^en concevoir les formes de quelque autre 
manière que ce soit. Notre esprit n'est pas capable de voir 
ces êtres avec des Jormes et dans des positions déterminées. 
Aucune des images matérielles qui nous entourent ne nous 
fournit de point d'appui ni d'élément de comparaison. 

S'il faut en croire l'auteur de A new era of thought (*), 
l'impossibilité n'existerait pas pour tout le monde; voici son 
texte lui-même, car il nous a paru trop difficile à traduire : 

« ... After many years of work, during which the conception 
» of four-dimensional bodies lay absolutely dark, at length, 
» by a certain change of the plan, the whole subject of four- 
» dimensional existence became perfectly clear and easy to 
» impart. 

» There is really no more difficulty in conceiving four- 
» dimensional shapes, when we go about in the right way, 
» than in conceiving the idea of solid shapes, nor is there 
M any mystery at ail about it. 

» When the faculty is acquired, or rather when it is brougth 
» into consciousness, — for it exists in every one in imper- 
» fect form — a new horizon opens. The mind acquires a 
» development of power, and in this use of ampler space as 

(') Ch. Howard Hinton. Londres, i883. 



AVANT-PROPOS. XV 

» a mode of thought, a path is opened by using that very 
» Iruth wliich, when first stated by Kant, seemed to close 
)) the mind within such fast limits. Our perception is subject 
» to Ihe condition of being in space; but space is not limited 
» as we at first think. » 

Quelques rares joueurs d'échecs ont la faculté de mener 
plusieurs parties simultanément et sans voir. N'ayant pas 
même une feuille de papier pour prendre des notes, le joueur 
qui accomplit ce tour de force est placé de manière à ne pas 
voir ses adversaires, placés eux-mêmes devant autant d'échi- 
quiers; un intermédiaire exécute sur ces échiquiers les mou- 
vements ordonnés par lui, et lui fait connaître verbalement 
les réponses. C'est ce qu'on appelle le Blinâfold-play. 
Philidor émerveilla ses contemporains en donnant des 
séances où il jouait ainsi trois parties contre les trois joueurs 
les plus renommés après lui, et quelques-uns de ces célèbres 
matchs nous ont été conservés. De noâ jours, on a vu succes- 
sivement, au lieu de trois parties, huit, douze, seize... et, 
tout récemment, vingt-deux! 

Quand, après de longues heures, toutes les parties sont 
finies, en majorité gagnées par lui, le héros (on peut bien 
lui donner ce nom) est en mesure d'en répéter tous les 
coups, et ils se chifirent par centaines !(* ) Comment son 
cerveau opère-t-il? A cette question, quelques-uns répondent 
que c'est une affaire de mémoire et de méthode, presque 
tous qu'ils regardent un échiquier avec ses pièces, dessiné 
dans leur pensée comme dans un miroir intérieur, suivant 



(') Voyez BiNKT, Psychologie des grands calculateurs et joueurs d'échecs^ 
Paris, iSq'i. — Le j4 décembre 1903, à Moscou, rAméricain Pillsbury a soutenu, 
dans ces conditions, vingt-deux parties; il en a gagné dix-sept, perdu une^ 
annulé quatre; il a Joué au total 676 coups en dix heures, sans voir I!I (Voy. 
La Stratégie de janvier 1908, aussi celle d'août 190a, etc.) 



XVI AVANT- PROPOS. 



l'expression de Taine; ils vous en feront un croquis, si vous 
le désirez. Une pareille faculté nous étonne beaucoup, mais 
nous sommes bien forcés de l'admettre, parce que nous en 
possédons des exemples relativement nombreux; celle dont 
il est question dans les lignes ci-dessus nous parait bien plus 
étonnante, et nous aimerions à en voir d'autres exemples 
que celui de leur auteur. 

M. Poincaré a dit, ironiquement sans doute : « Quelqu'un 
» qui y consacrerait son existence, pourrait peut-être arriver 
» à se représenter la quatrième dimension (*) ». 

Pour nous, nous avons déjà dit notre pensée. Elle est que 
le lecteur ne doit pas caresser Tespoir d'objectiver, comme le 
blindfold-player le fait avec les pièces de son échiquier men- 
tal, les êtres à quatre dimensions qui font l'objet de cette 
étude, ni les mouvements que nous leur imprimerons; qu'il 
épuiserait son cerveau dans de stériles efforts en cherchant à 
percer la tranche infinitésimale qui s'étend entre ces êtres et 
lui. S'il y a réellement quatre dimensions, notre esprit est 
confiné dans les trois premières. C'est l'axiome, également 
d'ordre empirique, qui remplacerait dans ce cas celui des 
trois dimensions, formulé au début de cet Avant-propos, et 
nous lui conserverons le même nom. 

Une pareille limitation n'est pas spéciale à la branche qui 
nous occupe. Le mathématicien n'est-il pas dans une situation 
analogue vis-à-vis de choses devenues tout à fait classiques et 
dont il tire un excellent parti : — les nombres infiniment grands 
et les Jigures infiniment éloignées^ dont'nous ferons quelque 
usage, — \q% racines imaginaires des équations et les figures 
imaginaires, avec lesquelles nous n'aurons presque rien à 



(') Bévue générale des Sciences^ 1H91, p. 77^1. — Cette boutade est expliquée 
et commentée par M. Poincaré dans une publication ultérieure : L* espace et 
la Géométrie [Revue de Métaphysique et de Morale ^ p. 63 1-646, 1895). 



AVANT-PROPOS. XVII 

faire? Toutes ces choses, il les admet au sens abstrait, sans 
être obligé pour cela d'en admettre la réalité concrète, ni 
même de la discuter; il peut les créer à sa guise à la seule 
condition de ne pas se mettre en contradiction avec lui-même. 
Dans ce domaine, il est Tégal de Dieu : Quidquid contradic- 
tionem non implicat, Deus potest (Saint Thomas). 

Sous ces réserves, nous parlerons habituellement de l'éten- 
due et des êtres à quatre dimensions comme si ces choses 
existaient réellement. Le lecteur voudra bien, de son côté, 
excuser les expressions, les images et les constructions, 
impliquant cette existence réelle, dont nous ferons usage 
pour faciliter notre exposition. 



III. — Les applications mathématiques. 

La non-perception des corps qui sont à l'extérieur de notre 
espace n'empêche nullement d'établir leur géométrie, c'est- 
à-dire les relations descriptives et métriques qu'ils ont entre 
eux et avec ceux que nous connaissons, et même avec ceux 
qui, de Vautre côté y peuplent les étendues supérieures. Le 
lecteur qui nous suivra dans ces curieuses régions de la 
pensée, dans ce pays qu'on a appelé la féerie des Mathéma- 
tiques^ s'habituera vite aux étrangetés qu'il rencontrera, 
parce que ces étrangetés sont d'accord avec la plus rigou- 
reuse logique. Nous ne chercherons d'ailleurs pas à les 
atténuer, pas plus que nous n'avons cherché à lui dissimuler 
la seule, mais réelle, difficulté de l'étude à laquelle nous le 
convions : celle de la non-perception. 

Et il se rendra compte de l'utilité d'une pareille étude. 
Qu'on ne croie pas, en effet, que la Géométrie des dimensions 
multiples n'a qu'un intérêt intrinsèque, et n'est qu'un beau 



XVIIl AVANT-PROPOS. 

terrain d'exercices de gymnastique mathématique, clos de 
toutes parts. Elle a exercé une influence sur la Science tout 
entière, où elle a désormais sa place marquée. Elle a élargi 
les idées sur la Géométrie ordinaire, qui n'en est qu'un cas 
particulier; ouvert de nouveaux aperçus sur la dépendance 
entre les théories qui concernent respectivement le plan et 
l'espace; mis entre les mains du mathématicien des méthodes 
d'investigation insoupçonnées jusqu'alors; fourni de nom- 
breux théorèmes au moyen du facile passage que certains 
artifices, appelés projection^ section y particularisation , 
établissent entre un champ et ses subordonnés; enfin, rendu 
plus abordables, en fournissant des énoncés simples et 
expressifs à des choses compliquées et abstraites, certaines 
parties fort difficiles de la Théorie des nombres, de celle des 
Fonctions algébriques, de celle des Substitutions, etc. 

Les Écoles d'aujourd'hui ont une tendance marquée, en 
Allemagne et en Italie plus encore qu'en France, à donner 
aux questions d'Algèbre la forme géométrique, à illustrer en 
quelque sorte, en les doublant d'une conception figurative, 
non seulement une relation entre des quantités pures, mais 
encore tout le corps de doctrine formé par un ensemble de 
pareilles relations. Les Leçons de Klein sur Vlcosaèdre, fai- 
sant entrer les polyèdres réguliers dans la Théorie des Sub- 
stitutions et dans la question de la Résolution des équations, 
sont le modèle du genre (*). On peut citer encore, du même 
auteur et dans le même ordre d'idées, les corrélations éta- 
blies entre certaines configurations géométriques et la Théo- 
rie des nombres (2), qui est regardée comme ce quMI y a de 



(') Klein, Vorlesungen ûber das Ikosaeder und die Au/lôsung der Glei- 
chungen vom fiinflen Grade, in-8», Leipzig, 1884. 

(*) Conférences sur les mathématiques faites au Congrès de Chicago, 
recueillies par Ziwet, traduites par Lauqel, grand in-8". Paris, 1898 (8« confé- 
rence). 



AVANT-PROPOS. XIX 

plus difficile, de laquelle on a dit que c'est la seule branche 
pure^ non souillée encore par le contact avec les applications. 

La Géométrie des dimensions multiples a le mérite de 
venir agrandir le champ dans lequel peut s'exercer cette ten- 
dance & combiner intimement ensemble la grandeur expri- 
mée par des lettres et celle qui a la ligne pour élément, ten- 
dance qui dénote et satisfait un véritable sentiment artistique, 
en même temps qu'elle donne du sujet une notion plus éten- 
due. Quand même on lui retirerait toute existence individuelle 
pour la réduire à ce dernier rôle et ne voir en elle, suivant 
l'expression de M. Badoureau ( * ), qu'une métaphore de V Al- 
gèbre générale, le rôle serait encore d'une extrême utilité. 

Les lignes suivantes, par lesquelles débute le livre de 
M. Poincaré sur VAnalysis situs (^), achèveront de la carac- 
tériser bien mieux que ce que nous pourrions faire. 

« La Géométrie à n dimensions a un objet réel, per- 
sonne n'en doute aujourd'hui. Les êtres de l'hyperespace sont 
susceptibles de définitions précises comme ceux de l'espace 
ordinaire, et si nous ne pouvons nous les représenter, nous 
pouvons les concevoir et les étudier. Si donc, par exemple, la 
Mécanique & plus de trois dimensions doit être condamnée 
comme dépourvue de tout objet, il n'en est pas de même de 
r Hy pergéo mé tr ie . 

» La Géométrie, en eJffet, n'a pas pour unique raison 
d'être la description immédiate des corps qui tombent sous nos 
sens : elle est avant tout l'étude analytique dUin groupe. Rien 



(*) L'espace géométrique et les espaces algébriques {Revue scientifique 
du 8 novembre 1890). On peut citer encore, bien qu'il n'y ait plus ici de com- 
binaison proprement dite, mais de simples rapprochements, la Théorie de la 
Toupie de Klein, où cet instrument sert de support tour à louràla Dynamique, 
aux fonctions elliptiques, aux quaternions etc. : Théorie des Kreisels, 
Tome I, 1897; Tome II, 1898; Tome III, à paraître. 

(■) Journal de l'École Polytechnique, 1895. 



XX AVANT-PROPOS, 

n'empêche, par conséquent, d'aborder d'autres groupes (*). 
)) Mais pourquoi, dira-t-on, ne pas conserver le langage 
analytique et le remplacer par un langage géométrique, qui 
perd tous ses avantages dès que les sens ne peuvent plus 
intervenir? C'est que ce langage nouveau est plus concis; 
c'est ensuite que l'analogie avec la Géométrie ordinaire peut 
créer des associations d'idées fécondes et suggérer des géné- 
ralisations utiles. » 

Pour finir, tout se passe, analjtiquemenl, arithmétique- 
mentj graphiquement, comme si la quatrième dimension 
existait au même litre que les autres. Que peut-on lui deman- 
der de plus? 



IV. — Les applications physiques. 

Si le lecteur bienveillant nous accompagne jusqu'au bout, 
il verra les idées qu'il a recueillies sortir du domaine pure- 
ment géométrique pour pénétrer dans celui des sciences phy- 
siques. Celui-ci se compose, il est vrai, d'êtres concrets, 
tandis que nous n'aurons manié jusque-là que des êtres de rai- 
son : le point et la droite, le plan avec tous les objets à une ou 
deux dimensions qu'il peut contenir, l'espace avec tous les 
siens à une, deux ou trois dimensions, ne sont pas autre 
chose, puisque nous avons reporté à ceux qui en ont quatre le 
privilège de l'existence réelle. Pour avoir le droit de les con- 
cevoir comme des êtres concrets, il n'y aura qu'à les com- 
pléter à quatre dimensions en leur donnant celles qui leur 
manquent, sous la condition que ces dernières aient une 



(*) Le mol Groupe est employé ici dans le sens, tout à fait défini, introduit 
dans la science par Galois; voir, par exemple, le Traité des Substitutions de 
Jordan. 



AVANT-PROPOS. XXI 

valeur négligeable comparativement à celles déjà existantes. 
Des portions d'espace, de plan ou de droite, et le point lui- 
même, seront ainsi des portions d^ étendue ayant respective- 
ment une, deux, trois ou quatre dimensions très petites. Nous 
ne disons plus infiniment petites^ comme en Géométrie : nous 
n'aurions encore que des êtres abstraits. Il faut que les 
dimensions ajoutées soient finies, très petites si vous voulez, 
aussi petites qu'on pourra le désirer, plus petites que toute 
valeur finie qui pourra être indiquée, mais finies. 

Revêtant ainsi la forme concrète, les principes de la Géo- 
métrie à quatre dimensions donneront une explication, 
incontrôlable à la vérité, mais éminemment simple et haute- 
ment rationnelle, de nombreux phénomènes dont ces sciences 
n'entrevoient même pas encore la cause directe. 

Nous voulons parler de ceux pour lesquels l'ancienne Phy- 
sique avait créé les vagues entités appelées Agents impondé^ 
râbles^ non moins transcendantes ni moins intangibles que la 
quatrième dimension, et quelanouvelle Physique, s' éloignant 
peut-être du but au lieu de s'en rapprocher, veut expliquer 
rien qu'en les considérant comme des mouvements d'atomes 
matériels. Le problème qu'elle s'est posé devient bien plus faci le 
à résoudre si, aux trois composantes de mouvements et de 
forces qu'elle peut appliquer déjà à ces atomes, il s'en ajoute 
une quatrième, dont nous avons fait entrevoir l'existence 
(p. xiii), suivant une direction perpendiculaire à chacune de 
celles-là ;comçossinie ne se distinguant en rien des premières 
et pouvant se combiner avec une d'elles pour former un 
système birectangulaire, avec deux pour former un système 
trirectangulaire, avec les trois pour former un système qua- 
drirectangulaire ; apportant ainsi au physicien des facilités 
inespérées pour engendrer les vibrations multiples qu'il veut 
voir sous les mots chaleur^ lumière, électricité, etc. 



XXII AVANT-PROPOS. 



Quoi de plus simple que cette extension de la Mécanique, 
bien définie dans son principe, facile dans ses applications, 
riche dans ses conséquences? Avec cette unique composante, 
sœur de celles qui nous sont familières à tous, ne satisfait- 
elle pas à la première condition de toute explication scienti- 
fique : Réduire au minimum le nombre des choses inconnais- 
sables? Que l'on compare à une pareille solution cette 
multitude touffue d'hypothèses arbitraires, artificielles, com- 
pliquées, contradictoires, improbables ou impossibles, toutes 
d'une admirable ingéniosité, mais ayant toutes, à l'un ou à 
l'autre bout, quelque chose que nous ne pouvons pas conce- 
voir : la matière sans forme d'Aristote, V atome « rigide dans 
sa compacte unité » de Lucrèce, Vhoméomérie d'Anaxagore, 
la matière subtile de Descartes et sa matière cannelée, les 
monades de Leibnitz, les centres de force de Boscowitch, 
Véther élastique et solide de Fresnel, Véther labile de 
Thomson, V atome-tourbillon du même, Yatome palpitant 
{sphère pulsating) de Hicks, les électrons de Larmor, etc. 

On remarquera d'ailleurs que l'axiome des trois dimensions 
(p. vi), n'est nullement mis en cause ici, car, de nature pure- 
ment empirique, il vise seulement les choses qui tombent 
sous nos sens. Or les choses hypothétiques que nous appelons 
atomes et vibrations atomiques, molécules et mou\^ements 
moléculaires^ ne sont pas dans ce cas; la réalité qui peut se 
cacher sous ces mots, quelle qu'elle soit, échappe absolument 
à notre observation; nous ne saurions donc l'assimiler à 
aucun degré aux particules matérielles et aux déplacements, 
si menus soient-ils, que nous pouvons percevoir et qui ont 
mis en nous cet axiome. 

D'autre part, le fait que la quatrième composante n'appa- 
raît que dans le champ ultramicroscopique suggère l'idée 
que les corps de notre univers auraient tous une certaine 



AVANT-PROPOS. XXIII 

épaisseur dans le sens de la quatrième dimension, mais que 
cette épaisseur serait extrêmement petite (* ). 



V. — Programme de l'Ouvrage. 

A la tête des savants qui ont exploré et fécondé la Géomé- 
trie des dimensions multiples, il convient de citer : 

En France, Suisse et Belgique : Camille Jordan, un des 
premiers en date et en importance, Halphen, Poincaré, Gour- 
sat, René de Saussure, Mansion ; 

En Italie, où cette branche est fort en honneur et où brille 
de nos jours une riche pléiade de mathématiciens : Aschieri, 
Bertini, Cassini, Castelnuovo, Cesàro, Fano, Loria, d'Ovi- 
dio, del Pezzo, Pieri, Segre, Veronèse; 

En Espagne : Galdeano; 

En Allemagne, Norvège, Autriche et Hollande : Bier- 
mann, G. Cantor, S. Kantor, Kelling, Hoppe, Klein, Sophus 
Lie, Lipschitz, Puchta, Rudel, Schlegel, Schoute, Schubert, 
Simony, Van Oss ; 

En Angleterre et aux États-Unis : Bail, Cayley, Cole, 
Hall, Heyl, Hinton, Lasker, Sylvester, Stringham, Spottis- 
woode, M"** Boole Stott. 

Les publications sur la matière forment, dans V Enseigne- 
ment mathématique du 1 5 mars 1900, une liste de 4^9 articles, 
qui pourrait déjà être augmentée quelque peu. Ces travaux 
sont dispersés dans les recueils les plus variés, écrits dans 
toutes les langues, composés aux points de vue les plus dis- 
parates, et la plupart ne s'adressent qu'à des lecteurs rompus 
au maniement de Tinstrument mathématique. Nous nous 
sommes proposé d'en réunir les principaux résultats en un 

( » ) Voir Chapitre IX. 



XXIV AVANT-PROPOS. 

ensemble méthodique, de lecture facile, de facture analogue 
à celle de nos Traités classiques sur la Géométrie. 

La théorie générale des champs fait l'objet de la Géométrie 
à n dimensions. Mais les questions se compliquent singu- 
lièrement à mesure qu'on avance d*un champ & l'autre. Nous 
nous confinerons dans celui du quatrième degré, que nous 
avons appelé Y É tendue ^ qu'on appelle aussi VHyperes- 
pace; nous ne le franchirons qu'une fois et qu'un instant : 
dans le dernier Chapitre. Ce n'est pas qu'il soit indifférept de 
l'étudier en le considérant comme un terme d'une série illi- 
mitée, ou comme clôturant le théâtre des spéculations géomé- 
triques, ainsi que le faisait jusqu'ici la Géométrie à trois di- 
mensions; c'est que le second parti, plus modeste, convient 
mieux à notre objet. 

Deux méthodes principales peuvent être et ont été employées 
pour cette étude : celle de Descartes et celle de Grassmann. 
La seconde, plus simple danà ses calculs, plus puissante 
comme instrument, mieux adaptée à l'être géométrique, doit 
être préférée en thèse générale (*). La première, plus élé- 
mentaire et plus connue, suffira pour notre cas particulier, et 
nous l'emploierons avec ses procédés classiques. 

La route pourrait être longue, mais nous l'abrégerons le 
plus possible. Des très nombreuses questions qui surgiront 
devant nous, quelques-unes seront peu intéressantes pour 
notre objet, qui est de tracer une fidèle y mais rapide 
esquisse : nous les mettrons délibérément de côté. D'autres 

(') On en trouvera une excellente exposition par M. Carvallo dans Nouvelles 
Annales de Mathématiques, 189a, p. 8-37, et, si Ion veut voir l'application à 
l'hyperespace, on peut lire : 

ScHLEQBL, Quelques théorèmes de Géométrie à n dimensions, dans Bulletin 
de la Soc. math, de France, 1882, 

JoLY, The associative Algebra applicable to Hyperespace, dans Proceedings 
of the /?. Irish Académie, 1878. 



AVANT-PROPOS. XXV 

auront du charme et de l'attrait : nous ne craindrons pas trop 
de nous attarder dans leur voisinage. Il y en aura de faciles : 
nous prierons le lecteur d'en chercher lui-môme les démon- 
sirations ou les solutions. Plusieurs ne pourront être appro- 
fondies qu'avec les puissantes ressources dont disposent seuls 
les mathématiciens de premier ordre : pour celles-là, nous 
nous contenterons respectueusement d'une exploration super- 
ficielle. En général, nous ne nous attacherons pas aux diffi- 
cultés de pure analyse, mais seulement à celles qui sont inhé- 
rentes à la quatrième dimension elle-même. 

Nous ne nous occuperons point des espaces non euclidiens, 
c'est-à-dire des Géométries, quel que soit le nombre de leurs 
dimensions, où Ton peut, par un point donné dans un plan, 
mener plus d'une parallèle à une droite donnée de ce plan 
(Lobatchewsky), et de celles où l'on n'en peut mener aucune 
(Riemann) (*). 

Nous laisserons également de côté la Mécanique. 

Les notions professées dans les premières leçons de Géo- 
métrie analytique^ voilà dès lors tout le bagage nécessaire à 
la personne qui nous suivra, et elle n'aura pas, nous osons 
l'espérer, à déployer cette attention soutenue et laborieuse 
que demandent souvent les Ouvrages de Mathématiques. En 
vue de ce résultat, nous avons lutté avec l'aridité du sujet 
pour tâcher de donner à la Géométrie, sans rien lui ôter de 
la précision dont elle est fière, un langage un peu plus imagé 
que celui dont elle se sert habituellement. 

Beaucoup de points seront d'ailleurs facilités par des repré- 
sentations graphiques, et ceci n'est peut-être pas un des 
moindres étonnements réservés au lecteur. L'être géomé- 



(*) On peut voir sur ces Géométries : Essai sur les principes fonda- 
mentaux de la Géométrie et de la Mécanique, par de Tilly, major d'artillerie, 
Bruxelles, 1879; Fondamenti di Geometria, par Veronese, Padoue; 1891. 



XXVI AVANT-PROPOS. 

trique à quatre dimensions, qui se dérobe si bien aux efforts 
de la pensée, semblerait devoir échapper de même à tout 
autre mode de représentation. Il est au (contraire saisi, 
aussi entièrement qu'on peut le désirer, par une Géométrie 
descriptive à base quadridimensionnelle,mais à constructions 
planes comme celle de Monge, avec toutefois plus de simpli- 
cité et d'élégance. C'est au point que certaines questions 
traitées par l'épure gagneraient, comme nous l'avons vu 
pour d'autres d'ordre abstrait, à être élargies, puis transpor- 
tées de l'espace dans l'étendue. Cette différence en faveur 
d'une des deux Géométries descriptives a sans doute sa rai- 
son dans la symétrie que le nombre quatre porte avec lui, et 
qu'on remarquera surtout au sujet des rotations (§ 15), si 
singulières dans le monde où nous allons entrer. 

Nous citerons nos sources. Nous indiquerons, autant que 
possible, les endroits où l'on pourra trouver les développe- 
ments devant lesquels nous aurons reculé, nous contentant 
alors d'ouvrir une fenêtre sur le vaste horizon, et de montrer 
les voies de pénétration (*). 

Peut-être trouvera-t-on que nous citons plus d'auteurs 
étrangers que d'auteurs français. C'est que, précisément» 
notre sujet a été beaucoup plus cultivé par les premiers; 
il est du reste moins facile au lecteur de les étudier par 
lui-même, ne serait-ce qu'à raison de la différence de 
langue. 

Tout en prenant un peu plus d'indépendance que si nous 
écrivions un Traité rigoureusement didactique, nous avons 

(') La plupart des travaux auxquels nous renvoyons sont contenus dans des 
recueils académiques, des publications périodiques, etc., dont le titre est 
souvent assez long. Dans le courant de FOuvrage, où la plupart se trouvent 
répétés plusieurs fois, nous mentionnerons ces titres sous une forme abrégée, 
mais nous les donneron in extenso dans une liste récapitulative placée à 
la fin (p. 209). 



AVANT-PRCPOS, XXVII 

voul u néanmoins présenter un ensemble méthodique et logique , 
où il n'y ait ni trop de lacunes, ni trop de superfluités, dont 
Ja lecture soit à la fois facile et profitable. Facile^ on vient de 
voir dans quelle mesure; profitable^ parce qu'une fois mise 
de côté l'utopie — ce mot ne fut peut-être jamais mieux à sa 
place — il doit rester de notre petit livre un certain nombre 
de faits généraux, de particularisations, d'idées synthétiques, 
de méthodes de raisonnement... intéressant les Géométries 
classiques. Il y aura probablement aussi quelques erreurs, 
car le passage des trois aux quatre dimensions n'est pas tou- 
jours aussi facile et intuitif que ce qu'on pourrait croire (*) : 
le lecteur voudra bien les mettre tout simplement de côté. 

Quoi qu'il en soit, voici quelles seront les principales étapes 
de notre voyage dans l'hyperespace : 

I. — Définitions. 
IL — Intersections et parallélisme. 

III. — Perpendicularité. 

IV. — Quelques théorèmes. 

V. — Système de coordonnées. 
VI. — Les angles. 

VIL — Les êtres de la Géométrie à quatre dimensions. 
VIII. — Les polyédroïdes réguliers. 
IX. — Les applications. 
X. — Hors de l'étendue. 

Avant d'entrer en matière, nous insistons pour qu'on n'ou- 
bUe pas le sens précis que nous donnons à chacun des mots, 
ESPACE et ÉTENDUE, la distinction essentielle et rigoureuse 
que nous faisons entre eux et que nous n'oublierons pas de 



(*) On peut citer comme exemples d'un pareil passage : \^ la question du 
Système de coordonnées, qui en est un des cas les plus simples (§20); 3* celle 
des Polyèdres (§ 36), un peu plus compliquée. 



XXVIII AVANT- PROPOS. 

notre côté : Celui-là est à celle-ci ce que le plan est à Tespace 
dans la Géométrie à trois dimensions, ce que la droite est au 
plan dans celle à deux, ce que le contenu est au contenant 
dans le langage ordinaire; la droite, le plan et l'espace ne 
sont que des portions élémentaires, respectivement, du plan, 
de l'espace et de l'étendue. 

Nous voudrions surtout que le lecteur se pénètre bien de 
ce dernier point, c'est-à-dire de la conception de Vespace 
comme élément infinitésimal de V étendue. Voici une dernière 
image qui contribuera peut-être à parfaire ce résultat. Comme 
la droite est divisée en deux parties infinies égales par un 
quelconque de ses points ; comme le plan l'est de même par 
une quelconque de ses droites et l'espace par un quelconque 
de ses plans; ainsi tout espace partage l'étendue en deux 
régions infinies, qui sont identiques entre elles, qui reposent 
sur lui de chaque côté, et entre lesquelles il forme une couche 
infiniment mince. 

Ce fait n'est nullement une fiction analytique : nos épures 
du Chapitre VIII lui donneront un corps et le feront toucher 
du doigt matériellement. Si l'on jette les yeux sur ces épures, 
on constatera nombre de fois qu'en effet tous les points, droites 
et plans situés dans un même espace se projettent sur une 
seule et même droite quand cet espace est, relativement au 
plan de projection, dans une certaine position qui sera définie 
(Chapitres III et IV) par le moi perpendiculaire. Que l'on 
prenne, par exemple, les deux figures suivantes, fragments 
de deux épures du§ 46. Ce sont les projections d'un icosaèdre 
régulier dont l'espace E se trouve dans cette position pour 
la seconde et en est voisin pour la première. Déjà fort dimi- 
nuées dans celle-ci, les dimensions transversales del'icosaèdre 
s'évanouissent dans la seconde : la projection n'y est plus 
qu'une droite 2-13, laquelle recevrait aussi tous les autres 



AVAMT-PROPOS. 



XXIX 



points de l'espace E (*). Un œil placé au point 1, hors de l'es- 
pace E, verrait au même niveau, comme nous le disions plus 
haut, toutes les parties du solide, tant intérieures qu'exté- 

Fig. I. 







' ■>■ C 



A 



— • — 



^09B 



1112 



-1J2....B 



B* 



rieures; aucune ne lui serait cachée par les autres, parce 
q\i*aucune des directions joignant deux points quelconques 
du corps ne sort de l'espace E et, par conséquent, ne peut 
coïncider avec celles 1-2, 1-3, 1-4, etc., du regard supposé. 
Il y aurait, entre la manière dont ce regard et le nôtre 
verraient Ticosaèdre, la môme différence qu'entre la manière 
dont un polygone serait vu par un œil confiné dans son plan 
et par le nôtre. 

On doit maintenant bien comprendre le sens de cette 
expression que nous employons faute d'autre : une épaisseur 



(*) On peut remarquer dès à présent, à Tinspection de ces figures, les difTé- 
rences que présentent les formes des projections dans la Géométrie descrip- 
tive à quatre dimensions et dans ceUe à trois : dans celle-ci, la figure supé- 
rieure ne peut pas être la projection d'un icosaèdre régulier, et la flgure infé- 
rieure ne saurait être celle d'aucun polyèdre. — Quatre des six pentagones de 
ricosaèdre (comp. la flg. 19, p. iio) ont été couverts de hachures dans la 
première figure tout simplement pour les faire remarquer et faciliter ainsi 
rintelligence de cette figure. — On verra, § 25, pourquoi les deux pentagones 
transversaux 3.4.^.6.7 et 8. 9.10.11.1a se projettent chacun en un point unique 
dans la seconde flgure. 



XXX AVANT-PROPOS. 

dans le sens de la quatrième dimension; c'est la portion 

d'étendue comprise entre deux espaces parallèles AB, A'B'. 
Elle correspond à la portion du plan comprise entre les deux 
droites parallèles suivant lesquelles ces deux espaces se pro- 
jettent sur un plan qui leur est perpendiculaire. L'une et 
l'autre grandeur a pour mesure la plus courte distance des 
deux droites. 



TRAITÉ 



DE 



GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE 

A QUATRE DIMENSIONS. 



CHAPITRE I. 

DÉFTNITIONS. 



§1. — Loi champi. 

Nous avons va que, sur le terrain purement géométrique, notre 
esprit éprouve quelque difficulté à juxtaposer des espaces pour 
former cet ensemble supérieur que nous avons appelé V Étendue, 
comme il juxtapose des points pour faire une droite, des droites 
pour faire un plan, des plans pour faire un espace. Sur le terrain 
analytique, le quatrième pas se franchit aussi facilement et aussi 
naturellement que les premiers. 

Comme la Géométrie analytique à deux dimensions et celle 
à trois, la Géométrie à quatre dimensions prend le point ^our l'ôtre 
analytique primordial. Et, tandis que la première le définit au 
moyen de deux coordonnées 

rapportées à un système de deux droites se coupant; tandis que 
la seconde le définit au moyen de trois coordonnées 

Xi, d?j, x^ 

rapportées à un système de trois plans se coupant; elle emploie 



2 CHAPITRE I. 

t 

quatre coordonnées 

On devine de suite, en poursuivant l'analogie, qu'elle va les rap- 
porter à un système de quatre espaces se coupant. Mais, précisé- 
ment à raison de la difficulté que présente la conception de la 
multiplicité des espaces, nous voulons laisser provisoirement de 
côté la question du système de référence. Nous n'y viendrons 
qu'au Chapitre Y, après avoir établi toutes les notions fondamen* 
taies, et ce sont celles-ci qui nous le donneront elles-mêmes. ■ 

De plus, nous substituons à nos quatre coordonnées quatre { 
équations linéaires simultanées 

A = ao~H^i^i-H ^j^î-H ûfjd:j-+- ai^Xt^= o, 
B = ^o4-^i^i-^- =0, 

C = Co -h C| J?i -h = o, 

[ D =6fo+C?ia?i-i- =0, 

les reliant entre elles et assujetties à la condition d'être distinctes 
les uns des autres et non incompatibles entre elles (c'est-à-dire 
d'avoir un déterminant différent de zéro). Sous cette condition, le 
système (i) est équivalent au système (a), puisque sa résolution 
donnerait quatre valeurs déterminées a?,, a?„ j?,, x^\ nous l'écri- 
rons habituellement ainsi, sur une seule ligne : 

(i) A = o, B = o, C = o, D = o. 

On appelle donc point l'être géométrique, quel qu'il soit et sous 
quelque forme qu'on veuille se le représenter, qui correspond 
à quatre valeurs x^^ x^, x^^ x^ appelées coordonnées et satisfaisant 
aux équations (i). 

On appelle en outre droite le lieu des points dont les coordon- 
nées satisfont à trois de ces équations : 

(2) A=:o, B = o, C=:o; 

plan, le lieu des points dont les coordonnées satisfont à deux: 

(3) A = o, B = o; 

espace, le lieu des points dont les coordonnées satisfont à une : 

(4) A = o; 



DfiFIlfITIONS. 7: 

enfla étendue, le lieu des points que Ton peut obtenir en donnant 
aux quatre coordonnées des valeurs quelconques, sans aucune 
condition. L'étendue se présente ordinairement sous la forme 

(5) A-i-X = o, 

X désignant une indéterminée. 

Les systèmes (i), (a), (3), (4) s'appellent respectivement les 
équations du point, de ta droite, du plan et de Vespctce, Nous 
comprendrons les trois dernières sortes d'êtres géométriques sous 
le nom générique de champ. Il y a une multitude infinie de 
champs de chaque sorte, et ils sont tous plongés dans l'étendue, 
qui est le contenant de toutes les configurations imaginables. 

La droite, champ du premier degi*é, contient un oo de points, le» 
points étant supposés, dans cette image, séparés les uns des 
autres par un intervalle fini quelconque. Le plan, champ du 
second degré, peut être considéré comme engendré par une droite 
se déplaçant parallèlement à elle-mSme pendant qu'un de ses 
points suit une autre droite qui est fixe ; il contient par suite 
un 00* de points. Vespace, champ du troisième degré, peut être 
considéré comme engendré par un plan se déplaçant parallèle- 
ment à lui-même pendant qu'un de ses points suit une droite fixe 
qui ne s'y trouvait pas contenue au départ ; il contient un oo' de 
points. Enfin Vétendue peut être considérée comme engendrée 
par un espace se déplaçant parallèlement à lui-même pendant 
qu'un de ses points suit une droite fixe qui ne s'y trouvait pas 
contenue au départ; elle contient un oo^ de points. 

Ces propositions, qu'on donne quelquefois comme des défini- 
tions,^ seront démontrées plus loin (§4), c'est-à-dire ramenées 
aux déQnitions que nous avons données et qu'expriment les 
équations (a), (3), (4) et (5). Nous les en rapprochons afin que 
le lecteur puisse, de suite, rapporter les bases de la nouvelle 
géométrie aux deux formes qui lui sont le plus familières. 
Elles montrent ce qu'il faut entendre quand on dit que la 
droite a une dimension, que le plan en a deux, l'eqtace trois et 
l'étendue quatre : ces nombres sont les exposants qui affectent 
le symbole oo dans leur énoncé, et correspondent, pour les trois 
premiers^ aux idées de longueur, de surface et de volume qu'ils 
évoquent. 



4 CHAPITRE I. 

Considéré sur une droite, le point a un degré de liberté ; il en a 
deux dans an plan, trois dans un espace et quatre dans Tétendue. 

Souvent on considère : 

Le point, comme un élément de droite, et Ton dit qu'il a une 
longueur infiniment petite dx^ ; 

La droite, comme un élément de plan et Ton dit qu'elle a une 
seconde dimension infiniment petite dxi\ 

Le plan, comme un élément d'espace, et Ton dit qu'il a une 
troisième dimension infiniment petite dx^ ; 

L'espace, comme un élément de l'étendue, et Ton dit qu'il a 
une quatrième dimension infiniment petite dx^. 

En un mot, au lieu de dire de la droite, du plan et de l'espace 
qu'il leur manque trois, deux ou une dimension, on dit alors 
qu'ils ont ces trois, deux, ou une dimension, infiniment petites. 



§ 2* — Espacei génératears. 

Si Ton prend les équations (3) d'un plan et qu'on les combine 

linéairement, on obtient une infinité d'équations de la forme 

> • 

(6) A + pB=o, 

p désignant une indéterminée. Les espaces représentés par ces 
équations ont le plan pour intersection commune, et nous les 
appellerons les espaces générateurs de ce plan. Leur ensemble 
s'appelle un faisceau d'espaces. 

Si l'on prend les équations (3) d'une droite D, et qu'on les com- 
bine linéairement, on obtient une infinité d'autres équations de 
la forme 

(7) A4-PB+tC=:o; 

les espaces représentés par ces équations ont la droite D com- 
mune, et nous les appellerons ses espaces générateurs. Ils se 
coupent deux à deux suivant une infinité de plans contenant 
aussi la droite D, et qu'on pourra appeler ses plans générateurs. 
D'autre part : i» Si l'on joint à l'équation A = o d'un espace A, 
une autre équation B = o, ou deux autres équations B = o, 
G= o, on aura, dans le premier cas un plan, dans le second une 
droite, qui seront contenus en entier dans l'espace A; nous dirons 



DÉFINITIONS. S 

que les plans et les droites ainsi obtenus sont les plans et les 
droUes de A; 2® Si Ton joint aux équations A = o, B = o, d'un 
plan P, une troisième équation G = o, on obtient l'équation d'une 
droite contenue en entier dans le plan P, et nous dirons de toutes 
les droites ainsi obtenues que ce sont les droites du plan P. 

L'observation qui suit est de nature à abréger souvent les rai- 
sonnements et les calculs. 

En plus des quatre coordonnées courantes j toute question com- 
porte des grandeurs qui sont déterminées invariablement et qu'on 
appelle les données, ou les constantes; d'autres qui ne le sont pas 
et qu'on appelle les arbitraires, les indéterminées, ou les incon- 
nues. La position de la question conduit à établir entre ces trois 
catégories de grandeurs des équations de condition, et c'est en 
éliminant de celles-ci les grandeurs de la troisième catégorie 
qu'on obtient le résultat cherché. Ce résultat n'est autre qu'un 
des systèmes (1) à (5), et, s'il n'a pas besoin d'être précisé numé- 
riquement, on pourra se dispenser, de faire les calcula de l'élimi- 
nation en appliquant le théorème suivant dont une première 
application se rencontrera au § 7. 

Lorsque les quatre coordonnées courantes a?,, j?,, a?3, xt, sont 
engagées dans un système de m équations linéaires en compagnie 
de valeurs arbitraires au nombre de 

//î — 4î le système reprcsento un point, 

m — 3, » » une droite, 

m — 2, » '» un plan, 

m — I, » n un espace, 

m, ou davantage, » l'étendue ; 

car l'élimination des arbitraires donnerait, dans les cinq cas, 
respectivement, 4, 3, 2, i ou o équations entre les coordonnées. 



§ 3. — Conditions déterminatives. 

Un espace est déterminé quand on donne quatre points qu'il 
doit contenir, — L'équation (4) contient, en effet, quatre para- 
mètres, qui sont les rapports de quatre de ses coefficients au cin- 



^ CflAPITIlK I. 

quième, et, si Ton y substitue successivement les coordonnées 
des quatre points donnés, on obtient quatre équations de condi- 
tion qui déterminent ces quatre paramètres. 

Il n'y a pas de contradiction entre cette conclusion et le fait 
qu'en vertu des équations (i) quatre points impliquent seize con- 
stantes. Quand il est dans un espace, chaque point a encore trois 
paramètres de détermination; des seize constantes, il en reste 
donc seulement i6 — 12 = 4 essentielles. 

Un plan est déterminé par trois points. — Considérons en effet 
un espace quelconque assujetti à passer par ces trois points. 
Cette condition donne, entre les quatre paramètres de l'équation 
générale (4), trois relations linéaires; éliminant trois coefficients 
au moyen de ces équations de condition, il reste dans l'équa- 
tion de l'espace un coefficient arbitraire. Elle est donc de la 
forme (6) 

A-hpB = o, 

et le plan A=:o, Br=o, intersection commune de tous les espaces 
qu'elle représente, passe par les trois points donnés. 

Bien que les équations A = o, B = o comportent ensemble huit 
constantes, le plan n'en demande en réalité que six pour être dé- 
terminé. En effet, toute combinaison linéaire de ces équations 
définit le même plan, de sorte quon peut leur substituer ces 
deux-ci : 

A-hpB — o, A4-?'B = o; 

il y a donc deux constantes arbitraires qu'il faut retrancher des 
huit constantes déterminant séparément les deux espaces, et il 
en reste six. 

Ces six constantes essentielles correspondent au fait que le 
plan est déterminé par trois points, et que chacun d'eux y a deux 
degrés de liberté. 

Deux points déterminent une droite. — Ensemble, ils impli- 
quent huit constantes, mais, comme chacun a un degré de liberté 
BUr la droite, il en reste six essentielles. En se reportant aux 
«équations générales de la droite, qui sont les équations (a), on 



DÉFINITIONS. 7 

voit aussi qu'elles contiennent ensemble douze constantes; mais 
on peut les remplacer par trois équations telles que les équa- 
tions (7), contenant chacune deux paramètres arbitraires, et il 
reste ce même nombre de 12 — 3x2 = 6. 

Enfin, le point, avec ses quatre coordonnées, dépend de quatre 
conditions. 

En résumé : 

Un espace est délenniné par 4 conditions, 
Un plan » 6 » , 

Une droite » 6 » , 

Un point » 4 » ; 

on remarquera la symétrie de ces nombres, sur laquelle nous 
aurons occasion de revenir (§§ 8 et 19). 



INTEKSECTIONS KT PARALLÊLISMR. 



CHAPITRE IL 



INTERSECTIONS ET PARALLÉLISME. 



§ 4. — Un espace et lei antrei champs. 

Pour Télude des intersections, nous avons à considérer succes- 
sivement les diverses manières dont les champs peuvent ôtre 
associés deux à deux, savoir : 

Deux espaces, 

Un espace et un plan, 

Un espace et une droite ; 

Deux plans ; 

Un plan et une droite, 

Deux droites. 

On verra que, sauf trois catégories de cas particuliers, qui 
sont : la coïncidence, le parallélisme et la présence simultanée 
dans un même champ, Tintersection est un plan dans le premier 
cas, une droite dans le second, un point dans les troisième et qua- 
trième, non existante dans les cinquième et sixième. Dans ces 
deux derniers cas, les deux champs ont une plus courte distance^ 
question que nous ne faisons qu'indiquer parce qu'elle ne com- 
porte que des calculs et ne présente pas de difficulté spéciale pro- 
venant de la quatrième dimension ; elle se placerait après le Cha- 
pitre de la perpendicularité. 

La discussion conduisant à ces résultats repose sur les faits 
suivants, acquis dans le premier Chapitre : Une équation linéaire 
unique entre les quatre coordonnées représente un espace. 
Deux, trois ou quatre de ces équations représentent deux, trois 
ou quatre espaces si elles sont indépendantes, et alors elles seront 



lO CHAPITHB II. 

écrites sur des lignes différentes. Elles représentent, dans ces 
trois cas respectivement, un plan, une droite ou un point si elles 
doivent être satisfaites ensemble, et alors elles seront écrites sur 
la même ligne ou réunies par une accolade. Enfin la simulta- 
néité de plus de quatre équations ne peut avoir lieu, à moins 
qu'elles ne rentrent les unes dans les autres. 

I. — DEUX ESPACES. 

L'intersection de deux espaces A = o et B = o est représentée 
par l'ensemble de ces deux équations : 

A=:o, B = o, 

et par conséquent est un plan. Mais il faut excepter les cas où Ton 

aurait 

ax cif flr, a^ 

alors les deux équations, ou sont incompatibles, ou rentrent l'une 
dans l'autre. 

C'est le second cas si le rapport 17 a la même valeur que les 

autres. Alors, en désignant cette valeur par X, la seconde équa- 
tion se présente sous la forme 

B = XA = o 

et ne diffère pas de la première; on dit que les deux espaces sont 
coïncidents. 

C'est le premier cas si le rapport -^ n'a pas la môme valeur 

Oq 

que les autres. Alors, en désignant par a une valeur différente de 
zéro, le polynôme B se présente sous la forme B = X A -*- a, et la 
seconde équation revient au môme que 

B = A-ha = o, 

car rien n'empêche de remplacer l'équation primitive A = o par 
X A = o. Dans ce cas, les deux espaces n'ont pas de point com- 
mun, et l'on dit qu'ils sont parallèles. 
Pour donner une application, démontrons les trois propositions 



1NTBRSBCTI0K8 ET PARALLÉLISXR. If 

énoncées au § 2, relativement à la génération du plan, de l'espace 
et de l'étendue, respectivement, par une droite, un plan et un 
espace se déplaçant parallèlement à eux-mêmes pendant qu'un de 
leurs points suit une droite fixe. Supposons d'abord que c'est 
une droite D, c^est-à-dîre le champ du premier degré, représenté 
par les trois équations (a). 

Puisqu'elle demeure parallèle à elle-même, tous les coefiicienls 
des coordonnées dans les trois équations sont des constantes et 
les termes portant l'indice zéro sont des arbitraires, au nombre 
de 3. Il faut exprimer : 

I* Que la droite D passe par un certain point variable M, c'est- 
à-dire que ses équations sont satisfaites quand on y substitue les 
quatre coordonnées de ce point; cela donne trois équations de 
condition et porte à 6 le nombre des équations, à 7 celui des 
arbitraires; 

2» Que le point M est toujours sur une droite fixe, c'est-à-dire 
que SCS quatre coordonnées satisfont aux trois équations de 
celle-ci; le nombre des arbitraires n'est pas changé, mais celui 
des équations est porté à 9. 

Nous avons donc, en définitive, un système de neuf équations 
dans lequel il y a sept arbitraires; la différence de ces nombres 
étant 3, le lieu est un plan, suivant le petit Tableau qui termine 
le §2. 

Si le champ mobile est un plan, le nombre primitif des équa- 
tions est 2 et celui des arbitraires 2 ; ces nombres deviennent res- 
pectivement 4 et 6 dans 1®, 7 et 6 dans 2*»; la difTérence finale 
est I , ce qui veut dire que le lieu est un espace. 

Si le champ mobile est un espace, on part avec i équation 
et I arbitraire; on porte ces nombres à 2 et 5 dans i*», à 5 et 5 
dans 2«, et, comme ces derniers sont égaux, le lieu n'est autre 
chose que V étendue. 

H. — UN ESPACE ET UN PLAN. 

L'intersection d'un espace 

A = o 

et d'un plan 

B=:o, C = o, 



13 CHAPITRE II. 

représentée par les trois équations réunies, est une droite. Mais 
il faut pour cela que l'espace ne soit parallèle à aucun des espaces 
générateurs du plan, lesquels sont donnés par l'équation géné- 
rale 

B H- 7 = 0. 

Ce parallélisme se réaliserait s'il était possible de satisfaire aux 
équations 

Gi Uf a^ a^ 

Il n'en sera ainsi que pour certaines combinaisons particulières 
de vafteurs des coefficients a, 6, c, dy puisqu'on n*a que deux arbi- 
traires a, Y pour quatre équations de condition. Dans ces cas 
particuliers, l'espace et le plan sont parallèles, et s'il se trouve 
qu'on ait aussi 

60 -4- Y Co 
= «1 

« ■ 

tous les points du second coïncideront avec des points du pre- 
mier, ce qu'on exprime en disant qu'i/^ est compris, 

III. — UN ESPACE ET UNE DROITE. 

On verra de la même manière que l'intersection d'un espace et 
d'une droite est un point, mais que la droite peut être parallèle à 
l'espace ou y être contenue. 

Il résulte de ce qui précède que l'intersection de trois espaces 
est une droite et celle de quatre espaces un point. 



Deux plans 



§ 5. — Deux plant. 



et ' 
B=o ( D=o 



se coupent en un point, qui est l'intersection des quatre espaces. 
Pour qu'un espace générateur du premier 

A4-pB=:o 



INTERSECTIONS V.T I*ARALULIS.)IE. i3 

et un espace générateur du second 

C + 8D — o 
soient parallèles entre eux, il faut que 

fft-4-3^i _ _ _ fl^»4- ^ bj _ 

C, -h (il C^ -h t d^ 

et, comme cela fait quatre équations de condilioti pour trois arbi- 
traires p, 8, a, le parallélisme en question n'existera générale- 
ment pas. Si toutefois les coefficients a, 6, c, ^ sont tels que ces 
quatre équations se réduisent à trois distinctes, il y aura deux 
espaces générateurs parallèles appartenant, Tun au premier plan, 
Tautre au second, et ceux-ci n*auront pas de point commun, au 
moins à distance finie. 
Si Ton a en outre 

^1 9C 

c'o 4- ^0 

ces deux espaces générateurs parallèles seront coïncidents : les 
deux plans se trouveront dans un même espace à trois dimen- 
sions et, comme on sait, ou ils se couperont suivant une ligne 
droite, ou ils seront parallèles, ou ils seront confondus en un 
seul. 

Si Ton veut formuler la condition pour que deux plans se 
coupent suivant une droite et non suivant un point, il faut écrire 
que la solution des quatre équations A=:o, B = o, C = o, D = o 

se présente sous la forme - : c'est une question de déterminants. 



§ 6. — Plans et droites. 

I. Un plan et une droite. — Dans le cas d'un plan et d'une 
droite 

A ^ [C = o, 

le nombre des équations est supérieur à celui des coordonnées, 
et il ne saurait être question d'intersection si elles sont distinctes. 



i4 CHAPITRE U. 

Il y aura généralementi dans ce cas, ua espace générateur du 

plan, savoir 

A-hpB=:o 

et un espace générateur de la droite, savoir 

G-h8D-heE = o 

qui seront parallèles. Car si Ton pose 

^1 ■+- P^i «* + P^* 

«k V "■"" • • • — ^ • • • — «k J — ^ * > 



le nombre de ces équations de condition se trouve juste égal à 
celui des arbitraires «, p, $, e. Si, après avoir déterminé celles-ci, 
il se trouve qu'on ait aussi 

les deux espaces générateurs parallèles coïncideront, la droite se 
trouvera avec le plan dans un môme espace à trois dimensions, 
et elle pourra le couper, ou lui être parallèle, ou s'y trouver 
comprise. 

IL Deux droites. — Dans ce dernier cas, on a les équations 

lA = o, lD=:o, 

I B = o, et E = o, 

( G = o, f Frzo. 

Ici encore, il ne saurait être question d'intersection ou de paral- 
lélisme, en thèse générale. Mais cette fois tout espace générateur 
d'une des deux droites a un parallèle parmi ceux de l'autre. En 
effet, pour que deux espaces générateurs 

A4-PB-+-yG=io, 
Dh- eE-htpF = o 

soient parallèles, il suffit qu^on puisse satisfaire aux équations 

^1 -+- eci 4- 9/1 ~" " * "" * " ~ " * ^4 -t- 6^4 + 9/4 ■" ' 
ce qui sera toujours possible, puisqu'elles sont au nombre de 



IlITBRSEGTIOlfS ET PARALLfiLISIIE. l5 

quatre et comportent ciitq arbitraire^s «, p, y> ^t ?• On pourra 
même, à raison de l'arbitraire en plus, satisfaire en même temps 
à Téquation 

et avoir ainsi un espace générateur qui contienne à la fois les 
deux droites. Il suit de là que tout système de deux droites se 
trouve entièrement dans un certain espace (champ du troisième 
degré) et par conséquent, si on le considère seul, ne relève que 
de la géométrie à trois dimensions. On sait par celle-ci, et il serait 
facile de démontrer en restant dans notre méthode d'exposition, 
que les deux droites n'ont pas d'intersection si elles ne sont pas 
dans un même plan et qu'alors elles peuvent se couper ou être 
parallèles. 

§ 7. — Les flgarei infiniment éloignées. 

Par analogie avec ce qui se fait dans les géométries à deux et à 
trois dimensions, on peut dire de deux champs parallèles que 
leur intersection est à V infini. Dans cette manière de voir, il 
faut considérer le lieu des points de l'étendue situés à l'inâni 
comme étant un espace E. Gela résulte de ce que, si l'on porte 
dans l'équation générale A = o de l'espace, les valeurs x^ = oo, 
j7s = Qo..., il suffit, pour la satisfaire, de donner à ao une des 
deux valeurs ±ao, et cela quels que soient les coefficients ai, ai, 
a,, a^. En sorte qu'un espace quelconque dont quatre points 
s'éloignent indéfiniment a toujours pour limite le même espace £, 
défini par l'unique paramètre a^ = oo, les autres étant arbitraires. 

Il suit de là que le lieu des points d'un espace situés à l'infini 
est un plan, que celui des points d'un plan situés à l'infini est une 
droite, et qu'une droite possède à l'infini un point unique; car ces 
divers lieux ne sont autre chose que les intersections respectives 
d'un espace, d'un plan, d'une droite, avec un espace : celui que 
nous avons désigné par E et appelé le lieu des points de V étendue 
situés à V infini. 

Comme ces résultats ont une apparence quelque peu paradoxale, 
il convient d'examiner la chose de près et de bien s'en rendre 
compte. 



|6' GDAPITHE II. 

Pour cela, prenons un point quelconque r dans un plan P, et 
faisons en partir des rayons suivant toutes les directions pos^bles, 
deux rayons opposés formant ensemble une droite. Le lieu 3 
des points situés à riaQni sur ces rayons est bien une droite, 
mais non la droite ordinaire, ouverte, ou euclidienne, que nous 
avons considérée jusqu'ici et que l'on considère habituellemeni . 
C'est la droite complète, ou fermée, ou riemanienne, entourant le 
plan comme ferait une circonférence de cercle (_fig. a), mais ne 




devant pas éLre confondue avec cette courbe. Car elle est bien du 
premier degré. Deux points la déterminent ( il en faut trois pour 
une circonférence), à moins que ce ne soient deux points opposés. 
c'est-à-dire la partageant en deux parties égales et correspondant 
à deux rayons opposés du faisceau r : deux pareils points ne 
doivent être comptés que pour un. Cette droite qui entoure le 
plan, et que nous appellerons S, doit élre rapportée à une 
unité U, infinie du premier ordre relativement à l'unité u qui 
. sert dans la région finie. 

La figure 3, purement schématique bien entendu, représente celte 
droite. D'un côté, le faisceau r, pris dans la région finie du plan ; 
de l'autre, la droite ABC. . .A'B'C. . . avec ses points opposés deux 
à deux, en correspondance univoque avec les rayons A, B, C . . . 
A', B', G'. 

Supposons maintenant que le point r se déplace et coïncide 
successivement avec tous les point delà région ^nie du plan P. 
La droite S se déplacera de même, et c'est le lieu de toutes ses 
positions qu'on appelle la région infinie du plan. Ce lieu est 
évidemment à deux dimensions, comme le plan P lui-môme. 



INTERSECTIONS ET PARALLÉLISME. I7 

Mais une des dimensions, celle qui correspond aux déplacements 
de la droite 3, est du même ordre de grandeur que les déplace- 
ments de r, c'est-à-dire finie; elle est donc infiniment petite 
relativement à l'autre dimension et à l'unité U. Conformément 
aux lois de la hiérarchie infinitésimale, elle s'efface devant elles, 
et c*est dans ce sens qu'on dit que la région infinie du plan est 
une droite : la droite fermée, mais pouvant être remplacée à 
beaucoup d'égards par la droite ouverte. 

De môme pour un espace E : 

Le lien des points à l'infini des rayons issus d'un de ses points r 
est un plan complet, ou riemanien, w, qu'il faut voir enveloppant 
l'espace à la façon d'une sphère, mais ne pas confondre avec cette 
surface. Chaque rayon du faisceau r et son opposé, formant 
ensemble une droite, rencontrent ce plan tît en deux points 
opposés, en lesquels se réunissent une infinité de droites com- 
plètes, comme le font les méridiens géographiques sur la sphère. 
Si le point r se déplace dans l'espace E de manière à y occuper 
successivement toutes les positions possibles, le plan m se déplaci* 
semblablement, et le lieu de ses positions est la région infinie de 
V espace. Ce lieu est à trois dimensions, mais une d'elles est un 
infiniment petit du premier ordre relativement aux deux autres 
et s'efface devant elles : c'est comme si toutes les positions du 
plan QT n'en faisaient qu'une, qui est le plan complet considéré 
comme formant la limite de l'espace. 

De même enfin pour l'étendue. A première vue, on dira que sa 
région de l'infini est un espace ordinaire. On sera plus exact en 
disant que c*est un espace complet e, être géométrique procédant 
du plan complet comme celui-ci procède de la droite complète. 
En toute rigueur, il faudrait dire que c'est le lieu à quatre 
dimensions d'une infinité d'espaces e, correspondant un pai* un 
aux divers points de la région finie (' ). 

On peut faire la géométrie des régions infinies des champs, de 
ces droites, de ces plans et de ces espaces bizarres qui méconnais- 
sent le postulatum d'Euclide; en d'autres termes on peut établir 



(') Voyez dans le journal Mathesis, 1898 : Lechalas, Identité des plans de 
Biemann et des sphères d'Euclide; Mansion, Non-identité des plans de Rie- 
mann et de la sphère d'Euclide. 

J. 2 



l8 GDAPITBB II. 

pour eux, comme pour les autres, les conditions du parallélisme, 
de la perpendicularité, des distances et des angles. 

On Ta faite, cette géométrie, et elle a été féconde. Voici pour- 
quoi. Assurément les figures infiniment éloignées dans le plan 
ou dans Tespace sont moins inaccessibles au regard de notre 
esprit que celles hors de l'espace, mais ce n*est pas précisément 
de laque vient leur utilité. Elle vient, s'il nous est permis d'em- 
ployer une pareille image, de ce qu'elles nous donnent les êtres 
géométriques /?ûrr leurs extrémités, et i® que ces extrémités ont 
une dimension de moins; a"* qu'à des infiniment petits prés, ces 
extrémités sont communes à des catégories entières dont nous 
voyons les termes séparés, par exemple les parallèles. 

Aussi la géométrie de la région infinie d'un champ n'est pas 
autre chose, moyennant certaines correspondances univoques 
faciles à établir, que celle du champ immédiatement supérieur. 
Les figures infiniment éloignées dans l'espace sont donc bien un 
véritable échelon vers celles qui sont extérieures à l'espace, et 
cet échelon est précieux pour la géométrie des dimensions mul- 
tiples : à la voie analytique que nous avons adoptée parce 
qu'elle nous est plus familière et que nous supposons notre 
lecteur dans le môme cas, il permet de substituer les méthodes 
de la Géométrie pure, supérieures en bien des points, il faut en 
convenir. C'est ainsi que procède Veronese dans Fondamenti 
di Geometria, 

Les considérations qui précèdent montrent une tendance chez 
le mathématicien d'aujourd'hui à se figurer l'infini un peu autre- 
ment que ses prédécesseurs. Il en distingue deux formes, et cette 
distinction a pris un corps surtout entre les mains de Veronese 
en ce qui concerne la Géométrie, et de G. Cantor en ce qui con- 
cerne la Théorie des nombres (*). Dans l'une de ces formes, 



(') Veronese, Fondamenti di Geometria, p. 26-ao5, in-8% Padoue, 1891. — 
// continua rettilineo e l'assioma V* d'Archimedi {Atti dei Lincei, 1890). — 
Mansion, dans Mathesis, 1896 et 1897. 

G. Cantor, Fondements d'une théorie générale des ensembles {Acta math. ^ 
t. II, i883). — Mitheilungen zur Lehre vom Transfiniten {Zeitschri/t fur Phi- 
losophie von Fichte^ 1887, p. 81 à laS et aSa à 270). — Sur les fondements de 
la théorie des ensembles transfinis; Paris, 1899. 

Du Bois-Reymond, Théorie générale des fonctions, traduction par Mjlhaud 
et Girot; Paris, 1887. 



INTERSECTIONS ET PARALLÉUSME. 19 

depuis longtemps classique, rinfini se présente commei une gran- 
deur variable croissant ou décroissant au delà de toute limite, car 
V infiniment grand et Y infiniment petit sont comme deux pôles, 
qu'il ne faut pas traiter différemment; le mot infini est alors eu 
quelque sorte synonyme de illimité. Dans Tautre, c'est un être 
géométrique qui a son individualité comme tous les individus de 
même nom situés dans le môme champ, et ne saurait être con- 
fondu avec aucun d'eux; il est au-dessus infini et de Y illimité, 
existant hors de nous au même titre que celui-là, tandis que 
celui-ci est simplement lié à notre pensée et ne serait rien s'il n'y 
avait pas d'être pensant. Nous nous contentons de présenter au 
lecteur ces deux idées, autour desquelles les passions se sont 
quelque peu exercées. 

L'infini n'est d*ailleurs pas toujours le môme pour un champ 
donné, car il dépend de la façon dont on envisage ce champ. Nous 
avons trouvé que c'est une droite pour le plan, un plan pour 
l'espace et un espace pour l'étendue, mais ces résultats sont essen- 
tiellement liés aux équations linéaires au moyen desquelles nous 
avons défini les champs. Dans d'autres cas, on trouvera que c'est 
une circonférence pour le plan, une sphère pour l'espace, ime 
hypersphère {voy, § 31) pour l'étendue. Dans la théorie des fonc- 
tions, où Ton représente une variable imaginaire ^i + ix^ par un 
point dans un plan, et deux variables imaginaires x^-h ixt, 
Xi -H Lt^ par un point dans l'étendue, l'infini de chacun de ces 
champs est un point, et il peut paraître singulier de voir celui-ci 
les envelopper ; d'ailleurs la fonction se comporte toujours autour 
de lui de la môme manière qu'autour de tout autre point situé 
dans le fini. Dans les transformations planes par rayons vec- 
teurs réciproques, c'est encore un point qui est l'infini du plan : 
dans cette transformation, qui n'est pas homographique, les 
points correspondent aux points, mais non les droites aux 
droites. 

En réalité l'infini, celui de la grandeur comme celui de la peti- 
tesse, est sans forme; toutes les formes du fini arrivent à se 
confondre, quel que soit celui de ces deux pôles vers lequel 
on marche. 

Le lecteur qui voudra approfondir cette discussion consultera 
avec fruit la magistrale Thèse de M. L. Couturat, ainsi que les 



ao CHAPITRE 11. 

Critiques faites dans la Bévue philosophique par MM. Evellin et 
Emile Borel(*). 

§ 8. — Les multiplicités. 

L'équation d'un espace a quatre paramètres, et quatre espaces 
se coupent en un point comme quatre points déterminent un 
espace ; on peut donc dire qu'il y a dans l'étendue un oo* d'es- 
paces conmie il y a un oo* de points. Il est clair qu'il y a de même 
dans un espace un oo' de plans et dans un plan un oo* de droites ; 
il est intéressant de connaître aussi les nombres analogues pour 
les cas intermédiaires. 

Prendre un point quelconque dans Télendue peut se faire de 
00* manières ; le joindre par une droite à un point quelconque de 
l'infini peut se faire de oc» manières, puisque les points de l'infini 
forment un espace. Cela donne un oo^ de droites; mais chacune 
d'elles est ainsi comptée un oo de fois, puisqu'elle contient un oo de 
points. Reste donc un oo« pour le nombre des droites existant dans 
l'étendue. 

Par quelques raisonnements de ce genre, et en récapitulant 
les valeurs déjà obtenues, on trouve qu'un champ donné contient 
un champ de degré inférieur d'espèce donnée un nombre de fois 
égal à une puissance de Tinfini ayant l'exposant indiqué dans le 
Tableau suivant : 



DEGRÉ 
DU CHAMP. 


SXFOSAMT PODB 


les poioU. 


les droites. 


les plans. 


les espaces. 


Deuxième 


3 

4 


2 

4 

6 


// 
3 
6 


// 
// 

4 


Troisième 


Oualrième 





(*) GouTURAT, De Vinfini mathématique^ Ttièse de doctorat es lettres, in-8% 
1896. 
Evellin, Vinfini nouveau{Bev, phil,, 1898, p. ii3 et 473; 1900, p. i35). 
Emile Borel, Beif. phil.j 1899, p. 383. 



INTERSECTIONS ET PARALLÉLISIIB. 31 

La formule est (*) 

(r+i)(/i — r), 

n désignant le degré plus élevé et r le degré inférieur. 

Une pareille supputation pour les nombres de figures, ou de 
conditions, ou de manières de faire une chose, etc., est souvent 
et utilement employée dans la Théorie générale des Surfaces, la 
Géométrie énumérattve et la Géométrie philosophique. 

On est ainsi amené à considérer des multiplicités (en alle- 
mand Manni/altigkeiten, en anglais manifoldness) de divers 
ordres. Les multiplicités fondamentales sont les suivantes : 

I® Celles à une dimension, ou à un oo* de termes. Ce sont : 

— Tensemble des points qui forment une droite : M. Chasles l'ap- 
pelle une division; on dit beaucoup aujourd'hui une ponctuelle 
(en italien puntegiatta, en anglais range, en allemand Punkt» 
reihe); — l'ensemble des droites qui partent d'un même point, 

— celui des plans qui partent d'une môme droite, — celui des 
espaces qui partent d'un même plan. Le moi faisceau est employé 
pour les trois dernières formes ; 

2<» Celles à deux dimensions, ou qui ont un oo' de termes. Ce 
sont : — l'ensemble des points ou des droites qui forment un 
plan, — celui des droites ou des plans qui partent d'un même 
point, — celui des plans ou des espaces qui partent d'une même 
droite ; 

3<> Celles à trois dimensions, ou qui ont nn oo' de termes. Ce 
sont : — les points ou les plans d'un espace ; — les droites ou les 
espaces partant d'un même point ; 

4* Enfin celles à quatre dimensions, ou comprenant un oo* de 
termes. C'est l'ensemble des points ou des espaces qui composent 
l'étendue. 

Toutes ces formes sont linéaires. On peut citer comme exemple 
de celles qui ne le sont pas : les cercles d'un plan, qui forment 
un 00*; les coniques d'un plan, qui forment un oo*; les droites d'un 
espace et les plans passant par un même point, qui sont des oc^ ; 
les droites et les plans de l'étendue, qui sont des oo«, etc. 



(*) Vbronese, Le Superficie omaloide normale a due dimenzioni e del 
4* ordine dello spazio a cinque dimenzioni {Accad, dei Lincei, vol. XIX, p. 8). 



22 CHAPITRE H. — INTERSECTIONS ET PARALLÉLISME. 

Comme trois points déterminent un plan, on pourrait croire 
que les plans qui passent par deux points (ou par une droite) 
forment un oo*, c'est-à-dire une multiplicité du premier ordre. On 
se tromperait, car c'est un oo' ; en effet, on peut mener un plan 
par la droite donnée et par chacun des points de l'espace de l'in- 
fini, dont le nombre est oo*; mais il s'en trouve un oodans chacun 
des plans ainsi menés, ce qui réduit à oo« le nombre de ceux-ci. 

Le même fait se rencontre dans la Géométrie à trois dimensions , 
où l'on pourrait croire, à première vue, que, puisqu'une droite 
est déterminée par deux points, il passe un oo* de droites par un 
point donné, tandis que c'est un oo*. 



»•••• 



PERPENUICULARITÊ. ^3 



CHAPITRE III. 



PERPENDICULARITÊ. 



§ 9. — Distance de deux points. 

Nous appelons distance de deux points dont les coordonnées 
sont respectivement 

(j?/) Xij ^j, J?j, 0^4, 

et 

une fonction de ces coordonnées ayant pour carré 

Cette formule, qui est, avec la présomption des quatre coor^ 
données, toute la base delà Géométrie à quatre dimensions, résulte 
de l'addition d'un terme à celle employée avec des coordonnées 
rectangulaires dans la Géométrie à trois dimensions, de même 
que cette dernière résulte de Taddition d'un terme à celle em- 
ployée dans la Géométrie à deux dimensions. 

Comme première application de la formule (i), démontrons le 
théorème suivant, qui servira plus loin pour rétablissement des 
systèmes de coordonnées : Les segments interceptés par deux 
espaces parallèles sur des droites parallèles ont la même lon^ 
gueur, 

A cet effet, soient 

(i) A =ao-*-«i^i -^^î»^! H-ûrjO^a -4-a4^4 = o, 

(a) A' = A -h «, 



24 CHAPITRE III. 

les équations de deux espaces parallèles, et 

(3) jC=Co4- =0, 

( D = fi^o -^ = Oi 

(4) B' = B + ?o, C' = Gh.7o, D' = D + So 

celles de deux droites parallèles. Les coordonnées ^i, a?,, a?,, x^ do 
rintersection de la première droite avec le premier espace satis- 
font aux équations (i) et (3) ; celles 71,71, 7$, 7* de Tintersection 
de cette même droite avec le deuxième espace satisfont aux équa- 
tions (2) et (3); on a donc, en substituant et retranchant, 

«iC-^l — 7l) -^ ••• -+-^4(-^4 — 74) — «0=0, 

,., , f^ii-^x—yi)-^ •♦. -H ^4(^4— 7*) — Po=o, 

Ci(^i— 7i)-»- • ■• -HC*(^; — 7O — ïo=0, 

Les coordonnées a?j, j;',, j;',, j?'^ et 7!, 7',, 7',, 74 de rintersection 
de la deuxième droite avec le premier et avec le second espace 
satisfont aux équations (i) et (4), (2) et (4). En faisant les mêmes 
opérations on aura les mêmes équations (5) avec les x et les 7 
accentués ; il en résulte • 



•^1 7 1 — '^1 Xi 



^k Xk — "^i — 7t» 
et, par suite, 

(^'1 -71)"+ • • • + (^;-7'4)'= (^1- 7i)'-t- • . • -H (^*-70S 

ce qui n'est autre chose que la proposition énoncée. 

Lorsque deux espaces sont parallèles, on peut dire d'une figure, 
quelle qu'elle soit, située dans l'un d'eux qu'elle est parallèle à 
l'autre, car tous ses points en sont à la même distance. 



§ 10. — Distance d'un point à un champ. 

La distance d'un point /? à un espace, un plan ou une droite, 
est la distance du point p au point q de ce champ qui est le plus 



PERPBKDICULARITÉ. 25 

rapproché de lui. Le point q s'appelle la projection du point p sur 
le champ considéré. Nous allons chercher le lieu des points de 
l'étendue qui ont la même projection q \ i® sur un espace 
donné A, a* sur un plan donné P, 3» sur une droite donnée D. 
i® Sur un espace A. — Soit 

son équation, el soient j?i, x^^ x,, x^ les coordonnées d'un point /? 
extérieur à A, /i, y„ y„ 74 celles de sa projection sur A. Ces der- 
nières satisfont à l'équation (2). D'autre part, l'expression (i) doit 
être moindre pour le point q que pour tout autre point de A 
situé dans son voisinage et ayant pour coordonnées yt 4- dyt. On 
exprimera d*abord que cet autre point 9' est situé dans A en diffé- 
rentiant l'équation (2) 

(3) a,drx-^a^dy^-\'a^dy:^-^a^dy^=o, 

et ensuite que pq est <pq\ en égalant à zéro la différentielle 
de(i): 

(4) . (xi— yi)^xi -+-... 4-... -h (j:-4 — 74)^*274 = 0. 

L'équation (4) devant être satisfaite toutes les fois que l'équa- 
tion (3) le sera, on devra avoir, en désignant par X un multiplica- 
teur convenable 

/ ^1— 7i = ^^«iî 
,K, pr,-y,= Xa,; 

Xi — 74=Aa4. 

Si l'on élimine X entre ces équations, il en reste trois : 

//•v ^1 — 7i "^a — 7» - ^a 7» ^'* 7 v 

«I "" «î ~" «3 ~" «i ' 

qui, jointes à (2), déterminent les quatre coordonnées 7/ de la 
projection q quand on se donne celles xt du point extérieur. 

Mais supposons qu'on se donne au contraire le point q de l'es- 
pace A, alors les yt sont invariables, et les équations (6), en y 
considérant les a?/ comme des coordonnées courantes, représentent 
le lieu des points dont la projection sur A tombe en q. C'est une 
droite, puisque ces équations sont au nombre de trois. 



t 



a6 CHAPITRE III. 

La ligne droite pq peut donc bien s'appeler la perpendiculaire 
abaissée du point p sur l'espace k. Et si Ton prend sur cette droite p^ 
un autre point quelconque />', la perpendiculaire/?'^' abaissée de 
cet autre point sur le même espace A coïncidera aLvecpq. 

2« Sur un plan P. — Dans ce cas, nous avons, au lieu de Téqua- 
tion unique (2), deux équations 

(2') A = o, B = o, 

et l'équation (3) est aussi remplacée par deux autres: 

r a^df^ -h a^df^-^ a^dy^-^ a^dy^ = o. 

Rien n'est changé dans l'équation (4) et, comme elle doit être 
satisfaite toutes les fois que les équations (3') le seront, on devra 
avoir, en désignant par X, (jl deux coefficients indéterminés : 

d?, — y, = Xai4-ïx6,, 

^j— 7j=Aûr,-i-fx63, 
j;^— 74= X «4 H- 1164; 

si l'on élimine X, [x, il reste deux équations 
(6') G = o, D = o, 

qui, jointes aux équations (2'), déterminent 71, /i, 71,74 en fonc- 
tion des Xi, Mais si l'on considère les premières comme invariables 
et les secondes comme des coordonnées courantes, alors les équa- 
tions (6') représentent le lieu des points dont la projection sur le 
plan P tombe en q. C'est un plan, puisqu'il y a deux équations. 
3® Sur une droite D, dont soient 

(2") A=o, B=:o, C=:o 

les équations. Les équations (3') s'augmentent d'une troisième, 
où les a de la première et les b de la seconde sont remplacés par 
des c, et les équations (5') deviennent, avec trois indéterminées : 

j?i— 7i=Xa,-f. ix^i-4-vci, 

^4 — 74 = ^^4 -+-tx64-hVC4, 



PERPENDIGULARITÉ. 27 

dont rélimination donnerait une équation unique 
(6') D = o, 

équation d'un espace. 

§ 11. — Applications. 

Pour donner de suite une application simple de chaque cas, 
proposons-nous de trouver : 
i* La perpendiculaire menée par le point 

à Tespace 

il faut faire a* = i , o, = a, = «t = ^f, = o ; les équations ( 5 ) 
deviennent alors 

a?i = o, Xj = o, a:, = o, 074 = — X, 

d'où, en éliminant X, ^ 

Xi = 0, iFj = O, X^ = O, 

ce qui est la droite demandée. 

2** Le plan mené par le même point perpendiculairement au 

plan 

^8=0, j* = o; 

les équations (5') deviennent 

a?i=:o, a?, =o, X, = — X, a?4 = — fz, 

d'où, en éliminant X et jjl, 

J?, = 0, JTj = O, 

ce qui est le plan demandé. 

3<> Enfin l'espace mené par le même point perpendiculairement 
à la droite 

7» = o, 7»=o, y* = o; 

les équations (5'^) deviennent 

art=o, ar, =— X, x,=— lÀ, a?4=— V, 



28 CHAPITRE III. 

d'où, en éliminant X, |x et v, 

ce qui est l'espace demandé. 

Les droites, les plans et les espaces que cet exemple a présentés 
incidemment ne sont autre chose que les éléments d'un système 
de coordonnées rectangulaires, comme on le verra plus loin. 

§ 12. — Perpendicnlarité de denx champs. 

Cherchons maintenant les conditions de perpendicularité d'un 
champ K, sur un autre Kj passant par un même point de Tétendue ; 
nous exprimerons cette perpendicularité par le fait que chacun 
des points du premier se projette sur le second en un point de 
leur intersection. Si les deux champs n'ont aucun point commun, 
on leur mène des parallèles K', et K'j par un point quelconque et 
Ton dit que K, est perpendiculaire à K| si K', l'est à K',. 

Nous considérons d'abord deux espaces 

A = rto H- ajyi -f- a,y, -4- a^y^ 4- «47*, 

et nous exprimons que le second est perpendiculaire au premier. 
Un point quelconque ^r^, ar„ x^^ x^ de B est lié à sa projection 
yx'^Vxiyi^yk sur A par les relations (5), et, pour que B soit perpendi- 
culaire à A, il faut, par définition, que y^ yn ya> y^ satisfassent 
aussi à Téquation de B. En les y substituant, puis retranchant 
l'une de l'autre les deux équations (B), il vient 

portant dans cette dernière équation les valeurs (5), elle devient 

(7) «1^1 -h rt,6j H-ATs/^a H- âr^ 64^=0, 

d'où X s'est éliminé lui-même parce qu'il s'est trouvé facteur 
commun à tous les termes du premier membre. Telle est la con- 
dition pour que B soit perpendiculaire à A; sa forme symétrique 
montre que la perpendicularité est réciproque. 

On raisonnera de la même manière pour toute autre association 
de deux champs, et l'on trouvera que la condition de perpendi- 



PERPKNDICULARITÉ. 29 

cularité s'exprime par des formules semblables à (7), associant 
chacune des équations afférentes à Tun des deux champs avec 
chacune des équations afférentes à l'autre, par conséquent en 
nombre égal au produit des nombres des équations de chaque 
sorte. Comme ces équations représentent des espaces, cela revient 
à dire que chacun des espaces déterminants de l'un des deux 
champs doit être perpendiculaire à chacun des espaces déter- 
minants de Tautre. 
Ainsi la perpendicularité dépend de : 

Deux conditions, quand il s'agit de deux espaces, 

Deux » » d'un espace et d'un plan, 

Trois » » d'un espace et d'une droite, 

Quatre » » de deux plans, 

Six » » d'un plan et d'une droite. 

Neuf » 9 de deux droites. 

Nota. — Nous ne nous sommes pas arrêtés, dans ce Chapitre ni dans le 
précédent, à la discussion analytique des cas particuliers du parallélisme et 
de la perpendicularité. Dans le Chapitre lY, ces cas vont être considérés au 
point de vue géométrique. 



»•••• 



QUELQUES THÉORÈMES. 3l 



CHAPITRE IV. 

QUELQUES THÉORÈMES. 



Ici se placerait, si nous écrivions un Traité tout à fait métho- 
dique, un Chapitre correspondant au cinquième Livre de Legendre 
et contenant une grosse gerbe de théorèmes. Nous en cueillons 
quelques-uns, ou parce qu'ils nous seront uliles dans la suite, ou 
parce qu'ils contribuent à donner la physionomie de la Géométrie 
à quatre dimensions. 



§ 13. — Droites, plans et espaces parallèles. 

I. Deux espaces sont parallèles quand leurs plans à Tinâni 
{voir § 7) se confondent en un seul. 

Une droite et un espace sont parallèles quand le point à l'infini 
de la première est sur le plan à l'infini du second. 

Par un point donné hors d^ un espace, on demande de lui mener 
un espace parallèle. Il n'y a qu'à mener par le point donné trois 
droites parallèles à trois droites prises d'une manière quelconque 
dans l'espace donné, pourvu que celles-ci ne soient ni dans un 
même plan, ni parallèles à un même plan. Ces trois lignes déter- 
minent l'espace cherché. 

n. Les plans ont deux manières d*être parallèles. Soient A et B 
deux plans, a et ^ les droites qu'ils ont chacun dans l'espace de 
l'infini. Ces droites peuvent : i® ne pas se rencontrer : c'est le cas 
général, et il n'y a aucune espèce de parallélisme; 2® avoir un 
point commun : on dit alors que les deux plans sont parallèles 
suivant le premier mode, ou incomplètement parallèles; Z^ se 



32 CHAPITRE IT. 

confondre en une seule : on dit alors que le parallélisme est du 
deuxième mode ou complet. 

Des propriétés différentes correspondent aux deux modes. Par 
exemple, s'il s'agit du premier, on ne peut mener dans chaque 
plan, par un de ses points, qu'une seule droite qui soit parallèle 
à l'autre; quand il s'agit du second, toutes les droites de chaque 
plan ont le parallélisme. 

Ainsi encore, si un plan est parallèle à un espace, il est paral- 
lèle à tous les plans contenus dans celui-ci, mais non à tous de 
la même manière, car sa droite à l'infini coupe la droite à l'infini 
des uns et coïncide avec celle des autres. 

Quand deux plans sont parallèles suivant le premier mode^ un 
plan quelconque les coupe chacun suivant un point, à moins 
qu'il ne soit l'intersection de deux espaces passant par chacun 
des plans donnés, auquel cas il passe par le point commun qu'ils 
ont à l'infini et les coupe suivant deux droites. 

§ 14. — Droites, plans et espaces perpendiculaires. 

Les théorèmes qui suivent concernent laperpendicularité entre 

les droites et les espaces, 
les plans et les plans, 
les droites et les plans, 
les plans et les espaces, 

et la plupart ont des applications dans la Géométrie descriptive 
(Chap.VIetVlII). 

I. Quand une droite et un espace sont perpendiculaires 
entre eux, la première l'est à toutes les droites et à tous les plans 
menés par son pied dans le second. Car, puisque tous les points 
de celui-ci se projettent en un môme point de la droite, il en est 
ainsi, en particulier, pour ceux d'entre eux qui s'alignent suivant 
une même droite, et pour ceux d'entre eux qui sont sur un même 
plan. 

Réciproquement, l'espace est perpendiculaire à tous les plans 
générateurs de la droite, et à tous les espaces générateurs d'un 
quelconque de ces plans. 



QUELQUES THÉORÈMES. 33 

Quand une droite d^ coupant un espace E en un point 0, est 
perpendiculaire à deux plans menés par ce point dans cet espace, 
elle est perpendiculaire à celui-ci. Menons en effet, par le point 0, 
une droite dans chacun des deux plans; on sait, par la géométrie 
à trois dimensions, que d sera perpendiculaire à chacune de ces 
deux droites, et qu'elle le sera par conséquent à leur plan; elle 
est donc perpendiculaire à un plan quelconque mené par le 
point dans l'espace E. 

Des droites perpendiculaires à un même espace sont parallèles 
entre elles, et des espaces perpendiculaires à une même droite 
sont parallèles entre eux. 

II. On demande de mener, par un pot nt donné P^ un espace per^ 
pendiculaire à une droite donnée D. Si le point est sur la droite, 
menez par celle-ci trois plans non situés dans un même espace, 
et, dans chacun d'eux, menez par le point P la perpendiculaire à 
la droite D ; ces trois lignes détermineront Tespace cherché. Si le 
point P est hors de la droite D, abaissez, dans le plan PD, une per- 
pendiculaire de P sur D et, par le pied de celle-ci, menez l'espace 
perpendiculaire à D, comme on vient de le dire. 

Ou demande de mener, par un point donnée, une droite perpen- 
diculaire à un espace donné E. Si le point est situé dans l'espace E, 
menez dans celui-ci trois droites non dans un même plan, et, par 
le point donné, un espace perpendiculaire à ces trois droites, 
comme dans la première solution ci-dessus; l'intersection des 
trois espaces sera la droite demandée. Si le point donné est hors 
de l'espace E, la construction se formule dans les mêmes termes, 
mais en visant la deuxième solution. 

Par un point donné sur une droite, on peut lui élever, si elle 
est donnée : 

Dans un plan (géométrie à deux dimensions), une seule 
droite perpendiculaire ; 

Dans un espace (géométrie à trois dimensions), un oo de 
droites perpendiculaires dont le lieu est un plan; un seul plan 
perpendiculaire ; 

Dans l'étendue, un oo' de droites perpendiculaires dont le 
lieu est un espace; un oo* de plans perpendiculaires dont le lieu 
est le même espace; un seul espace perpendiculaire. 

J. 3 



34 CHAPITKK IV. 

III. De même qu'ils ont deux espèces de parallélisme, les plans 
ont aussi deux manières d'être perpendiculaires. Si leurs droites 
à rinflni se rencontrent, on dit qu'ils sont simplement ou incom^ 
plètement perpendiculaires: si elles ne se rencontrent pas, on dit 
qu'ils ^oni absolument ou complètement perpendiculaires. 

Considérons deux plans A, B se trouvant dans le premier cas, 
et soient a, b leurs droites de Tinfini. Admettons en outre qu'ils 
se coupent suivant une même droite d, c'est-à-dire sont dans un 
même espace E, dans lequel sont aussi, dès lors, les droites a, 6, d. 
Tous les plans passant par la droite a sont complètement paral- 
lèles au plan A et, comme lui, simplement perpendiculaires à B. 
Or ces plans, en nombre oo* (§ 8, à la fin), sont de deux sortes : les 
uns, dont le nombre est oo*, sont dans l'espace E et coupent B 
suivant une droite; les autres sont hors de cet espace et coupent 
B suivant un point. 

Les plans en perpendicularité simple avec un plan donné peuvent 
donc couper ce plan, ou suivant une droite, ou suivant un point; 
ceux de la deuxième catégorie lui sont en môme temps incom- 
plètement parallèles. 

Deux plans complètement parallèles à deux plans complètement 
ou incomplètement perpendiculaires sont complètement ou incom- 
plètement parallèles entre eux. 

Quand deux plans sont complètement perpendiculaires entre eux, 
une droite quelconque de l'un est perpendiculaire à une droite 
quelconque de l'autre ; quand ils sont incomplètement perpendi- 
culaires, il y a dans chacun une direction, et une seule, qui est 
perpendiculaire à toutes les droites de l'autre. 

Un plan B, qui est incomplètement perpendiculaire à un plan A, 
l'est suivant le même mode à tout plan complètement perpendi- 
culaire à A. 

Si, par le point commun de deux plans A, B absolument per- 
pendiculaires entre eux, on trace une droite dans chacun d'eux, le 
plan C déterminé j^ar ces deux droites est simplement perpendi- 
culaire à chacun des deux plans A, B ; il y a un oo* de plans G. 

Le Tableau suivant (*) réunit les particularités que peut pré- 
senter l'incidence de deux plans : 

(') D'après Schoute, Bulletin des Sciences mathématiques, 1900, a» partie, 
p. 187. 



QUKL(^BS THÉORÈMES. 



35 



INTERSECTION 
DBS DBUX rLÂXB. 



à dislancd 
finie. 



un point... 



une droite. 



1 un point... j 

à nnflni. f 

l une droite. I 



PASÀLUiUBlIB. 


^BBPBVblCULÀKITB . 


nul 


nulle 


nul 


incomplète 


nul 


complète 


nul 


nulle 


incomplet 


nulle 


incomplet 


incomplète 


incomplet 


nulle 


incomplet 


incomplète 


complet 


nulle 



OBSBBVITIOVI». 



cas général 

A 

B 
cas général 

G 

D 

E 

F 

6 



Quand le lecteur aura fait connaissance avec Tusage des coor- 
données (§ 16), il pourra exemplifier ces différents cas de la 
manière suivante. En prenant invariablement 



a?, = o, 



j:j. = o, 



pour les équations d'un des deux plans, et en prenant successi- 
vement pour l'autre les équations 

Xi ■+• X J7, HZ O, a^i -4- {JLX4 = o, 

Xi := O, .r, 7= o, 

07, ■+• Xx^ = 0,^73-+- [i.x^ =z o, 

Xi 4- Xa:,= o, J78-^ !J^«274=:o, 
x, -♦- X ar^ = O, J7| -H fxxt = Xr, 

Xi -i- X j;, = O, J^i 4- fxx4 = A-, 

X^ — Aj X^ -— fC . 

on a respectivement les cas A, B, C, D, £, F, G. 

On demande de mener, par un point M donné sur un plan^ un 
autre plan qui lui soit complètement perpendiculaire. On mènera 
deux droites quelconques dans le plan donné, puis un espace per- 
pendiculaire à chacune d'elles, par le point donné ; Tintersection 
des deux espaces sera le plan demandé. 

Si le point donné M est extérieur au plan, on mènera par ce 
point deux droites respectivement parallèles à deux droites quel- 
conques du plan, et Ton fera la même construction. 



IV. Par un point donné sur un plan A, on peut mener un 00 



36 CHAPITRE IV. 

de droites perpendiculaires à celui-ci ; leur lieu est le plan B abso- 
lument perpendiculaire à A. 

Mais par un point m donné hors d*un plan Â, on ne peut mener 
qu'une seule droite qui lui soit perpendiculaire; car cette perpen- 
diculaire se trouve forcément dans Tespace m A, et elle est par 
suite déterminée comme dans la géométrie à trois dimensions. 

La projection dun point m sur un plan A peut êlre conçue de 
deux manières qui reviennent au même : i** Par le point m et le 
plan A, on mène un espace Ë, puis, dans cet espace, on abaisse 
une perpendiculaire de m sur E comme l'enseigne la géométrie à 
trois dimensions, a® Par le point m, on mène un plan A' perpen- 
diculaire à A suivant le mode absolu, et Ton appelle projection 
de m sur A Tintersection de A' avec A. Si Ton projette une multi- 
plicité de points m formant une figure quelconque, tous les plans 
projetants A' sont complètement parallèles entre eux, c'est-à-dire 
sont les membres d'un même faisceau oo* dont Taxe est à l'infini; 
si la figure est une surface plane, le rapport de Taire à sa pro- 
jection demeure constant. 

Tous les points qui ont la même projection sur un plan donné 
sont dans un même plan. 

Lb. projection d'un point sur un espace est le pied de la perpen- 
diculaire, unique et déterminée, abaissée du premier sur le 
second. Voici une application de ce genre de projection. 
On démontre sans peine les théorèmes suivants : 
I® La projection d'une sphère de rayon R sur un espace faisant 
avec le sien l'angle <p est un ellipsoïde de révolution aplati dont 
Taxe est dans le plan perpendiculaire à la fois aux deux espaces 
et a pour longueur 2Rcos<p. 

2<» La projection de celui-ci sur un troisième espace faisant 
avec le sien un angle <p' est un ellipsoïde à trois axes inégaux. 

3® La projection d'un parallélépipède, de dimensions finies ou 
infiniment petites, sur un espace faisant avec le sien un angle <p' a 
pour volume celui du parallélépipède multiplié par cosf '. 
4° Par application de 2<» et 3*», le volume de l'ellipsoïde à trois 

axes inégaux 2 a, 26, 2 c, est | r.abc (*). 



(*) D'après De la Rive, Comptes rendus des séances de l'Académie des 
Sciences, iSgS. 



QUELQUES THÉORÈIES. Zj 

V. Ouand un espace E et un plan P sont perpendiculaires 
entre eux : i* si Ton projette sur le second un point quelconque du 
premier, la projection, nous le savons déjà, est toujours sur leur 
commune intersection ; 2« le plan P est incomplètement perpen- 
diculaire à tous les plans menés dans l'espace £ par cette commune 
intersection ; 3® les plans et les espaces respectivement parallèles 
à P et à E sont perpendiculaires entre eux. 

Par une droite donnée hors d'un espace E, on ne peut mener 
qu'un seul plan perpendiculaire à celui-ci ; il conlient les perpen- 
diculaires abaissées des divers points de la droite sur cet espace; 
tous les pieds de ces perpendiculaires sont sur une même ligne 
droite, qui s'appelle la projection orthogonale de la droite sur 
l'espace E. 

Par une droite donnée hors d'un plan P, on ne peut mener qu'un 
seul espace perpendiculaire à celui-ci ; il contient les perpendi- 
culaires abaissées d'un point quelconque de la droite sur le plan P, 
et les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite. Il con- 
tient aussi les plans absolument perpendiculaires menés d'un 
point quelconque de la droite au plan P; les points d'intersection 
de ces plans avec le plan P sont en ligne droite. 

VI. On demande de mener, par un point donné 0, quatre droites 
perpendiculaires entre elles. On mènera par le point une pre- 
mière droite j?i, ce qui peut se faire de <»• manières; puis une 
seconde droite x^ perpendiculaire à jti, ce qui peut se faire de 
00- manières; puis une troisième droite x, perpendiculaire au 
plan a?| J7„ ce qui peut se faire de oo' manières; enfin, comme il 
vient d'être dit, une quatrième droite x^ perpendiculaire à l'espace 
Xix^x^, ce qui ne peut se faire que d'une manière. 

Chacune des droites 

j:*!, o^j, Xij X4 

est perpendiculaire à une quelconque des trois autres, au plan de 
deux quelconques des trois autres, à l'espace des trois autres. 
Chacun des espaces 

X ^ûif^jc^j ûT^jC^tXf^y ûT^ûT^tP^j %r^j/^%r^ 

est perpendiculaire aux trois autres. 



38 CHAPITRE IV. 

Chacun des plans 

CC^JC^^ mCjuI^ij %C^CC^^ %V^%X/^^ X ^ %3C^ 

est incomplètement perpendiculaire à celui qui est écrit après 
lui. Enfin les deux plans de chacun des trois couples 

sont complètement perpendiculaires entre eux. 

La construction, qui peut se faire de oo* manières, donne donc, 
non seulement quatre droites perpendiculaires deux à deux, mais 
encore quatre espaces satisfaisant à la môme condition. 

§ 15. — Rotation d'nn espace. 

I. Si, dans Téquation (6) du § 2, on fait passer p par toutes les 
valeurs possibles, on a une suite infinie d'espaces ayant cela de 
commun que tous contiennent le plan A = o, B = o; c'est un 
faisceau d'espaces dont ce plan est Vaxe. 

On peut concevoir aussi que c'est le même espace passant par 
une infinité de positions successives pendant qu'un plan qui y est 
contenu demeure fixe. Un pareil mouvement s'appelle la rotation 
de l'espace autour du plan. La géométrie à deux dimensions ne 
connaît qu'une seule rotation, celle autour d'un point, qui s'ap* 
pelle le centre de rotation; dans la géométrie de l'espace, il n'y en 
a qu'une également, celle autour d'une droite, qui s'appelle Vaxe 
instantané ou permanent de rotation. Dans l'étendue, c'est la 
rotation autour d'un plan qui est le mouvement le plus simple 
après celui de pure translation. Il est nécessaire de bien le com- 
prendre. 

Dans un espace E, par exemple le nôtre, considérons un plan P 
et appelons A, B les deux régions de l'espace situées de part et 
d'autre de celui-ci ; puis, prenant sur le plan P un point 0, menons- 
lui par ce point une perpendiculaire, dont soient Oa la partie qui 
pique dans la région A, 0^, celle qui pique dans la région B. Nous 
pouvons faire la même chose sur un autre point quelconque du 
plan P, où il y aura toujours une perpendiculaire unique et déter- 
minée, puisque nous demeurons dans un espace E; le nombre 
total de ces perpendiculaires, égal à celui des points du plan P, 



QUELQUES THÉORÈMES. % 

est 00*. Elles accomplissent ensemble, dans la rotation dont il 
s'agit, le mouvement que nous allons décrire pour une 
d'elles. 

Mettons en mouvement à la fois la région A et la région B, dans 
le même sens et de telle sorte que les points qui leur sont com- 
muns, qui sont tous les points du plan P, ne bougent pas. La droite 
aOb tourne autour du point sans cesser d'être perpendiculaire 
au plan P, c'est-i-dire de faire un angle droit avec une droite 
quelconque menée par le point dans ce plan ; elle engendre un 
plan R qui est perpendiculaire, au sens absolu, au plan P et n*a 
de commun avec lui que le point 0. Lorsqu'elle y a parcouru un 
"angle de i8o<> (la moitié du plan K), il en est de même de toutes ses 
pareilles, chacune dans son plan R, et la région  prend la place 
qu'occupait primitivement la région B, celle-ci la place qu'occu- 
pait primitivement la région Â. Le mouvement se continuant, la 
droite aOb décrit la seconde moitié du plan R, et, finalement, 
chaque région A, B reprend sa place primitive. L'espace E a par- 
couru l'étendue entière. 

Dans le mouvement, le plan P demeure absolument fixe, c'est- 
à-dire qu'aucun de ses points ne change de place. Il n'en est pas 
de même des plans R : ils ne changent pas de position dans l'es- 
pace E ni dans l'étendue, mais chacun d'eux tourne comme une 
roue autour du point qui lui est commun avec le plan P. L'angle 
ainsi décrit est le même pour tous les plans R et s'appelle V angle 
de rotation. 

Chacun des oo' plans qui passent par le point et sont simple-- 
ment perpendiculaires au plan P, coupe celui-ci suivant une ligne 
fixe p et le plan R suivant une ligne r mobile. Si l'on ne consi- 
dère que ceux de ces plans passant par une même ligne />, leur 
mouvement est le même que celui des plans autour de l'axe de 
rotation dans la géométrie à trois dimensions. 

Il sera toujours question du mouvement qu'on vient de décrire 
lorsque le mot rotation sera employé seul; on l'appelle aussi une 
rotation simple ou une rotation autour dun plan, La formation 
des images réfléchies, en les supposant réelles, est le phénomène 
du monde à trois dimensions qui se rapproche le plus de celui de 
la rotation autour d'un plan dans le monde à quatre. 



40 CHAPITRE IV. 

IL Afin de retenir encore un peu rattention du lecteur sur ce 
mouvement, nous en ferons Tapplication à une question des plus 
simples : celle des deux trièdres symétriques, qu'il est impossible 
de superposer dans Tespace à trois dimensions, de même qu'il est 
impossible de mettre sur une main le gant de l'autre main. 

Considérons d'abord, en Géométrie plane et à titre préliminaire, 
deux triangles abc^ b'a'd (fig, 3) ayant tous leurs éléments 
égaux, mais non disposés dans le même sens : celui-ci sera pris 
de la gauche à la droite pour un observateur placé à l'intérieur 
du triangle, debout sur le plan. On sait qu'il est impossible de 
superposer les deux triangles, à moins qu'on n'ait la faculté d'en 




sortir un du plan, mais qu'alors on y arrive facilement. Si l'on 
veut réduire au minimum le déplacement à faire en dehors du 
plan, on amènera, par des glissements et des rotations dans le 
plan, deux côtés homologues l'un contre l'autre le long d'une 
ligne quelconque AG, puis on fera tourner autour de celle-ci, 
de i8o<», la région du plan qui contient un des triangles. 

Considérons maintenant, dans la Géométrie de l'espace, deux 
trièdres dont tous les éléments sont égaux, mais non disposés 
dans le même sens, celui-ci étant pris de la gauche à la droite 
pour un observateur placé dans le trièdre, la tête du côté du 
sommet ijîg. 4). On sait qu'il est impossible de superposer les 
deux trièdres. Mais nous y arriverons aisément si nous disposons 
de la quatrième dimension. Pour réduire au minimum le dépla- 
cement à accomplir dans celle-ci, commençons par accoler l'une 
contre l'autre, suivant un plan P, deux faces homologues aSc, 
a'SV de nos deux trièdres, puis faisons tourner de i8o<> autour 
du plan P, comme il a été dit plus haut, la région de E qui 



QUELQUKS TIIÊORÈXES. 4' 

contient Tun d*eux. La troisième arôte &b viendra s'appliquer sur 
sa correspondante S'b\ et le Irièdre Sabc sera superposé au 
trièdre S'a'b'c'. 

Par un pareil mouvement, s'il nous était possible de Texécuter, 
nous arriverions à superposer les deux gants symétriques; c'est 
le résultat que nous obtenons en retournant Tun d'eux, grâce 
à l'ouverture qu'ils présentent. On verra plus loin (§31) que 
l'emploi de la quatrième dimension permettrait de faire ce 
retournement alors même qu'il n'y aurait pas d'ouverture. 

Des impossibilités du même genre se présentent dans l'étendue 
et se résolvent au moyen du champ du cinquième degré, et ainsi 
de suite indéfiniment. 

m. Étant donnés deux systèmes identiques S et S' placés d'une 
manière quelconque dans rétendue, on peut les amener en 
coïncidence par deux rotations simples successives. 

Pour le démontrer (*), prenons deux espaces homologues, 
A dans le système S et B' dans S' ; désignons par « = p' le plan 
suivant lequel ils se coupent, la lettre a étant employée plus 
spécialement quand ce plan sera considéré dans Â, la lettre P' 
quand il sera considéré dans fi'. Soient p le plan de  qui est 
homologue de P', et a' le plan de B' qui est homologue de a. 

Les deux plans a et p, étant dans un même espace Â, ont pour 
intersection une droite «? {fig* 5), et, pour la môme raison, les 
deux plans a' et p' ont pour intersection une droite a'P'. Ce sont 
deux droites homologues situées dans le plan a. En faisant 
tourner la première d'un certain angle <p autour d'un certain 
point r de ce plan, on peut l'amener à coïncider avec la seconde. 
Menons par le point r le plan p absolument perpendiculaire au 
plan a; par une rotation simple et de même angle 7 autour de p, 
le système S, devenant Si, sera amené à avoir avec S' une droite 
commune û? = a' p', qui sera homologue d'elle-même. 

Ayant accompli cette rotation, prenons la droite d pour l'axe 
commun de deux faisceaux égaux de plans situés respectivement 
dans Si et S', et menons-lui un espace perpendiculaire E en un 



(*) D'après van Osb : The elementary motion of space S4 {Mém. de l'Ac. 
d'Amsterdam; séance du ai novembre 1901}. 



4a CHAPITRE IV. 

quelconque de ses points. Cet espace, qui est son propre hômo-^ 
logue, coupe les deux faisceaux de plans suivant deux faisceaux 
de droites qui, étant égaux et ayant même sommet* ont un rayon 
double ^1. Le plan dd^ est donc un plan double, c'estȈ-dire un 
plan qui, considéré dans l'un des deux systèmes, est lui-même 
son homologue dans l'autre. Une rotation simple de Si autour de 
ce plan amènera donc Si en coïncidence avec S'. 

Dans rétendue, le mouvement élémentaire le plus général peut 
donc être représenté par deux rotations successives autour de 
deux plans se coupant suivant un point. La réduction peut se 

Fig. 5. 




faire autour d'une infinité de couples de plans conjugués se 
coupant tous en un même point, qu'on peut appeler le centre 
instantané de rotation. Les couples de plans conjugués coupent 
un espace quelconque, ne passant pas par ce point, suivant des 
systèmes de droites qui sont les génératrices d'un hyperboloïde à 
une nappe. Parmi ces couples, il y en a un, et un seul, dont les 
deux plans sont absolument perpendiculaires entre eux ; on en 
trouvera la construction géométrique dans le Mémoire cité' de 
van Oss, et la théorie analytique dans celui de Cole ( ' ). 

La possibilité de mouvement, la liberté cinématique, est plus 
grande dans le monde à quatre dimensions que dans le nôtre. 
Dans celui-ci, vous pouvez immobiliser un corps solide, que 
nous supposerons réduit à un point matériel, en le liant par des 
barres rigides à trois points fixes. Supprimez une première barre, 
vous donnez au corps un premier degré de liberté : il peut se 

(' ) O/i rotations in Space of foui* dimensions ( Amer. Journ. of Math,, 
t. XII, 1890). 



QUELQUES THÉORÈMES. 4^ 

déplacer et occuper un oo* de positions gui sont sur une circonfé- 
rence dans un plan perpendiculaire à la ligne des deux points fixes 
restants. Supprimez une deuxième barre, vous donnez un deuxième 
degré de liberté : le corps peut occuper maintenant un oo* de 
positions qui sont sur une sphère ayant pour centre le point fixe 
restant. Supprimez enfin la troisième barre : le corps, entièrement 
libre, pourra se porter sur un quelconque des oo» points de l'espace. 
Dans l'étendue, il faut six points fixes et autant de barres rigides 
pour immobiliser un corps. 

IV. Nous aurons, dans le Chapitre VIII, à exécuter diverses opé- 
rations de rotation, entre autres (/euo? rotations successives autour 
de plans absolument perpendiculaires entre eux. Alors le lecteur 
remarquera tout d'abord le fait de l'indépendance de deux 
pareilles rotations, qui donne aux constructions de la Géométrie 
descriptive à quatre dimensions une simplicité et une élégance 
inconnues de celle à trois. Puis il fera de lui-même cette seconde 
remarque que la rotation dans l'étendue ne diffère pas seulement 
de celle dans Tespace en ce .qu'elle s^accomplit autour d'un plan 
au lieu de s'accomplir autour d'une droite, mais qu'il y a entre 
les deux choses une autre différence non moins essentielle. 

Dans l'espace, une rotation nouvelle imprimée à un corps qui 
en possède, ou en a accompli déjà une se combine avec celle-ci ; le 
résultat est une rotation de même nature que chacune des deux 
composantes, et qui aurait pu être obtenue d'un seul coup : la 
grandeur est à une dimension. Dans l'étendue, les deux rotations 
demeurent indépendantes Tune de l'autre et ne peuvent pas être 
remplacées par une seule; leur résultat n'est pas homogène avec 
elles; il est à chacune d'elles ce qu'un rectangle est à chacun do 
ses côtés; on pourrait l'appeler « une rotation de rotation » : la 
grandeur est à deux dimensions. 

De même que deux plans peuvent, à titre de cas particulier, 
avoir une droite pour intersection, de même deux rotations 
peuvent, au même litre, avoir une résultante unique, La condition 
nécessaire et suffisante pour qu'elles aient une pareille résultante 
est que les deux plans autour desquels elles s'accomplissent se 
trouvent précisément dans le cas particulier que nous venons de 
rappeler. S'ils se trouvent dans le cas général, c'est-à-dire ont un 



44 CHAPITRE lY. — QUELQUES THÉORÈMES. 

point pour intersection, tout ce qu'on peut faire c'est de ramener 
les deux rotations à deux autres autour de plans absolument 
perpendiculaires entre eux; la réduction est toujours possible, 
mais d'une seule manière. Nous n'aurons affaire gu*à des rotations 
de ce genre. 

On voit que la composition des rotations est tout autre dans 
la Géométrie à quatre dimensions et dans celle à trois. Dans la 
Géométrie à n dimensions, les choses se passent de même 
très différemment selon que n est un nombre pair 2|x, ou un 
nombre impair 2|jl-i- i. Dans le premier cas, la rotation a pour 
axe un champ de degré |jl, et le mouvement général autour d'un 
point ne peut pas se réduire à quelque chose de plus simple que 
fx rotations perpendiculaires entre elles, dont quelques-unes 
peuvent être nulles. Dans le second cas, la rotation a encore pour 
axe un champ de degré (x, mais le mouvement autour d'un point 
peut se réduire généralement à une résultante unique, qui est 
une rotation autour d'une droite passant par ce point. 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES. ^5 



CHAPITRE V. 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES, 



§ 16. — Les quatre espaces coordoimés. 

L'existence de systèmes de coordonnées obliques ou rectangu- 
laires, analogues dans leur constitution et leur emploi à ceux des 
Géométries à deux et à trois dimensions, résulte de ce qui 
précède. 

Considérons quatre espaces distincts, c'est-à-dire dont les équa- 
tions générales, telles qu'elles ont été données au § 1, ne soient ni 
indéterminées, ni incompatibles. Nous prenons leur point d'inter- 
section pour origine, et nous leur attribuons les équations 

JJj =: O, a^j =: O, Xz = O, ^* = O. 

Ce seront les quatre espaces coordonnés; ils s'appellent respecti- 
vement, on verra pourquoi dans un instant, l'espace 

des x^x^x^f des x^x^xi^ des x^xix^^ AesxiXfXi. 

Un point quelconque M de l'étendue pourra être défini au moyen 
d'un pareil système en vertu du théorème démontré au § 9 que les 
segments interceptés sur des droites parallèles par deux espaces 
parallèles ont la même longueur, 11 résulte en effet de ce théo- 
rème que le lieu des points dont la distance à un espace, comptée 
suivant une direction donnée, a la même valeur, est un espace 
parallèle à l'espace fixe. Si donc on vous donne les distances res- 
pectives du point M aux quatre espaces coordonnés, chacune 
étant comptée parallèlement à l'intersection des trois autres 
espaces, vous pourrez par leur moyen construire quatre espaces 
parallèles aux premiers, et le point M sera leur intersection. Ces 






46 GflAPlTRS Y. 

quatre distances 

J7|, J?|, J?j, »T^ 

sont les coordonnées du point M ; elles sont contenues trois par 
trois daas un des espaces coordonnés : celui des x^x^x^ pour 

Les quatre espaces coordonnés se coupent trois à trois suivant 
quatre droites qui ont pour équations 

*4 = o> 

J7, = 0, 

ces droites sont les axes coordonnés, et s'appellent reopoctive- 

ment Taxe 

des a?,, des j:,, des j^j, des 0:4. 

Enûn les espaces coordonnés se coupent deux à deux suivant six 
plans, qu'on peut aussi définir comme joignant les axes deux à 
deux, et qui ont pour équations 

|a?i = o, (j:, = 0, (j:,= o, (^4 = 0, 10^1=0, (a:, 1=0,- 
ja?j = o, (a7j = o, \x^-=.o, jj?,=:o, (j:,= o, ( a?4 = o. 

Ce sont les six plans coordonnés; on les appelle, d'après celles 
des coordonnées qulls contiennent respectivement, le plan 

desa:,a?4, desjJiJ:*, desa^jj?,, desj^j^s, desj:j.r4etdesari^i(*). 

(*) Dans Tespace à trois dimensions, six plans passant par un môme point 
ont pour intersections quinze lignes droites. Dans l'étendue, ce nombre se 
réduit à quatre, comme ceci. 

Les associations de deux plans où il n*y a pas d'indice répété^ au nombre de 

trois, savoir : 

a?i = o, 3:2=0 et x^—-o, a?4 = o ; 

a?2 = o, 3:3 = o et 374 = o, j:, = o ; 

a?3 = o, ^1 = et a7j = o, x^-= o\ 

donnent pour intersection un point. Les douze autres se rangent en quatre 
groupes de trois, tels que 

a?i = », iTj = o et oTi = o, J73 = ; 
J7j = 0, a7j = o et a7j = 0, iTj = o ; 
j?i = 0, 373 = o et Xj =0, J?3 = o, 

où Tintersectlon est une seule et même droite â?, = 0, or, = 0, ^r, = o ; leurs douze 
lignes d'intersection se réduisent donc à quatre, cliacune comptant pour trois; 
ce sont les quatre axes coordonnés. 



SYSTÈMES DE GOORDOM^ÉES. 47 

Si Ton veut que le système soit rectangulaire^ on û*a qu'à se 
référer à la construction qui a été donnée à la fin du paragraphe 
précédent. Angle droit dans la Géométrie à deux dimensions, 
trièdre droit dans celle à trois, le système rectangulaire est main- 
tenant un quadrièdre droit. Nous y reviendrons au § 24. 

Jja formule de la distance et la théorie que nous avons donnée 
de la perpendicularité supposent essentiellement que le système 
est rectangulaire ; la théorie des intersections et du parallélisme 
le suppose indifféremment rectangulaire ou oblique. Certaines 
questions se traiteront plus facilement avec celui-là, d'autres 
avec celui-ci ; mais, comme dans la géométrie à trois dimensions, 
passer d'une espèce à l'autre n'est qu'une affaire de calcul algé- 
brique; il en est de même, dans chaque espèce, pour opérer une 
transformation de coordonnées, c'est-à-dire changer l'orientation 
ilu système ou déplacer son origine. Nous n'aurons à faire usage 
({ue du système rectangulaire. 

Nous pouvons maintenant i*eprendre la définition que nous 
avons laissée incomplète en commençant ( § 1), et dire : tandis que la 
géométrie à deux dimensions définit le point au moyen de deux 
coordonnées rapportées à un système de deux droites se coupant, 
et celle à trois au moyen de trois coordonnées rapportées à un 
système de trois plans se coupant^ la géométrie à quatre dimen- 
sions le définit au moyen de quatre coordonnées rapportées à un 
système de quatre espaces se coupant. 

Les quatre équations linéaires (i) entre les coordonnées, 
qu'alors nous avons substituées à ces coordonnées elles-mêmes 
pour la définition d'un point P, ne sont autre chose qu'un sys- 
tème de coordonnées plus générales, qui revient à l'emploi de 
quatre espaces quelconques A, B, G, D se coupant au point P, 
conune s'y coupent les quatre espaces respectivement parallèles 
à a?i = o, ar, = o, .r, = o, ^74 = o. Cette substitution nous a permis 
Je faire une première étude des champs, de leurs intersections 
et de leurs perpendicularités sans prendre appui, comme on le fait 
dans l'exposé classique des géométries à deux et à trois dimen- 
sions, sur un système particulier de coordonnées dont l'emploi 
présuppose ces notions. On les possède quand on commence 
l'étude des deux premières géométries; elles nous manquaient au 



48 CUAIMTRE V. 

début de celle-ci. Mais il ne s'ensuit pas que l'édifice déjà con- 
struit, et qu'il ne reste plus qu'à disposer, repose sur le vide, car 
les méthodes que nous avons employées, les calculs que nous 
avons faits sont indépendants du choix des axes. L'existence de 
ceux-ci est la conséquence de la conception du point au moyen 
des équations (i). 

§ 17. — Le point géométrique et le point analytique. 

■ 

Cet édifice présente un cachet qui lui est commun avec toute la 
géométrie cartésienne, et qu'il importe de faire ressortir. 

En vertu des équations (i) du § 1, que nous avons appelées les 
équations du poiniy il repose tout entier sur celui-ci : comme 
l'atome pour le chimiste, le point est l'unique élément de tous 
nos matériaux, l'un a une chimère des sens », l'autre « une 
abstraction de l'esprit » (Saisset, Introduction à la Philosophie 
de Spinosa). Or ce point n'est pas la môme chose que celui sur 
lequel la géométrie ordinaire est assise de son côté. Le second est 
un être géométrique nettement défini, savoir la limite d'un 
volume qui se rapetisse au delà de toute expression ; c'est une 
fraction de mètre cube aussi petite qu'on voudra, mais ce n'est 
jamais qu'une fraction de mètre cube. Le premier est un être 
analytique, constitué par les valeurs de quatre variables pou- 
vant se rapporter à bien des choses ; sa nature est et demeure 
indéterminée. Quelle qu'elle soit, si les êtres qui en dépendent 
forment un ensemble continu tel que, sans exception, un d'eux 
corresponde toujours à des valeurs données de quatre variables, 
et qu'inversement un groupe détenniné de valeurs de celles-ci 
corresponde à un quelconque d'entre eux, cet ensemble sera ana- 
lytiquement équivalent à Vétendue, ces valeurs seront les coor- 
données de l'individu en question, et celui-ci ^ourraL s'appeler un 
point. Que faut -il pour cela? Que les individus soient indépen- 
dants les uns des autres, et que leur nombre soit le même que 
celui des points dans retendue. 

On peut ainsi faire correspondre diverses choses, et cela de 
mille manières ; la suivante, assurément la plus simple et la 
plus naturelle, s'est présentée la première, et nous l'exposerons 
la première. 



SYSTÈMKS OK COORDONNÉES. 49 



§ 18. — Loi de proJectiTiié. 

Un point, faisant partie d'une configuration quelconque X, est 
défini par ses quatre coordonnées a^i, j?,, a:,, or^. Lions-leur d'au- 
tres variables ji, /„ /„ y^ par des relations qui attribuent à cha- 
cune de celles-ci une valeur unique et déterminée quand on donne 
aux X des valeurs déterminées. La forme la plus générale d'une 
pareille dépendance est 

^1^1 ""1" ^t*^X ""1" ^S^J "^ ^4^4 "^ ^5 



• • 



0\ ûC\ "T" • • • C\ 3C\ "T" • . . ci\ oc \ 



les seconds membres des deuxième, troisième et quatrième équa- 
tions ne diflerant de celui de la première que par la substitution 
de la lettre 6, ou c, ou rf, à la lettre a. 

Si Ton considère les nouvelles variables comme les coordonnées 
d*un point, le lieu de ces points sera une configuration Y dont les 
élémenls 

point, droite, plan, espace 

correspondront un par un aux éléments de môme nom de la con- 
figuration X. Et il y aui'a réciprocité, car, résolues par rapport 
aux j:, les équations donnent à celles-ci des expressions de la 
même forme en fonction des y. 

C'est cette correspondance qu'on a appelée de projectivitéy ou 
di homographie. Et l'on aipf elle propriétés projectii^es des figures ^ 
celles qui se conservent sans altération quand on elfeclue la sub- 
stitution ci- dessus, laquelle n'est pas autre chose qu'un change- 
mant de coordonnées, 

La correspondance homographique peut être établie entre deux 
multiplicités de degré quelconque pourvu que ce soit le môme, 
et entre deux multiplicités situées dans des champs quelconques, 
sous certaines conditions. En supprimant les lettres qui ont 
l'indice 4, puis successivement celles qui ont les indices 3 et 2, 
les équations ci-dessus se réduisent à trois, puis à deux, puis à 
une : ce sont les conditions de l'homographie pour les figures de 
J. 4 



5o cuAPiinK V. 

Tespace, du plan et de la droite; dans ce dernier cas l'équation 
prend la forme 

aXx Xx -h bx^ -h CXy^ 4- flf m o. 

Voici un exemple de la correspondance dont il s'agit : prenons 
les équations (2), (3), (4) du § 1, qui représentent respeclivement 
la droite, le plan et l'espace, et supprimons dans chacune le terme 
constant. Nous avons des droites, des plans et des espaces joa^^a//^ 
par Vorigine, et il est facile de voir qu'alors les trois sortes 
d'éléments soiit déterminés respectivement par 3, 4, 3 conditions. 
Ces nombres étant les mêmes que ceux de la deuxième ligne 
dans le Tableau du § 8, nous en concluons qu'il y a correspon- 
dance homographique entre les droites, les plans et les espaces 
passant par un point fixe de l'étendue et les points, les droites 
et les plans qui peuplent l'espace ordinaire. La Géométrie des 
premiers ne sera donc, mutatis mutandis, que la répétition de 
celle des seconds. Ainsi la condition pour que deux plans de 
l'étendue se coupent suivant une droite s'exprimera de la même 
manière que celle pour que deux droites de l'espace passent par 
un môme point, etc. 

Les équations de l'homographie contiennent 24 paramètres 
pour les figures de l'étendue, et ce nombre se réduit à i5, 8 et 3 
pour celles des champs du troisième, du deuxième et du premier 
degré. En d'autres termes, la transformation homographique 
peut se faire, dans les quatre cas respectivement, de 

00'*, 00^*, oo' et 00* 

manières. 

Pour donner une application, nous démontrerons le résultat 
énoncé § 15 relativement au nombre des mouvements qui sont 
possibles pour un système dont un point est fixé. Traçons, 
dans ce système, une hypersphère (§3i) ayant pour centre le 
point 0, et transformons-le homographiquement sous les deux 
conditions : i® que la transformée de l'hypersphère soit une 
hypersphère identique; 2« que le centre ne bouge pas. L'équa- 
tion générale de l'hypersphère ayant quatorze paramètres, la 
première condition réduit de 00'* à oo>^ le nombre des transfor- 
mations, et la seconde réduit celui-ci à oo«. Tel est donc le nombre 
des manières dont la rotation d'un système autour d'un point 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES. 5l 

peut s'accomplir dans retendue, alors qu'il n'est que oo* dans 
notre espace. 

§ 19. — La loi de duaUté. 

L'espace, comme le point, est déterminé par quatre conditions, 
et il y a dans l'étendue le même nombre oo* de Tune et de l'autre 
espèce. Il offre donc l'aplitude voulue pour être substitué au 
point en qualité d'être analytique fondamental, et devenir l'unique 
élément de tous les matériaux de la Géométrie. 

Nous pouvons dès lors avoir devant les yeux, à volonté, deux 
sortes de champs : des champs^de-points Gp et des champs- 
d'espaces C<.. Nos discours se rapporteront indifféremment aux 
uns ou aux autres en supposant que les systèmes d'équations (i), 
(2), (3), (4) du § 1 représentent, dans un cas : 

le point, la droite, le plan et l'espace, 

ainsi qu'il a été admis dans les Chapitres précédents, et dans 
l'autre cas : 

l'espace, le plan, la droite et le point. 

Le dénombrement sera le même dans les deux cas (§ 8) : 

00^, 00®, 00*, 00*. 

C'est la loi de dualité, en vertu de laquelle un théorème sur 
des lieux des points est transformé en un théorème sur des 
lieux de droites dans la géométrie plane, sur des lieux de plans 
dans celle de l'espace, et des lieux d'espaces dans celle de 
retendue. Ces lieux transformés s'appellent des em^eloppes et les 
coordonnées qui y conduisent directement s'appellent des coor- 
données tangentielles ; les figures qui ont entre elles cette corres- 
pondance sont dites réciproques ou corrélatives. Avec les coor- 
données ponctuelles d'une part, et les coordonnées tangentielles 
d'autre part, on peut écrire deux traités parallèles, ne différant 
en apparence que par certaines substitutions de mots, en réalité 
roulant sur des objets et donnant des résultats qui n'auront 
généralement pas d'autre parenté que ce rapprochement matériel. 
C'est celte correspondance que M. Poincaré a si pittoresquemeni 



5a cuàpitrb v. 

exprimée avec son idée du Dictionnaire, qui s'applique à noire 
sujet quoiqu'elle en vise un autre : 

a Construisons, dit-il, une sorte de dictionnaire en faisant 
correspondre chacun à chacun une double suite de termes écrits 
dans deux colonnes, de la même façon que se correspondent, dans 
les dictionnaires ordinaires, les mots de deux langues dont la 
signification est la même. Prenons ensuite les théorèmes de 
Lowatschewski et traduisons-les à Taide de ce dictionnaire 
comme nous traduirions un texte allemand à l'aide d'un diction- 
naire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi les théorèmes 
de la géométrie euclidienne » (*). 

L'intérêt serait évidemment médiocre si tout se réduisait à une 
pareille traduction; mais il appartient à la perspicacité du mathé- 
maticien que le champ nouveau dans lequel elle le transporte 
renferme lui-même des richesses exploitables, 

La manière la plus simple d'exprimer analytiquement la loi de 
dualité paraît être celle-ci. 

Nous avons admis jusqu'ici que, dans notre équation fonda- 
mentale du § 1, 

les a, ou plutôt les rapports de quatre d'entre eux au cinquième, 
sont des constantes afférentes à un espace fixe, tandis que les x 
sont des grandeurs variables desquelles dépend la position d'un 
point, et l'équation exprime que celui-ci est sur celui-là : c'est 
l'équation de l'espace en coordonnées ordinaires. Admettons, au 
contraire, que les a sont des grandeurs variables desquelles 
dépend la position d'un espace et les x des constantes afférentes 
à un point fixe ; alors l'équation exprime que celui-là passe par 
celui-ci : ce sera l'équation du point en coordonnées tangen- 
tielles. 

Dans cette théorie on a l'habitude, afin d'établir dans la forme 
la corrélation qui existe dans le fond (l'idée paraît simple et 
modeste, mais elle a eu d'importantes conséquences) : i° de rem- 



(') Revue générale des sciences pures et appliquées , numéro du i5 dé- 
cembre 1891. 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES. 53 

placer les x par leurs rapports à une cinquième grandeur de 
môme espèce, ^5; c'est ce qu'on appelle rendre les coordonnées 
homogènes; 2® de remplacer le symbole a par le symbole 5, et, en 
général, de représenter deux grandeurs corrélatives par deux 
lettres corrélatives, une de l'alphabet latin, l'autre de Talphabet 
grec. Notre équation fondamentale prend ainsi la forme 

c'est, à volonté, Téquation de l'espace en coordonnées ordinaires, 
ou du point en coordonnées tangentielles. 

Tel est le point de départ d'une théorie qui a pris tant de déve- 
loppement (*). 

Dans la Géométrie à deux dimensions, le plan et la droite sont 
corrélatifs Tun de l'autre. Dans celle à trois, le plan et l'espace 
sont corrélatifs l'un de l'autre, et la droite est corrélative d'elle- 
même. Dans celle à quatre, le point et l'espace sont corrélatifs 
entre eux ; la droite et le plan, considérés comme des lieux de 
points ou des enveloppes d'espaces, le sont entre eux. 

Les lois d'homographie et de dualité ont reçu la consécration 
d'un monument impérissable : la Géométrie supérieure de 
Chasles (*). Elles occupent une si haute situation dans la Science 
et le cours de nos déductions nous en faisait passer tellement 
près que nous avions le devoir de ne pas les passer sous silence. 
Nous les rencontrerons plus d'une fois ; mais, obligés par notre 
programme à passer d'un sujet à un autre sans en approfondir 
aucun, nous n'aurons pas à en faire un usage systématique. 

Avec le principe de V Indétermination du point analytique, qui 
les domine, elles forment la mine la plus riche qu'ait rencontrée 
la Géométrie moderne, et la plus exploitée. Voici ce que M. Mou- 
tard en disait déjà en 1864 (') : 

« La découverte des principes de la projection centrale marque 
incontestablement une époque importante dans l'histoire de la 

( * ) Voyez par exemple : Garbirrt, Sui fascié e suite schiere di superficie 
{Atti delVIst. Veneto, 1886). — Papelibr, Leçons sur les coordonnées tan- 
gentielles, 2 vol. in~8; Paris. 

(*) Traité de Géométrie supérieure, i" édition, iSSa, a* édition, 1880. 

(*) Dans les Notes aux Applications d'Analyse et de Géométrie de Pongelet, 
t. I, p. 509. 



54 CHAPITRE V. 

Géométrie moderne. Les méthodes fondées sur ces principes 
possèdent un caractère à la fois intuitif et systématique, qui 
les rend également propres à découvi'ir de nouvelles propriétés 
des figures et à rattacher tout un ensemble de propositions à une 
môme vérité générale. Par là, elles n'ont pas seulement agrandi 
et simplifié la science de Tétendue, mais, en donnant Timpulsion 
à Tétude des procédés généraux de traasformation des figures, 
elles ont pour ainsi dire doté la Géométrie d'une puissance 
nouvelle. » 

Plûcker, dont le nom est connu de tous les mathématiciens, 
dont ToBUvre a contribué avec celles de Poncelet, de Chasles, de 
Grassmann et de Riemann, à aiguiller la Géométrie dans la 
direction qu'elle a aujourd'hui et à lui donner la puissance de 
l'Analyse, a créé une géométrie des plus intéressantes et des plus 
originales (*), affranchie de la condition d'égalité des degrés des 
champs que l'on fait correspondre. Elle prend la droite comme 
élément générateur de l'espace, faisant ainsi de celui-ci un champ- 
de-droites Crf, c'est-à-dire un être quadridimensionnel, puisque 
le nombre des droites y est oo*. Plus tard, Sophus Lie, Reye, 
Loria, Darboux (■), ont fait jouer à la sphère le même rôle dans 
les conditions les plus variées. C'est qu'en effet, comme on peut 
décrire un oo* de sphères autour d'un point quelconque de l'es- 
pace pris pour centre, il y en a un oo* pour l'espace entier: celui- 
ci peut donc être considéré comme un champ quadridimen- 
sionnel de sphères, comportant une géométrie analogue à celle de 
Plûcker. 

(*) Plûcker, Neue Géométrie des Baumes gegrûndet au/ die Betrach- 
tung der geraden Linie als Baumelement, Leipzig, in-8% 1868-1869. 

( *) S0PHU8 Lie, Ueber Complexe^ insbesondere Linien- und Kugelncomplexe, 
dans Math, Annalen, 187a; et Comptes rendus de l* Académie des Sciences 
de Paris, t. LXXI, 1871, p. 697. 

Reye, Synthetische Géométrie der Kugeln^ 1879. — Une traduction italienne 
de cet Ouvrage, par Misani, a été publiée en 1881. 

Loria, Bicerche intorno alla Geometria délia s fera e loro applicazione 
allô studio ed alla classificazione délie superficie di quarto ordine aventi 
per linea doppia il cerchio imaginario alV infinito [{Mémoires de Turin, 188^ ). 

Darboux, Leçons sur la théorie générale des sur/aces et les applications 
géométriques du Calcul infinitésimal, Paris^, 1887- 1896. 

Voyez aussi : Klein, Conférences sur les Mathématiques, faites au Gongrâs 
de Chicago. Paris, 189S. 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES. 55 

L'étendue elle-même a été traitée comme un champ d'hyper- 
sphères (*), 



§ 20. — Notre propre espace dans le système de coordonnées. 

Après cette double digression, nous revenons à l'ordre d'idées 
du § 16 pour dire que rien ne nous empêche d'attaquer désor- 
mais les questions qui ne sont pas indépendantes du choix des 
axes, ni de faire tel usage qu'on voudra du système des quatre 
espaces coordonnés, rectangulaires ou obliques. 

Nous en faisons une première application pour établir cette 
proposition que tous les espaces sont pareils entre eux, et que 
tout espace est symétrique de lui-même par rapport à un quel' 
conque de ses plans. Quelle que soit l'équation d'un espace donné, 
et quel que soit le plan donné dans cet espace, on peut en effet, 
par un changement de coordonnées, ramener l'équation du pre- 
mier à j:* = o, ce qui démontre la première partie de la proposi- 
tion, et les équations du second à 5:4 = 0, ^, = 0, d'où il est aisé 
de conclure la seconde partie. 

Ces propriétés sont déjà connues pour le plan relativement à 
ses droites et pour la droite relativement à ses points. On les 
énonce encore en disant qu'une droite est coupée en deux moitiés 
égales par un quelconque do ses points, un plan par une quel- 
conque de ses droites, un espace par un quelconque de ses plans, 
l'étendue par un quelconque de ses espaces. La considération des 
demi-droites f des demi^plans et des demi-espaces va être utile 
dans l'étude des angles. 

Nous admettrons toujours que notre espace est l'un des quatre 
espaces coordonnés, et nous lui attribuerons l'équation 

a?4 = o; 

il contiendra les deux plans et les trois axes coordonnés dans 
les équations desquels se trouve l'équation x^ = o] il contiendra 
aussi toutes les figures représentées par deux, trois ou quatre 



(*) GiACOMiNi, Suila corrispondenza fra la Geometria conforme di S4 e 
la geometria projettiva dello apazio ordinario {Annales de V École Nor- 
male supérieure de Pise^ 1899). 



56 



CIlAlMlllK V. 



équations parmi lesquelles se trouve x^^=o explicitement ou 
implicitement. L'axe restant s'appelle Vaœe de la quatrième di- 
mension; toute direction faisant avec lui, en coordonnées rectan- 
gulaires, un angle différent de 90*», est du domaine de la qua- 
trième dimension. 

Comme il importe que le système de coordonnées soit bien 
compris, nous allons le présenter d'une autre manière, en pre- 
nant la suite des idées dans Tordre inverse et substituant la 
forme concrète à la forme analytique. 

Dans notre espace, que nous appellerons aussi Yespace des 



/ \ 

/ \. 



/ 






JTh 



t. 



\ 



\ 



\ 



\ 



\ 



k 



\ 



\ 



\ 



\ 



\ 



ITWWVVVTTI 

Il iWinii ^ 

iiiiiillnnlilj 




5^ 

V y- 07 O// 
/ / // '// -- -, 
// / -^^ V y/' 

^.. ,■,.■■■■■ .o.,<;r^...,.,.;r,., 
7yv''y'7'^-' 



/ 



7 



Fig. 6. — Le Système de coordonnées. 

LÉOBNDB DB LA FiouRB.— (^i'b)* le plan horizontal ; Ox, et Ox„ deux droites de ce plan 
perpendiculaires entre elles. — K^x^^) et(x,j;,), deux autres plans menés par ces 
lieux droites perpendiculairement au premier, et déterminant par leur intersection 
le troisième axe Ox,.— (x,x,x,), Tespace des trois plans, ou nQiTB^^pB.ix.'-^x^x^x^)^ 
(XfXjX^) et (x,x,xj, trois autres espaces menés par ces trois plans perpendiculai- 
rement au premier, et déterminant par leur intersection le quatrième axe Ox^. — 
(x,x«) et (XjX^), deux plans absolument "perpendicuiiXTeSy respectivement, aux 
plans (x,xj et (x,x,) et les coupant suivant ie point 0; ils sont stmptemen/ per- 
pendicu/atres entre eux et se coupent suivant la droiu Ox^. 



a?i x^ xxy et par un point 0, concevez trois lignes perpendiculaires 
entre elles Oo?,, Oo:,, Oj^sI la première sera, par exemple, l'hori- 
zontale qui se dirige vers vous, la seconde celle qui va de votre 
gauche à votre droite, et la troisième la verticale qui pointe vers 



SYSTÈMES DE COORDONNÉES. 67 

le haut. Vous pouvez prendre une feuille de dessin posée sur une 
table horizontale pour le plan des x^ a?, et y tracer les deux pre- 
mières, mais non la troisième, car elle n'a qu'un point dans ce 
plan, le point 0. Celle-ci détermine avec celles-là deux autres 
plans, celui des xi x^ et celui des x^ x^^ qui, perpendiculaires 
entre eux et à a?, x„ forment avec lui le système de coordonnées. 
Babatlez le premier sur la feuille en le faisant tourner autour de 
l'intersection commune Qx^. Si vous vouliez figurer en plan le 
système x^ x^ a:,, vous n'auriez qu'à rabattre de môme le second 
en le faisant tourner autour de sa ligne de terre O^i ; mais lais- 
sons ce deuxième rabattement à la Géométrie à trois dimensions : 
notre affaire est un peu moins simple. 

Menez maintenant par le point la perpendiculaire 0^4 à l'es- 
pace x^ Xi a?,. Elle n'y a pas d'autre point, et elle détermine, avec 
chacun des plans xi a?,, x^ j?,, x^ xi trois autres espaces qui sont 
perpendiculaires entre eux et au premier, et forment avec lui le 
système des quatre espaces coordonnés 

Elle détermine en outre, avec chacun des axes xi, .r,, ^,, trois 
autres plans qui sont perpendiculaires à l'espace x^ x^ xi et for- 
ment avec les trois premiers les six plans coordonnés 

•A'|<X'J, viC'I.A'J, wl'{iX'2j tX^tA/lf aXlûC], **■ ^ *A/^» 

Nous négligerons le cinquième comme nous avons négligé le 
second et nous emploierons comme ceci les deux autres plans 
nouveaux, qui sont le quatrième et le sixième : i"* Dans l'espace 
que le plan x,, xi détermine avec le plan x^ x^, rabattez-le sur 
celui-ci en le faisant tourner autour de l'intersection commune Oj^i. 
Q** Dans l'espace que le plan Xf, j?, détermine avec le plan x^ a?,, 
faites tourner le premier, comme une porte, autour de Tinter- 
section commune Ox^ jusqu'à ce qu'il coïncide avec le second, 
puis supposez qu'il l'accompagne dans le rabattement autour de 
0^1 décrit dans l'alinéa précédent ; il s'appliquera avec lui sur la 
feuille Xi Xi. 

Le système est alors représenté sur cette feuille. Il est vrai que 
deux de ses plans, Xi xi et x^ ^4, sont laissés de côté; mais les 
quatre autres suffisent pour sa détermination, et ils sont appli- 



58 GHAPITRK y. — SYSTÈMES DE COORDONNÉES. 

qués sur elle. Ils le sont avec les flgures qu'ils contiennent; vous 
pouvez dessiner sur chacun d'eux telles autres figures qu'il vous 
plaira; puis vous aurez les unes et les autres dans leur vraie 
position en rétablissant par les moyens inverses des précédents 
les trois plans autres que x^ x^, un dans notre espace comme 
celui-ci, les deux autres dehors. 

Sous les noms A, B, C, D, ces quatre plans superposés reparaî- 
tront dans le § 2i-, où le sens des rotations, négligé ici, sera 
précisé ; à partir de là ils ne cesseront guère de jouer un rôle 
important. 



>•••< 



LES ANGLES. 5g 



CHAPITRE VI. 



LES ANGLES. 



§ 21. — Dièdres d'espaces. 

Nous ne voulons pas aborder la Tétragonométrie, qui est assez 
compliquée, mais seulement définir la notion à'anglcy sur 
laquelle elle repose. D'ailleurs, nous ne nous arrêterons pas sur 
les cas : 

De deux droites, 

D'une droite et d'un plan, 

De deux plans se coupant suivant une droite, 

D'une droite et d'un espace, 

D'un plan et d'un espace; 

les trois premiers se présentent à peu près de la même manière 
que dans la Géométrie à trois dimensions; dans les deux der- 
niers, l'angle n'est autre chose que celui de la droite ou du plan 
avec la droite ou le plan qui en est la projection sur l'espace 
considéré (§ 14, IV). 
Il ne reste donc à traiter que les cas : 

De deux espaces, 

De deux plans qui se coupent suivant un point; 

nous verrons d'abord le premier; le second est une question dif- 
ficile, qui ne pourra venir qu'au § 26 à la suite de plusieurs 
autres. 

Soient A et B les deux espaces donnés. Rapportons-les à un 
système de coordonnées rectangulaires en prenant le premier 
pour l'espace des x^x^xi,, leur plan d'intersection pour le plan 



60 CHAPITRE VI. 

des x^ x^. L'espace A aura pour équation 

Xi = o, 



'ï 



et l'espace B, comptant parmi les espaces générateurs du plan 
x^ = o, ar, = o, aura une équation de la forme 

X\ ~T~ A ,3?j — o. 

En posant X = — cot «p, ces équations prennent la forme 

1 x^ — j:»! tangcp = o; 

on y voit un paramètre, et un seul, qui est un angle «p. M. Jordan 
a démontré, mais nous ne reproduirons pas sa démonstration, 
faite pour la Géométrie à un nombre quelconque de dimensions, 
que les carrés des lignes trigonométriques de cet angle ne sont 
altérés par aucun changement de coordonnées, celles-ci demeu- 
rant rectangulaires. C'est ce qu'on appelle des invariants du 
système (*). Les lignes trigonométriques elles-mêmes ne sont 
pas des invai*iants, car on peut changer leur signe à volonté en 
changeant celui d'une des coordonnées. 

Tous les systèmes de deux espaces ne sont pas pareils entre 
eux, comme le sont tous les espaces entre eux; mais ils ne 
diffèrent les uns des autres que par l'élément caractéristique ?, 
qui s'appelle leur angle. Deux systèmes de deux espaces sont 
identiques si cet élément a la môme valeur, et différents dans le 
cas contraire. 

L'angle de deux espaces comprend quatre parties opposées 
deux à deux, de part et d'autre du plan d'intersection. Ce sont 
quatre dièdres d'espaces ayant pour arête ce plan, et i^our faces 
les demi-espaces qui en partent. L'un d'eux est le maximum et 
l'autre le minimum de Tangle qu'une droite quelconque menée 
dans un des demi-espaces fait avec une droite quelconque menée 
dans un des trois autres. 

Si l'on prend sur l'un des deux espaces un point quelconque m, 
qu'on en abaisse sur le second une perpendiculaire mp := o?,, que 



(') On peut consulter sur les Invariants : ândoyer, Leçons sur la théorie 
des formes et la Géométrie analytique supérieure, Paris, 1900. 



LES ANGLES. 6l 

du pied p de celle-ci on abaisse une deuxième perpendiculaire 
pq = a?! sur le plan-arête, le rapport 

mp x^ 

pq ~~ x^ 

est la tangente de l'angle des deux espaces. C'est la môme 
construction que pour deux plans et pour deux droites, et il en 
résulte la solution du problème suivant : 

Étant donné un demi-espace A limité par un plan P, on 
demande de trouver un autre demi^espace faisant avec le pre- 
mier un dièdre de valeur donnée ». On mènera par un point q du 
plan P un plan perpendiculaire à ce plan et coupant le demi- 
espace A suivant une droite qp\ par un point p de celle-ci on élè- 
vera une perpendiculaire sur A de longueur jd/w telle que l'on ait 
pm •=^pq tang ©; l'espace demandé sera celui passant par le plan 
P et le point m, 

§ 22. — Les trois formes classiques de Téqaation d'nn espace. 

Considérons un espace A placé d'une manière quelconque. 
Menons-lui par l'origine une perpendiculaire dont soient P le 
pied et d la longueur. Soient en outre 

«Il «1» *.1î Ût4 

les cosinus des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes 
des 

*^\i ^tl "^31 »^*> 

égaux aux dièdres que Tespace A fait avec les espaces coordon- 
nés correspondants. 

Pour un point quelconque M de l'espace A, la ligne MP est per- 
pendiculaire à OP; par suite, d est la projection du contour 
x^ Xf x^ x^, et Ton a 

c'est ce qu'on appelle Véquation aux cosinus. Pour l'identifier 
avec noire première équation, l'équation (4) du § 1, il faut obser- 
ver que tous les a sont compris entre — i et -h i , et commencer 



6a CHAPITRK Vf. 

par mettre dans la môme condition les coefficients de cette équa- 
tion. Pour cela, il n'y a qu'à la diviser par s/a\ -^aX-^al-^-al ; 
en désignant le radical par r, on peut alors poser 

V7| a^ flj a,, , «0 

I ,. ' r /• r ' r 

et Ton voit qu'il y a entre les cosinus la relation 

«î -+- aj -h aj -+- a* = I . 

Mentionnons enfin, pour mémoire, la troisième forme classique, 
celle des segments à l'origine, savoir : 

X\ X\ X% Xl 



Pi Pt Pi Pk 

où Pu Pu Pu Ph sont les longueurs comprises sur chaque axe 
entre l'origine et le point où il est coupé par l'espace A. 

§ 23. — Les triédres. 

Le trièdre ordinaire est la flgure formée par trois demi-droites 
a?i, Xl, Xi (§ 20) issues d'un même point et non situées dans un 
même plan. 11 est tout entier dans un espace, que déterminent 
ses trois arêtes. 

On appelle trièdre de seconde espèce la flgure formée par trois 
demi-plans X|, Xs, X| issus d'une même droite d et non situés 
dans un même espace; la droite d s'appelle Vaxe du trièdre; les 
portions des plans X|,X,, X, limitées par leurs intersections deux 
à deux sont les faces à deux dimensions du trièdre; nous les dési- 
gnerons par Al, At, A,; les dièdres qu'elles forment sont les /ace5 
à trois dimensions du trièdre et se désignent par Ai A,, At A,, A, Ai ; 
enfin les dièdres d'espaces que forment les espaces que ceux-ci 
déterminent deux à deux sont les faces à quatre dimensions du 

^r/èû^re et se désignent par Al Al A„ A,A,Ai, AjAiAj. Le trièdre lui- 
môme se désigne par Ai Ai As . Chaque face plane a pour opposée la 
face à trois dimensions déterminée par les autres. La somme des 
angles des faces à deux dimensions est moindre que quatre angles 
droits. Celle des angles dièdres des faces à trois dimensions est 
plus grande que deux, et moindre que six angles droits. 



LES Al^GLES. 63 

Il ne faudrait pas considérer la définition du trièdre de seconde 
espèce comme faite à plaisir. Elle correspond à celle du cône de 
seconde espèce qu*on verra plus loin, et elles ne sont Tune et 
Tautre que le commencement d'un épanouissement qui se con- 
tinue dans les champs de degré supérieur en se compliquant de 
plus en plus. 

§ 24. — Le qnadrièdre droit. 

Quatre espaces ont pour intersections : 

Un point (§ 1), généralement unique et déterminé, et nous 
admettrons ici que tel est le cas ; 

Des plans, dont le nombre est — ^ =6; 

4 3 2 
Des droites, dont le nombre est ■ ' ' = 4> par chacune dcs- 

quelles il passe trois plans. 

Cet ensemble est le qucuirièdre à quatre dimensions, appelé 
aussi tétraédroïde, mot dont nous ne ferons pas usage parce que 
nous visons surtout le quadrièdre droit, qui ne peut exister dans 
un espace et par suite ne peut pas donner lieu à confusion avec 
le quadrièdre ordinaire. On a déjà vu, § 16, que notre système de 
coordonnées rectangulaires n'est autre chose qu'un quadrièdre 
droit; aussi importe-t-il de bien connaître celui-ci et nous ajou- 
terons quelques mots à ce qui en a été déjà dit. 

Il se compose : 

Des quatre droites ou arêtes, qui sont les axes coordonnés 

/j^ /j^ ^1^ 1" * 

•*'lj •*'2» «^3} '^■4> 

Des six faces planes, on faces à deux dimensions 

**'1»*'1> •*'l»*^3» *^3»**j •*4'*1> **'l'*'3ï •*'2*^4i 

sur lesquelles nous reviendrons dans le paragraphe suivant ; 

Des quatre faces à trois dimensions y qui sont les quatre 
espaces coordonnés, dont chacun est perpendiculaire à Taréte 
et aux plans qu*il ne contient pas; 

Enfin de quatre trièdres de seconde espèce, dont chacun a 
pour axe une arête et pour faces les plans allant de celte arête à 



64 cujiriTRB VI. 

chacune des ti'ois autres; comme pour les faces planes diagonales 
X, X, et x,a;t, il n'y a guère lieu de s'en occuper en ce qui con- 
cerne le système de coordonnées. 

On se fera une idée du quadrièdre droit par la construction 
suivante. 

Formons d'abord un Crièdre ordinaire droit. Si, sur une table, 
nous réunissons trois triangles rectangles par les sommets de 
leur angle droit 0, ils laissent entre eux des interstices (dont la 
somme est égale à un droit) qu'on ne peut faire disparaître qu'en 

Pis. 7- 



sortant la figure du plan,- alors les deux CÔtés qui portent la 
lettre x affectée du môme indice, s'appliquent aisément l'un sur 
l'auti-e et deviennent les trois arêtes du Irièdre droit. 

Prenons maintenant quatre de ces trièdres droits I, II, III, IV et 
réunissons leurs sommets en un point ; ils laissent aussi entre 
eux des interstices qu'il est impossible de faire disparaître. Mais 
si nous marquons leurs arâtes et leurs faces comme ceci 



-i^tt .^*> 



IV Xi, XiX„ Xt, x^Xi, Xi, x^x^, 

et si nous supposons mobiles leurs espaces respectifs (§ 15), il 
sera facile d'appliquer l'une sur l'autre, deui par deux, les faces 
qui ont la même marque, et trois par trois les arêtes qui sont dans 
le môme cas. Le quadrièdre droit sera construit; on peut dire, 
dans lesens ainsi défini, qne toutes ses /aces sont doubles et toutes 
ses arêtes, triples. 



LES ANGLES. 65 

Dans la géométrie à deux dimensions, les deux axes coor- 
donnés partagent le plan en 

angles droits, dont les figures limitantes (côtés) sont deux droites ; 
en appelant i, 2, 2, 4 les quatre demi-axes ±^1, it: j:, et dési- 
gnant un angle par ses deux côtés, ces angles droits sont 

12, 23, 34, 4i- 

Dans la géométrie à trois dimensions, les trois plans coordonnés 
partagent l'espace en 

2«=8 

trièdres droits, dont les figures limitantes sont troi'i angles droits; 



3 • 






1 

(*a:à) 



2 



(•»>ac 



5 



Fig. 8. 










(+JCï) 



Tk^) 



6 




en appelant i, 2, 3, 4, 5, 6 les six demi-axes ± x^^ ±:^t, iba?, et 
désignant un trièdre par ses trois arêtes, ces trièdres droits sont 

123, 234, 345, 456, 56i, 612, i35, 246. 

Les angles droits limitants sont, pour le premier, 12, 23, 3i, et 
de même pour les autres. 

Dans la géométrie à quatre dimensions , les quatre espaces 
coordonnés partagent rétendue en 

2*1=16 

quadrièdr es droits, dont les figures limitantes sont ^wa^re trièdres 
droits. En appelant 

1, 2, 3, 4i 5. 6, 7, 8 
les huit demi-axes 

J. ô 



66 CHAPITRE YI. 

et désignant un quadriëdre par ses quatre arôtes,ces quadrièdres 

droits sont 

1256, 1267, 1278, 1285, 

2356, 2867, 2878, 2385, 

3456, 8467, 3478, 3485, 

4i56, 4167, 4178, 4^85. 

Les trièdres limitants et les faces sont, pour le premier, 

125, 126, i56, 256, 
12, 25, 56, 61, i5, 26, 

et de même pour les autres. Nous retrouverons ces groupes de 
chiiFres dans les §§ &-1 et kk, oh ils désigneront, non plus des 
lignes, mais des points. 

Le quadriëdre droit construit ci-dessus ne constitue qu'une 
seule des seize régions qu'on vient de définir : il en faut juxta- 
poser à celui-là quinzeautrespareilspour remplir toute l'étendue 
autour du point et avoir le quadrièdre droit complet. 

On voit ainsi qu'il y a seize points différents ayant les mêmes 
coordonnées en valeur absolue, et différenciés par les seize combi' 
nuisons de signes -h ou — affectant ces valeurs. 

Les seize quadrièdres se divisent en huit couples. Deux d'un 
même couple ont un trièdre commun dans l'espace .21:4 = 0, 
c'est-à-dire le nôtre; cela fait dans cet espace huit trièdres, les- 
quels forment ensemble le système de coordonnées des œ^x^^x^, 
qui est celui de la Géométrie à trois dimensions. Semblablement 
pour chacun des trois autres espaces. 

§ 25. — La Géométrie descriptive à quatre dimensions. 

L Nous avons vu que le système de coordonnées comporte trois 
sortes d'éléments : des espaces, au nombre de quatre; des plans, 
au nombre de six; des axes, au nombre de quatre. Jusqu'ici nous 
avons considéré surtout les premiers ou les troisièmes ; considé- 
rons maintenant ceux de la seconde catégorie. 

Les plans coordonnés se peuvent associer par deux de deux 
manières : l'^ily a trois couples de plans opposés, n'ayant en 
commun que l'origine et absolument perpendiculaires l'un à 



LES ANGLES. 



67 



l'autre : 



*V\%Cj^ 6« <^3^4) ul7| vl7g Cl ^t^4> *V%*X/f C« ûC/^ûC^y 



a® il y a douze couples de plans adjacents, simplement perpen^ 
diculaires l'un à l'autre et se coupant suivant une droite, qui est 
un des axes coordonnés ; tels sont, par exemple, 



â7| ui7| eD *jc^ic^^ ûP^îZ/^ e» ûPmûc^j 



etc. 



Dans le premier cas, les quatre indices sont différents; dans le 
second, il y en a un de répété. 

D'autre part, nous avons défini, § 14, la projection d'un point 
sur un plan, laquelle est un autre point, unique et déterminé. 



(«) 



Fig. 9« 



♦JC5 



-*-Jp»i 



♦a;> 



C 



♦OCj 



r — ^ 



B 



'JCg 



I 
I 

4.. 



♦oi 



OCg 



♦«xs 





♦ JO, 


•»J99 


_ .A 




r ■ 




1 
1 


-t-JCé 


! c 


B 


1 


*^JCp 


1 D 


A 


1 




L — 





1 

1 

--4 




*^i 


♦ aTj 





(^) 



Un point de l'étendue, a?^, j?,, ar„ a?4 est déterminé par ses ^vo» 
jeciions sur deux plans opposés x^xx et x^x^^ car elles ont pour 
coordonnées dans leur plan respectif, l'une x^ et x^ par rapport 
aux axes xi,^?,, l'autre a?, et a?* par rapport aux axes x^^Xi,, Un 
objet quelconque de Vétendue peut donc être déterminé et repré- 
sente par les projections de ses différents points sur ces deux 
plans. 

Par la considération suivante, nous réunissons les deux pro- 
jections sur une seule et même feuille de dessin. 

Supposons, comme toujours, que l'espace xix^x^ est le nôtre, 
et, en outre, que le plan x^xt est celui de la feuille sur laquelle 
ces lignes sont imprimées, les axes ^1, Xt ayant leur direction 
positive dans l'angle droit inférieur A (Jig. 9, a). Faisons tourner 
l'espace x^x^x^ de 90^ autour du plan x^x^^ qui est son inter- 
section avec le nôtre. Le plan x^x^ tournera aussi de 90° autour 
de l'origine (§ 15), les axes x^ et x^ qu'il contient venant s'appli- 



68 



CHAPITRE YI. 



quer respectivement sur les axes a?, et x^ ; ce plan sera ainsi venu 
dans notre espace, où il se trouve placé perpendiculairement 
suivant O^r, à notre feuille. Rabattons-ie sur celle-ci en le faisant 
tourner autour de Ox^ de la droite vers la gauche; il s'appli- 
quera par les directions positives de ses axes Oo?, et O^r^ dans 
l'angle supérieur C. 

Rien ne nous empêche de faire une opération analogue pour le 
couple conjugué x^x^ çXx^xx, et de rabattre ses deux plans dans 
les deux autres angles B et D. En définitive les quatre plans 

X^X^j X^X%^ X^X^y x^x^ 

sont rabattus respectivement, par les directions positives de leurs 
axes, dans les angles 

A, ou inférieur droit ; 

B, ou supérieur droit ; 

C, ou supérieur gauche; 

D, ou inférieur gauche, 

de la feuille de dessin. 

La Jig. b représente la construction afférente aux couples x^x^ 
et a7,j74, et Ton pourrait faire une troisième figure afférente aux 
couples x^x^ et x,,x^\ mais nous ferons exclusivement usage du 
système que représente la Jig, a. Voici, pour lui, comment le 
rabattement applique les quatre régions des plans coordonnés 
sur les quatre régions de la feuille de dessin, les unes et les 
autres étant désignées par les deux signes qu'elles imposent aux 
coordonnées. 



FEUILLE DB DEStlN. 




PLANS COORDONNiS 


«i«> 


Jt,X, 


«1*4 


X,X. 


inférieur droit 


1 

1 

— _i_ 1 — — 






5 supérieur droit 

1 supérieur gauche 

1 inférieur cauche 


— - -r- 1 — -f- 
1 








1 





IL II est clair que la réunion de deux figures opposées, telles 
que A et C, ne saurait représenter pour notre esprit quelque chose 



LES ANGLBS. 69 

de concret, puisque, ramenées dans leur position réelle, elles 
se trouvent dans des espaces différents. Mais il n'en est pas de 
même pour la réunion de deux figures adjacentes telles que 
A et B, a?ia7, et ar,^,. Bamenées à leur position relative réelle, 
celles-ci sont dans le même espace et y sont dans des plans per- 
pendiculaires l'un à l'autre, dont Taxe qui les sépare sur le 
dessin est l'inlersection . C'est dès lors de la Géométrie descrip- 
tive ordinaire; les deux figures déterminent un espace x^x^x^^ 
ou AB, et représentent ensemble une figure à trois dimensions 
située dans cet espace; cette figure n'est autre chose que la pro- 
jection sur cet espace de la configuration formée dans V étendue 
par V ensemble des points considérés. 

Deux projections opposées A et C déterminent complètement la 
figure de l'étendue, et, avec elle, toutes les choses qui en dépen- 
dent; par exemple, on peut en déduire les figures B et D rien 
qu'en menant des parallèles aux axes par les points corres- 
pondants. Deux projections adjacentes A et B ne déterminent que 
la projection de la figure de l'étendue sur un certain espace AB ; 
mais il va de soi que la réunion des projections sur deux espaces 
différents, tels que AB et DG de la figure 9, déterminerait aussi 
le corps à quatre dimensions. 

Remarquons qu'il ne s'agit en tout cela que de détermination 
géométrique. De nouveau, nous mettons le lecteur en garde 
contre l'espérance qu'il pourrait concevoir d'obtenir, par le 
moyen des projections spatiales elles-mêmes, la vision d'un 
corps à quatre dimensions. Nous pouvons bien construire dans 
notre espace, en fil de fer, en plâtrç ou en carton, une figure 
identique à ce que serait la projection du corps sur un espace 
placé dans l'étendue d'une manière quelconque par rapport à 
lui. Nous pouvons avoir autant de figures de ce genre que nous 
voudrons, et le Chapitre VIU en montrera plusieurs exemples. 

Mais, ce que nous ne pouvons pas faire, c'est de coordonner 
deux projections en mettant dans leur vraie position relative les 
deux espaces (ou les deux plans absolument perpendiculaires 
entre eux) sur lesquels elles ont été faites. Une seule projection 
d'un corps à quatre dimensions sur un espace a môme bien 
moins de valeur figurative pour nous que n'en a une seule pro- 
jection d'un corps à trois dimensions sur un plan, parce que, 



70 CHAPITRE TI. 

notre œil étant dans le même espace que la première, nous nous 
trouvons vis-à-vis d'elle dans les conditions où nous serions vis- 
à-vis de la seconde si nous la regardions en mettant notre œil 
dans son plan. 

in. En vue des applications qui se présenteront au Chapitre VIII, 
nous devons ajouter les remarques suivantes : 

i® On a vu, § 15, que deux positions d'un même corps dans 
rétendue peuvent être ramenées l'une à l'autre par deux rotations 
successives autour de deux plans absolument perpendiculaires 
entre eux. 

Réciproquement, si un corps est déplacé dans l'étendue de telle 
sorte que les deux projections d'un quelconque de ses points sur 
deux plans A, C absolument perpendiculaires entre eux décrivent 
chacune un cercle, et que les centres de ces deux cercles soient 
les mêmes pour tous les points du corps, le mouvement de celui- 
ci est une double rotation autour d'un couple de plans parallèles 
aux plans A, C. Les angles de rotation étant <p dans le premier et 
ff' dans le second, il y aura entre les coordonnées a? et y^ au 
commencement et à la fin du mouvement, les relations connues 

■ 

yi =z a?! cos «p — *r, sin cp, \ J's = -2^3 cos ©' — a:^ sin 9', 
jj =z xj sin <p — .r, cos 9, ) j\ — ^3 sin «p' — a:^ cos <p'. 

a" Si l'un des angles cp, <p' est égal à zéro, c'est-à-dire si rien ne 
bouge dans un des plans de projection, tandis que dans l'autre 
plan tous les points décrivent des cercles concentriques, le mou- 
vement du corps est une rotation autour d'un plan parallèle au 
premier plan de projection. 

3« On ne perdra pas de vue la différence essentielle qu'il y a 
entre les sens du mot projection sur un plan, dans la Géométrie à 
trois et dans celle à quatre dimensions. Dans la première, tous 
les points situés sur une même droite perpendiculaire au plan de 
projection ont pour projection un seul et même point; dans la 
seconde, ce sont tous les points situés dans un même plan abso- 
lument perpendiculaire au plan de projection. Dans la première, 
un point du plan de projection peut donc représenter, non seu- 
lement un point, mais encore des points en nombre quelconque 
situés sur une môme droite, laquelle est perpendiculaire au plan 



LES AN6LB8. 



7» 



de projection ; dans la seconde, le même point peut représenter, 
non seulement un point, mais encore des points et des droites 
en nombre quelconque situés dans un même plan, lequel est 
absolument perpendiculaire au plan de projection. 

4** Lorsqu'un espace est perpendiculaire au plan de projection, 
tous les points et toutes les figures qu'il contient se projettent sur 
une môme droite. On verra, dans les figures du Chapitre VIII, de 
nombreux exemples de ce cas et du précédent. 



§ 26. — Angles de deux plans. 

On sait qu'un dièdre de plans se ramène à un angle de 
droites en le coupant par un plan perpendiculaire à son arête. 
Sans en dire davantage sur ce cas, nous allons chercher la 
relation qui correspond à celle-là pour le cas où les deux plans 
donnés, A et B, se coupent suivant un point et, dès lors, ne 
forment pas de dièdre. 

Nous rapporterons nos deux plans au quadrièdre droit du § 2<^ 



Fig. 10. 







'P 



.•< 



p^^ >^~.. 



en supposant que le plan A soit celui des x^x^. Pour édifier ce 
système de coordonnées, menons par le point : 

I*» Dans le plan A, une première droite j?i, ce qui peut se faire 
de 00 manières; 

a® Un plan P' passant par Ox^ et perpendiculaire à A, qui sera 
le plan des ^i x,,: cette opération peut encore se faire de oo ma- 
nières (§ ik)\ 

3« Enfin un plan P perpendiculaire à P' suivant le premier 



72 CHAPITBB Yl. 

mode et un plan A' perpendiculaire de même à A; chacun d'eux 
est unique; le premier, qui coupe A suivant une ligne Oa?, per- 
pendiculaire à O^Ci, sera le plan des a?, œ^ et le second sera celui 

QeS wTj JO^m 

Comme on le voit, la construction est doublement indéterminée. 
Cette double indétermination sera levée plus loin en faisant 
intervenir à son tour le plan B. Pour un instant, nous prenons un 
quelconque des oo* systèmes qui s'offrent à nous, et nous simpli- 
fierons le plus possible les équations du plan B en le définissant 
par deux espaces générateurs dont l'un soit en même temps .un 
des espaces générateurs du plan des a?, j;,, Tautre un des espaces 
générateurs de celui des x,, x^. Ses équations sont alors 

JT, -h X J^j 1=1 o, 

Si nous cherchons l'intersection du plan ainsi défini avec A ou 
avec A', nous trouvons 

J?jiiz0, JTjZZiO, j'j-^iO, Xi^^=^0^ 

c'est-à-dire un point unique : l'origine des coordonnées. Remar- 
quons d'ailleurs qu'en partant d'un plan donné A, notre construc- 
tion peut atteindre et reproduire un plan quelconque B coupant A 
au point ; car le nombre de ces plans est oo*, et le nombre oo* des 
systèmes que nous avions déjà a été porté à oo* par l'arrivée des 
deux paramètres X, jjl. 
£n posant 

X=— COt<p, |JL=z— cot<^, 

nos équations du plan B prennent la forme 

x^ — xi tangtp =: o, 
x.^ — Xx tang<^ =1 o, 

contenant deux angles dont il importe que la signification géo- 
métrique soit bien comprise. 
Ce sont des dièdres d'espaces, savoir : <p des espaces 

j7, et ^-2 — Xjtangtp, ou A'FetBP', 

^ des espaces 

^v:=o, et a74=:a7itang<p, ou APetBP; 



LES ANGLES. 78 

P' est Tarôte du premier dièdre, P celle da second, A' et B les 
faces du premier, A et B celles du second. Cette définition serait 
aussi claire que naturelle pour les géomètres à quatre dimen- 
sions; nous avons, nous, plus de facilité à considérer des angles 
de droites que des dièdres d'espaces. Heureusement la substitu- 
tion est facile. 

Il est clair, en effet, que la trace du plan B sur celui des a?4 a?i a 
pour équation, rapportée à ces deux axes, 

^k — ^\ tang<^ = o, 

et que celle sur le plan des x^ x^ a pour équation 

x^ — xi tang© = o. 

Donc «p est Tangle que font ensemble les traces Op' etOa?! des 
plans B et A sur le plan P', et ^ est celui que font ensemble leurs 
traces Op et 0:r, sur le plan P. 

Nous devons maintenant serrer la question de plus près en fai- 
sant intervenir le plan B. 

Supposons que la droite Oa?^ tourne dans le plan A autour du 
point et décrive ce plan tout entier pour revenir à sa position 
de départ. Soit Qx^ une position quelconque. Elle est dans un 
même espace avec le plan B, puisqu'elle a un point commun 
avec lui. Nous pouvons donc la projeter orthogonalement sur ce 
plan comme le fait la géométrie à trois dimensions; soit O/i 
cette projection qui est unique et déterminée. 

Projetons de la môme manière Oj^i sur le plan A et soit O^i cette 
deuxième projection. A chacune des oo lignes Oa?!, il correspondra 
une ligne OÇi unique et déterminée; les deux multiplicités sont 
donc en relation homographique (§18): ce sont deux faisceaux 
qui sont dans un même plan A et y ont leurs sommets Tun sur 
Tautre. 

On sait (*) que, quand deux faisceaux homographiques ont le 
même sommet, il y a deux rayons doubles, c'est-à-dire dont cha- 
cun, considéré comme appartenant à Tun des deux faisceaux, est 
son propre correspondant dans l'autre. Appelons-les, dans notre 
cas, Oai et Oai ; appelons en outre O^i et 06, leurs projections sur 

(*)Gha8LE8, Géométrie supérieure, Ghap. YUI (p. iiSde la a* édition). 



74 GHàPITBB Yl. 

le plan B, qui sont les positions correspondantes de la droite 0/t ; 
en d'autres termes, remplaçons, dans la figure de la page 71, 
^1» ^î» P et P' par a,, «2, ^1, ^1. 

Si nous considérons le trièdre O^i^iat, rectangle le long de 
Tarête «i, nous avons 

cosoaj=: cosaïajCOS^^i ; 

mais les deux droites O^i et Oaj sont perpendiculaires entre elles 
parce qu'elles sont dans deux plans absolument perpendiculaires 

Oi 6] et a, ^t (§ Ifc, III) ; on a donc o, a^ = 90*» et par suite aussi 

aia,=r9o«, donc le trièdre est isoscèle birectangle et nos deux 

Fig. II. 




rayons doubles sont perpendiculaires entre eux. Nous pouvons 
prendre indifféremment, pour figurer Tangle, soit l'angle plan 
6iOa], soit l'angle dièdre hiaxa^. 

Nous voici parvenus au terme de cette longue étape : 

i*> Chacune des droites Oa,, Oa,, d'une part, 06,, Obf d'autre 
part, est la projection orthogonale de l'autre, et ainsi s'établit 
entre les deux plans A, B la réciprocité qui est une des choses 
que nous cherchions. 

2«Notre quadrièdre droit avait été construit avec une droite Oa?, 
et avec un plan P' = a'ia:4 indéterminés l'un et l'autre: c'est la 
droite Oaj qu'il faut prendre pour O^i et le plan a^Ob^ pour P'. 

Alors nous aurons deux angles O et V déterminés en position et 
en grandeur; ils jouiront de la propriété d'invariance, qui est 
une autre chose que nous cherchions, et qu'il est impossible de 
réaliser avec un paramètre unique. Ce sont ces deux angles qui 



LES A^'GLBS. 76 

caractérisent un système de deux plans se coupant suivant un 
point comme le caractéri^ la section droite du dièdre quand 
ils se coupent suivant une droite, et comme le dièdre d'espaces 
caractérise un système de deux espaces; cest d'eux qu'il faut 
dire que deudb systèmes de deux plans sont identiques quand ils y 
sont les mêmes et différents dans le cas contraire. 

On les appelle les angles des deux plans. 

Les quatre droites {fig» n) 

Oa,, Oa„ 06,, 06, 

forment un quadrièdre qui est compris entre les deux plans et 
qu'il est commode de considérer quand il s'agit de leur inclinai- 
son. Ses quatre dièdres sont droits, ce qui serait impossible dans 
l'espace ordinaire; de ses quatre faces, deux sont des angles 
droits et sont, l'une dans le plan A, l'autre dans le plan B; les 
deux autres sont chacune dans un plan qui est perpendiculaire à 
la fois à A et à B, et sont, l'une l'angle 4», l'autre l'angle v. 

Ces deux angles jouissent de diverses propriétés dont voici les 
principales: 

I*» Si l'on considère le dièdre formé par un espace générateur 
quelconque du plan A avec un espace générateur quelconque du 
plan B, ce dièdre demeure compris entre un maximum et un 
minimum qui ne sont autre chose que nos deux angles. 

2* Menons par le point une droite b dans le plan B et une 
autre droite a dans le plan A. On sait que si la droite b demeure 
immobile et que la droite a exécute une rotation complète dans 
le plan A, l'angle ba ne descend pas au-dessous d^un minimum m 
qu'on appelle^ /'a/i^/e de la droite et du plan. Supposons que la 
droite b exécute à son tour une rotation complète dans le plan B ; 
l'angle m variera sans descendre au-dessous d'un minimum qui 
est précisément un des deux angles *, v, et sans s'élever au-dessus 
d'un maximum qui est l'autre. 

Partant de cette propriété, prise comme évidente a priori ou 
démontrée par des considérations faciles, on peut en faire la défi- 
nition des angles o, v et le point de départ de la théorie; c'est 
ainsi que procède M. Schoute. 

3» Si, du point comme centre, on trace un cercle dans le 
plan B, la projection (voir § 14) de ce cercle sup le plan A est une 



76 CHAPITRE TI. 

ellipse dont Oai et Oa, sont les deux axes; un cercle tracé dans 
le plan A avec le centre se projette ae môme sur B suivant une 
ellipse dont O^i et bf sont les deux axes (*). 

Un point resterait à élucider pour achever la question. Nous 
Tavons ramenée aux rayons doubles de deux faisceaux homo- 
graphiques superposés ; or ces rayons doubles peuvent être réels 
ou imaginaires, et il nous incomberait d'établir que c'est toujours 
le premier cas dans la question actuelle. Nous laisserons ce point 
décote, nous contentantd'avoir mis dans son jour le singulier mode 
de relation qui se présente ici, et qui n'a rien d'analogue dans les 
deux premières géométries. Au fond, les angles de deux plans 
dépendent d'une équation du second degré ; quelle que soit la 
grandeur auxiliaire qu'on leur substituera, on ne pourra esquiver, 
ni ce fait, ni les calculs plus ou moins compliqués qui en sont la 
conséquence si l'on veut traiter la question complètement. 

Les auteurs italiens l'ont résolue en prenant appui sur un être 
qui semble au premier abord n'avoir guère de relation avec elle : 
la sphère imaginaire infiniment éloignée dans ré tendue {voir 
plus loin, § 3<»). 

§ 27. — Plans d'angles égaux. 

Les deux angles o, ^ sont indépendants l'un de l'autre et 
peuvent avoir chacun toutes les valeurs possibles. S'ils sont nuls 
tous les deux, c'est que les deux plans sont parallèles suivant le 
deuxième mode. Si l'un d'eux est nul sans que l'autre le soit, ou 
les deux plans se coupent suivant une droite, ou ils sont parallèles 
suivant le premier mode. Si l'un d'eux est droit,Jes deux plans 
sont simplement perpendiculaires entre eux, et s'ils sont droits 



(*) La question des angles de deux plans est difficile et n'a pas été étudiée 
par beaucoup d'auteurs. Citons: 

HOPPE, Ueber die Stellung der Ebene in der Vierdimensionalen Géométrie 
{Arck, der Math, und Phys., t. LXYllI, 1883). 

ScHODTL, Les angles quadridimensionaux de deux plans {Nieuw Archiefy 
a" série, t. UI, p. 111-116). 

Yeronêse, Fondamenti di Geometria, Padoue, 1891. — Ce dernier auteur 
traite la question par les droites riemanniennes que les deux plans ont dans 
Tespace de Tinfini, les angles des deux plans correspondant aux deux plus 
courtes distances de ces droites. 



LES ANGLES. 77 

tous les deux, les deux plans sont absolument perpendiculaires 
entre eux. 

Enfin ils peuvent être égaux. Ils ne sauraient le devenir par le 
fait de la rotation qu'en commençant ce paragraphe nous avons 
donnée au système de coordonnées, s'ils sont inégaux à un mo- 
ment quelconque de cette rotation ; mais ils le demeurent tout le 
temps s'ils sont égaux à un moment quelconque. Alors il n'y a 
plus ni maximum ni minimum; les angles ne sont plus au 
nombre de deux, mais sont en nombre infini et Ton dit des deux 
plans qu'ils sont plans d* angles égaux, ou plans à une infinité 
d*angles. Le cas correspond à celui, en géométrie plane, de deux 
faisceaux homographiques superposés ayant plus de deux rayons 
doubles. 



LES ÊTRES DE LA 6É0UÉTBIB A QUATBE DIMENSIONS. 79 



CHAPITRE VIL 

LES ÊTRES DE LA GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIONS. 



§ 28. — Les lignes, les surfaces et les hypersnrfaces. 

Le premier livre de la Géométrie analytique à trois dimensions 
a pour titre : La ligne droite et le plan. Ce qui précède est un 
résumé succinct de ce qu'est le livre correspondant de la Géo- 
métrie analytique à quatre dimensions, intitulé : La ligne droite, 
le plan et t espace. Si nous voulions continuer cette exposition, il 
nous faudrait reprendre les équations (a), (3) et (4) du début, et 
les discuter en supposant maintenant que A, B, G soDt des fonc- 
tions de degré supérieur des coordonnées x^^ a?„ a-,, x,^. 

Alors le système (2), formé de trois équations, représente une 
ligne, le système (3), formé de deux équations, représente une 
surface, et l'équation unique (4) représente une hypersurface. 
Ces dénominations demandent à être expliquées par quelques 
considérations d'ordre géométrique. 

Quand le point, qui est l'être géométrique primordial, se déplace 
dans l'étendue d'une manière continue, il engendre une ligne, — 
on dit aussi une courbe. Quand une ligne se déplace dans l'étendue 
de telle sorte que, si l'on considère deux positions successives^ à 
un point de la première il corresponde un point de la seconde 
et réciproquement, elle engendre une surface. Quand une sur- 
face se déplace dans l'étendue sous la même condition, elle 
engendre une hypersurface. La ligne ou la surface mobile s'ap- 
pelle la génératrice, et la ligne formée par une suite de points 
correspondants s'appelle la directrice. 

En résumé, la ligne est un lieu géométrique de points; la 
surface, un lieu géométrique de lignes, et l'hypersurface un lieu 



8o GBAPITBB yiU 

géométrique de surfaces. La première est à une dimension, la 
seconde à deux, la troisième à trois. 



I® Les lignes. 

Une ligne peut être tout entière dans un même plan, ou tout 
entière dans un même espace, ou, ce qui est le cas général, tra- 
verser successivement une infinité d'espaces différents; on dit, 
suivant chacun de ces trois cas, qu'elle est à simple, à double ou 
à triple courbure. Le serpent enroulé par terre est une ligne à 
simple courbure ; quand il lève en l'air une partie seulement de 
son corps, c'est une ligne à double courbure ; mais il ne peut pas 
nous donner, et nous ne pouvons pas voir, d'aucune autre manière, 
la ligne à triple coarbure. 

Dans celle-ci, deux points consécutifs déterminent une droite 
qui s'appelle la tangente; trois points consécutifs, un plan qui 
s'appelle le plan osculateur; quatre points consécutifs, un espace 
qui s'appelle V espace hyperosculateur , 

En chaque point, il y a : 

— Un 00* de droites perpendiculaires à la tangente (§ 14); elles 
s'appellent les normales et sont dans un espace appelé Vespace 
normal; il y en a une, et une seule, dans le plan osculateur : 
c'est la normale principale; 

— Un 00* de droites perpendiculaires au plan osculateur (§ li); 
on les appelle les binormales ; il y en a une, et une seule, dans 
l'espace hyperosculateur : c'est la binormale principale; 

— Une seule droite perpendiculaire à l'espace hyperosculateur; 
elle s'appelle la tnnormale, parce qu'elle est perpendiculaire à 
trois tangentes consécutives ; 

— Un 00* de plans normaux, tous situés dans l'espace normal; 
il y en a un, et un seul, dans l'espace hyperosculateur; il s'ap- 
pelle le plan normal principal, 

La normale et la binormale principales sont à la fois dans 
l'espace normal et dans l'espace hyperosculateur. 

La tangente, la normale principale, la binormale principale et 
la trinormale, en un point donné de la ligne, constituent ses 
directions principales; elles forment un quadrièdre droit. 

On prend le rapport de l'angle de deux tangentes consécutives, 



LES ÊTBES DE LA GËOMËTRIB A QUATRE DIMENSIONS. 8l 

deux plans osculateurs consécutifs, deux espaces hyperoscula- 
teurs consécutifs, à Tare infiniment petit compris entre leurs 
points de contact, comme mesure de la première, de la deuxième, 
de la troisième courbures. C'est, en quelque sorte, la rapidité 
avec laquelle la forme de la courbe s'éloigne de la forme recti- 
ligne, à simple courbure, à double courbure (*). 

La ligne est coupée par un espace en un ou plusieurs points. 
On dit qu'elle est de degré m quand le nombre de ces points 
est m; alors, une au moins des quatre coordonnées figure 
au moins une fois avec l'exposant m dans une au moins de ses 
trois équations. 

2<» Les surfaces. 

La surface est coupée par un espace suivant une ligne et par 
un plan suivant un ou plusieurs points. On dit qu'elle est du 
degré m quand, dans le second cas, le nombre de ces points 
est m. 

La théorie des surfaces dans l'étendue a été peu étudiée parce 
qu'elle présente beaucoup d'analogies avec ce qui se voit dans 
Tespace à trois dimensions. Elle fait l'objet d'une dissertation 
publiée en 1897 ("), à Tubingue. 

3" Les hypersur faces. 

L'hypersurface est coupée par un espace suivant une surface, 
par un plan suivant une ligne, par une ligne suivant un ou plu- 
sieurs points. On dit qu'elle est de degré m quand, dans le troisième 
cas, le nombre des points est m. Alors, une au moins des quatre 
coordonnées figure au moins une fois dans son équation avec 
l'exposant m. 

On verra, dans les paragraphes ci-après, 31 à 35 , quelques 
hypersurfaces particulières. 

(*) Voir, pour la théorie analytique des trois courbures : Pirondini, Suite 
linee a tripla curvatura nello spazio euclideo a quattre dimensioni. {Giorn. 
di Battaglini, 1890). 

(') KoMMBUELL, Die Kriimmung der zweidimensionalen Gebilde im ebenen 
Raume von vier Dimensionen, in -8*, 53 pages, Tubingue. 

Voyez aussi: Servant, Sur une extension des formules de Gauss {Bull. 
Soc. Math., t. XXX, fasc. Il, igoj). 

J. 6 



82 CHAPITRE VU. 



§ 29. — L'hypenrolmne. 

L'extension de la notion de volume se fait comme il suit. Les 
intégrales double, triple et quadruple, prises entre des limites 
déterminées, des différentielles 

^j dx i , x^ dx 1 dx^ , X]^ dx^ dx^ dx^ 

représentent respectivement : 

Dans la Géométrie à deux dimensions, Vaire comprise entre 
deux droites parallèles à Taxe des ^„ et les segments qu'elles 
interceptent d'une part sur Taxe des x^^ d'autre part sur une 
courbe donnée; 

Dans celle à trois, le volume compris entre quatre plans paral- 
lèles, deux à j?i — o, deux à j7,=:o, et les intersections de ces 
plans, d'une part avec le plan œ^ = o, d'autre part avec une 
surface donnée ; 

Dans celle à quatre, Vhypervolume compris entre six espaces 
parallèles, deux à a7j = o, deux à a?, = o, deux à a:, = o, et les in- 
tersections de ces espaces, d'une part avec 0:4 = 0, d'autre part 
avec une hypersurface donnée. 

Notre pensée ne peut pas voir la dernière figure, mais elle 
peut néanmoins se rendre compte comme il suit de sa constitu- 
tion. Supposons, pour simplifier : i*» que l'hypersurface est tout 
simplement un espace parallèle à x^=o\ 2* que l'un des espaces 
de chacun des trois couples d'espaces parallèles est un des trois 
autres espaces coordonnés. Eu d'autres termes, il s'agit de la 
portion d'étendue comprise entre les espaces 

jTi^o et x^-=za^ 

Xjnzo et Xi = b, 

x^^zo et X3 = c, 

x^=^o et JC4 = é/, 

rt, 6, c, d étant quatre longueurs déterminées. C'est le parallélé- 
pipède à quatre dimensions, droit si les axes sont rectangulaires, 
oblique s'ils ne le sont pas. 

L'espace 0:4 j= o et son parallèle x^=:a sont coupés chacun sui- 
vant des couples de plans parallèles par les trois autres couples, 



LES ÊTRES DE LA GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIONS. 83 

ce qui y forme un parallélépipède. Il en est de même pour chacun 
des autres couples d'espaces, d*oii il suit que l'hypercorps en 
question est limité par huit parallélépipèdes. Quatre de ceux-ci, 
situés un dans chaque espace coordonné, ont un sommet commun 
sur Torigine des coordonnées. Il y a en tout seize sommets sem- 
blables, en chacun desquels se réunissent quatre parallélépipèdes 
limitants. 3a arêtes yoni d'un sommet à Tautre. Enfin chaque face 
d'un des huit parallélépipèdes lui est commune avec un des sept 
autres, et ces 48 faces n'en font ainsi que 24 de l'hypercorps. 
Un cas particulier de cette figure fera l'objet du § 41, sous le nom 
S!octaédroïde, 

Telle est la constitution géométrique des êtres à quatre dimen- 
sions, seuls doués de l'existence réelle si un champ concret du 
quatrième degré englobe le nôtre, sans être englobé lui-même 
dans des champs supérieurs. 

Naturellement, l'unité à laquelle il faut rapporter Thypervolume 
est le mètre élevé à la quatrième puissance. Quant aux hypersur- 
faces, leur unité est le mètre cube, et elles sont homogènes avec 
les solides à trois dimensions. Ainsi les choses qui sont désignées 
parles mots aire, volume et hypervolume, et qui ont pour mesures 
des multiples ou sous-multiples de 



* » ' 1 * I 



sont des contenus dans les géométries à 2, 3 et 4 dimensions, et 
des contenants dans celles à 3, 4 et 5. 

§ 30. — Qnadriqaes et qnartiqnes. 

Jetons un rapide coup d'œil sur les êtres que représentent les 
trois systèmes 

(4) A=:o, 

(3) A = o, B = o, 

(2) A = o, B=:o, C = o 

du § 1, quand les polynômes A, B, G sont du second degré : nous 
sommes en présence des quadriques si nous avons pris la première 
ligne, des quartiques si nous avons pris la seconde. 
L'équation A = o représente la quadrique à trois dimensions 



84 CHAPITRE VII. 

OU Y hypersurface du second degré.. Elle contient quatorze para- 
mètres; par conséquent, il passe une quadrique par quatorze 
points pris arbitrairement, et retendue en contient un oo**. 

Quand ce n'est pas un cône, Téquation peut être ramenée à la 
forme si connue avec deux termes dans la Géométrie du plan, et 
avec trois dans celle de l'espace : 






a* • b^'^ c^ '^ d'" '• 

* 

Étant donnée une relation de dualité entre deux configurations 
(§ 19), la quadrique peut être définie comme le lieu des points 
de l'une qui sont dans les espaces correspondants de l'autre. 

La quadrique contient un oo* de droites. Il passe un oo de ces 
droites en chaque point m delà quadrique ; elles forment un cône 
ordinaire du second degré, et l'espace contenant ce cône est 
Vespace tangent au point m. Chaque point a son espace tangent. 

Un plan est dit tangent à la quadrique en un point m quand 
il la coupe suivant deux droites passant par ce point. 

Si, en chaque point d'une droite d de la quadrique, on mène 
l'espace qui est tangent à celle-ci, le nombre de ces espaces 
est 00* et ils forment un faisceau (§ 8). Le plan, axe de ce 
faisceau, est tangent à la quadrique en tous les points de la 
droite d, c'est-à-dire la coupe suivant cette droite ef comptée deux 
fois; on l'appelle le plan hypertangent. Il passe un plan hyper- 
tangent par chaque droite de la quadrique; par suite, leur 
nombre est oo*. Le lieu des plans hypertangents passant par un 
point donné est un hypercône de première espèce (yoy. § 34). 

Le système (3), auquel nous avons déjà appliqué la dénomi- 
nation de quartique, représente l'intersection de deux quadriques. 
C'est un lieu du second degré, homogène avec ceux que la 
Géométrie à trois dimensions étudie sous ce nom, mais autre et 
plus général : il s'en distingue au même titre que la courbe, 
intersection de deux surfaces du second degré, se distingue de la 
courbe plane appelée conique. 

L'équation 

A-+-XB=io 

représente un/aisceau de quadriques ^^d^^^^ni par la quartique (3); 



" 



\ 
\ 

V 



LBS ÊTRES DE LA 6É0MÉTBIB A QUATRE DIMENSIONS. 85 

parmi ces quadriques, il y en a cinq qui sont des hypercônes de 
première espèce (§ 3i). 

Enfin le système (4) représente l'intersection de trois quadri- 
ques. C'est une ligne du second degré, généralement à triple 
courbure, 

A notre connaissance, les travaux les plus importants sur les 
hyperquadriques et les hyperquartiques sont, pour les premières, 
un Mémoire de M. Sègre, publié dans le Recueil de V Académie 
de Turin^ et, pour les secondes, un Mémoire de M. Bordiga, 
publié dans les Actes de l'Institut de Venise (* ). Nous y renvoyons 
le lecteur. Mais, afin de le laisser encore un peu dans la compa- 
gnie de cet être singulier, l'hypersurface, qu*ignorent les Géomé- 
triesà deux et à trois dimensions, nous en étudierons sommaire- 
ment les deux formes les plus simples après celle du premier 
degré : Thypersphère et l'hypercône. Ce sont des quadriques 
particularisées, mais la particularisation est plus profonde dans 
la seconde que dans la première. 

La sphère de la Géométrie ordinaire est une quartique parti- 
cularisée : l'intersection de deux quadriques dont Tune est une 
hypersphère et dont l'autre est dégénérée en un espace, 

§ 31. — L'hypenphére. 
L*équation, en coordonnées rectangulaires, 

x\ + :r* H- j?J -h j-J — R' z= o 

représente un lieu dont tous les points sont à égale distance de 
l'origine; on l'appelle V hypersphère. Les espaces la coupent 
suivant des surfaces sphériques. Considérons, par exemple, l'es- 
pace ^4 = et déplaçons-le parallèlement à lui-même, c'est- 
à-dire substituons à cette première valeur de la coordonnée des 
valeurs progressivement croissantes. Au début, la section est une 
surface sphérique de rayon R; elle va en décroissant progressi- 
vement jusqu'à la position x,^ ■= R, pour laquelle elle se réduit à un 

(*) Seore, Studio suite guadriche in un spazio lineare ad un numéro 
qualunque di dimensioni {JUem, de Turin (a), p. 36, 1884 ). 
BoRDiaA, Studio générale delta quartica normale {Atti dell'Ist. ven., 1886}. 



* 
t 



86 CHAPITRE TH. 

point. Au delà, la section devient une sphère imaginaire, jusqu'à 
ce que notre espace sécant devienne celui de l'infini. 

Pour cette dernière position, la sphère dont il s'agit est la 
même pour toutes les hypersphères de l'étendue et s'appelle la 
sphère imaginaire infiniment éloignée. Elle a été très employée 
par la brillante école italienne (^), qui la désigne habituellement 
par Js ; on la voit apparaître dans la question de Tangle de deux 
plans (§26). 

Tous les plans A absolument perpendiculaires à un plan 
donné B (§ 17) sont complètement parallèles entre eux, c'est- 
à-dire vont couper l'espace de l'infini suivant une même droite a; 
de même tous les plans B absolument perpendiculaires aux 
plans A passent par une même droite b de l'infini. Ces deux 
droites a et b sont polaires réciproques l'une de l'autre par 
rapport à la sphère J,. 

Deux sphères, qui sont un cas particulier de deux quartiques, 
n'ont en commun, si elles n'appartiennent pas à un même espace 
ou à une même hypersphère, que quatre points, deux à distance 
finie, réels ou imaginaires suivant la distance des centres, et 
deux sur la sphère Ji. 

Un plan coupe l'hypersphère suivant une circonférence qui est 
maximum si le plan passe par le centre. Dans ce cas, la tangente 
à la circonférence est dite aussi tangente à l'hypersphère. Le lieu 
de toutes les tangentes en un point donné est un espace qui est 
perpendiculaire au rayon aboutissant à ce point, et s'appelle 
l'espace tangent, L'hypersphère est tout entière du même côté 
de cet espace. Tous les plans situés dans celui-ci sont tangents à 
l'hypersphère. 

Cinq points donnés, non situés dans un même espace, déter- 
minent l'hypersphère. 

Deux hypersphères qui ont un point commun non situé sur la 
ligne des centres se coupent suivant une surface sphérique dont 
le centre est sur cette ligne et dont l'espace lui est perpendi- 
culaire. 

Quatre hypersphères qui n'ont en commun, ni une surface 

(* ) Voyez, par exemple, Giacomini, SuUa corrispondenza fra la Geonietria 
conforme di 5, e la Geometria proiettiva dello spazio ordinario ( Annali 
délia Se. norm, sup. di Pisa, 1899). 



LES ÊTRES DE LA GÉOHÉTRIE À QUATRE DIMENSIONS. 87 

sphérique, ni une circonférence, et qui n*ont pas un espace 
tangent commun en un même point, se coupent en deux points 
symétriques par rapport à Tespace des quatre centres, ou en 
deux points coïncidents, ou ne se coupent pas. Dans le second, 
cas, elles ont une tangente commune perpendiculaire à Tespace 
des centres. 

Mentionnons ici un curieux résultat concernant la sphère et 
signalé par M. Newcomb, de Baltimore (*) : c'est encore un 
exemple, pouvant être rapproché de ceux donnés § 15, des diffé- 
rences profondes que présenteraient les conditions de Texistence 
dans les troisième et quatrième champs. 

Soient, dans notre espace ^74 = 0, deux sphères concentriques, 
l'extérieure de rayon R 

et l'intérieure de rayon r 

et soit e = R — /• l'épaisseur de la couche comprise entre elles. 
Supposons que, sans toucher à la première, on sorte la seconde 
de notre espace en faisant marcher son centre sur Taxe des a?^ 
d'une longueur quelconque î, et qu'en même temps on fasse 
varier son rayon r de la quantité p; ses équations seront alors 

La distance d'un point j,, /,, y^, o, de la sphère R à un 
point a:,, j:,, o:,, x^ de la sphère r -h p a pour carré 

(4) {yi — ^ty^iy^-^^i)- -H(v5 — a;,)'-+-j7j, 

et son minimum, obtenu en différentiant les équations (3) et (4), 
sera la nouvelle épaisseur t au point /i, y^, yz, La difTérentiation 
donne 

(7i — "^1) ^-^1 + (rs — ^t)dj:i -h (y, — r,) dx^ = o, 
Xidxy H- x^dx^ + ^jû?Xj = o, 



( * ) Note on a class 0/ transformations which surfaces may undergo in 
space of more than three dimensions {Am. Journ. of Afath,, 1878). 



88 CHAPITRE VU. 

d'où, avec une variable auxiliaire X, 

En substituant ces valeurs dans (4), nous avons 

et, en posant 

(b) C=:esin6, X = i + g cos 0, 

il vient 

Donc, si la sphère r se déplace d'une manière continue à partir 
du point 0, l'épaisseur de la couche demeurera invariable à la 
condition que C et X soient déterminés à chaque instant comme 
lïndiquent les équations (5), en fonction d'un angle auxiliaire 6 
qui est Vangle de position de la ligne allant d'un point quelconque 
de la sphère immobile R au point correspondant de la sphère 
mobile r -h p. Pendant un pareil mouvement, la couche consi- 
dérée n'éprouve d'autre déformation que celle inhérente à la 
flexion qui se fait sur la surface extérieure, et qui peut être 
diminuée autant que Ton voudra en diminuant l'épaisseur c. 
Quand 6 arrive à 180®, nous avons les valeurs 

Ç:=ro, Xi=:|-h— , /' -h p =: À R =:: R 4- e, 

dont la première veut dire que la sphère mobile est revenue dans 
notre espace, et la dernière qu'elle est devenue extérieure à R, 
l'épaisseur étant toujours demeurée la même. En un mot, la 
couche a été, retournée sans déchirure et sans aucune défor- 
mation permanente, chaque point de la surface intérieure ayant 
décrit un angle de 180'» autour du point correspondant de la sur- 
face extérieure. 

§ 32. — L'hypersphère (suite). — Pôles et polaires. 

Par un plan P, extérieur à Thypersphère H, on peut mener 
deux espaces Ei, Es tangents à celle-ci et pas davantage. Soient 
^1 et ^2 leurs points de contact. 



LES ÊTRES DE Ll GÉOMÉTRIE A QUATRE DIHElfSIOMS. 89 

Menons un espace £ passant par le centre 0. Il coupera : 
rhypersphère suivant une sphère maxima S; le plan P suivant 
une droite D, et les deux espaces Ei, E, suivant deux plans tan- 
gents à la sphère en aj, a,. On sait que la droite D et la droite ab 
sont conjuguées harmoniques par rapport à la sphère S (*), 
c'est-à-dire passent par deux points conjugués, sont perpendi- 
culaires au rayon sur lequel se trouvent ces deux points, et sont 
perpendiculaires entre elles. Donc, toutes les droites du plan P 
sont conjuguées avec ab ; on dit que cette droite et ce plan sont 
conjugués entre eux par rapport à l'hypersphère H. 

A ce théorème il correspond celui-ci, en vertu de la loi de 
dualité (§ 19). Par une droite D, extérieure à Thypersphère H, 
on peut mener à celle-ci un oo d'espaces tangents E; leurs points 
de contact sont sur un cercle dont le plan P est conjugué avec D. 

Une figure quelconque a pour correspondante une autre figure, 
qui est sa conjuguée, ou sa polaire (ces deux termes sont à peu 
près synonymes), par rapport à une hypersphère donnée H 
(plus généralement, si l'on veut, à une quelconque des quadriques 
non spécialisées). Aux 

points, droites, plans et espaces 
de la première, il correspond des 

espaces, plans, droites et points 
de la seconde. 

§ 33. — L'hypersphère (suite); contena et contenant. 

Il est facile de trouver le contenu de l'hypersphère en faisant 

pour elle comme la géométrie de l'espace fait pour la surface 

sphérique. Rapportée à trois axes rectangulaires, celle-ci a pour 

équation 

07* -h ^; + j?J = R» ; 

sa section par un plan à la hauteur x^ est un cercle dont le rayon 
a pour carré R' — j?J et dont la surface est tî(R* — ^J); une 

(') Voyes, par exemple, Catalan, Théorèmes et problèmes de Géométrie, 
p. 273. 



90 CHAPITRE VU. 

tranche d'épaisseur dx^ ayant ce cercle pour base a pour volume 
•ït (R* — x\)dx^^ et il faut intégrer cette différentielle de — R à 
-H R, ou, après l'avoir doublée, de o à 4- R. En posant o^j = R sin 6, 
la seconde forme devient 

2 7rR«COS'6e/0, 

les limites étant maintenant o et - ; on trouve aisément que l'in- 
tégrale est ^irR*. 

De même: 

L'équation de l'hypersphére étant celle donnée plus haut, sa 
section par un espace situé à la hauteur a?^ est une sphère dont le 

rayon a pour carré R' - a?J et dont le volume est i^(R' — ^lY] 

une tranche d'épaisseur dx^ ayant cette sphère pour base a pour 

hypervolume ^ ir(R'— j?î)* dx,^, qu'il faut intégrer de — R à + R, 

ou doubler et intégrer alors de o à h- R. En posant 574 = R sinO, 
cette seconde forme devient 

g 

^itR*cos*e^o, 

les limites étant maintenant o et - ; on trouve aisément que Tin- 
grale est 

Ce qu'on peut appeler la surface ou le contenant de l'hyper- 
sphére se trouve de même en opérant comme pour la circonfé- 
rence du cercle et pour la surface de la sphère: c'est l'intégrale 
triple de 



\/-*m)'*m'*m' ''•""'"■ 



En posant 



j7, = Rcosa, 
o-,— Rsinacosp, 
x^—^ sina cos p cos y, 
^^4 1= R sin a sin p sin y, 



LES ÊTRES DE LA GÉOMÉTRIE À QUATRE DIMENSIONS. Ql 

cette différentielle prend la forme 

r* sin'a sin p ûfoc e/p d-(, 

et donne, intégrée entre les limites convenables, 

Si Ton appelle 

A„ A„ A4 et B„ B„ B4 

le contenu et le contenant de ce lieu qui porte successivement, 
dans nos trois géomélries, les noms de circonférence, sphère et 
hypersphère, on a 

A,=z:rR% 

A 4 T.» [B,= 2TrR, 

^»^r^' 1b,= 4^R», 

2 
et Ton voit qu'il y a entre ces valeurs les relations 

A,__R As^R A4_R 

B, "" 2 ' B, "" 3 ' B4 "" 4 ' 

c'est-à-dire que le contenu se déduit du contenant en multipliant 
par le rayon et divisant par le degré du champ. Cette formule se 
représentera §§ Vi et 56. 

§ 34. — Les cônes. 

On sait que, si Ton veut obliger une quadrique à avoir un point 
double (il n'y a pour cela qu*à égaler son discriminant à zéro), 
elle se particularise, dans la géométrie plane, en un système de 
deux droites. 

Dans la géométrie de l'espace, le point double cherché, sans 
vous consulter, se complique d'une multiplicité infinie, et prend 
le titre de sommet : vous avez un cône. C'est ce que nous appelle- 
rons le cône ordinaire, ou à deux dimensions; dans l'étendue, 
un plan le coupe en deux points, à moins qu'il ne soit avec lui 
dans un même espace ; un espace le coupe suivant une conique. 
Quant au système de deux droites, ce n'est plus une conique 
particularisée, mais dégénérée. 



9^ CHAPITRE VII. 

Sous la même condition d'avoir un point double, la quadrique 
de la géométrie à quatre dimensions se particularise aussi en un 
cône, et elle peut le faire de deux façons (qui dépendent des 
déterminants du discriminant). Dans la première, vous avez un 
sommet, et, dans la seconde, une infinité de sommets en ligne 
droite. Ce sont les deux cônes à trois dimensions : celui de 
première espèce, et celui de seconde espèce. Quant au cône à 
deux dimensions, il n'est plus, à son tour, qu'une quadrique 
dégénérée . 

I® Hypercône de première espèce. 

C'est le lieu des droites menées d'un point fixe appelé sommet 
à tous les points d'une sur/ace du second degré. On peut aussi 
l'engendi^er en faisant correspondre homographiquement les 
espaces générateurs de deux plans fixes se coupant suivant un 
point: il est le lieu des plans d'intersection de deux espaces cor- 
respondants. 

Il contient deux systèmes de plans; ceux d'un môme système 
n'ont d'autre point commun que le sommet; ceux de systèmes 
différents se coupent suivant une droite. 

D'un point extérieur à l'hypersphère, on peut lui mener un oo* 
de tangentes, qui forment un hypercône de première espèce. Cet 
hypercône particulier est circulaire, et a pour axe le diamètre 
passant par son sommet. Les points de contact des tangentes sont 
sur une surface sphérique dont l'espace est perpendiculaire à ce 
diamètre; on l'appelle la sphère de contact. 

2° Hypercône de seconde espèce. 

C'est le lieu des plans menés par une droite fixe appelée droite- 
sommet et par les points d'une conique directrice. 

D'une droite extérieure à une hypersphère, on peut lui mener 
un 00* de plans tangents qui forment un hypercône circulaire de 
seconde espèce. 11 a deux plans de symétrie qui sont perpendicu- 
laires entre eux suivant le mode absolu; l'un de ces plans est 
celui mené par la droite-sommet et parle centre de l'hypersphère. 
Tout espace passant par un de ces plans rencontre les plans géné- 
rateurs suivant des droites symétriques deux à deux. 



LES ÊTRES DE LÀ GÉOMÉTRIE A QUATRE DIMENSIONS. qS 

Chacun des plans de symétrie est plan d'' angles égaux (§27) 
avec un plan générateur quelconque. 

Les plans d'angles égaux avec un plan donné et le rencontrant 
en un même point forment un hypercône circulaire de seconde 
espèce. On peut déduire de ce théorème une construction des 
angles de deux plans ( * ). 

§ 35. — - L'échelle des êtres géooiétriqnes. 

En résumé, voici l'échelle des êtres géométriques, jusqu'au 
champ du quatrième degré inclusivement 

Dans le plan, champ du deuxième dpgré, il n'y a que des lignes, 
êtres à une dimension pouvant circonscrire des portions de plan 
appelées aires. 

Dans l'espace, champ du troisième degré, il y a, en plus, des 
surfaces, êtres à deux dimensions, qui sont homogènes avec les 
aires, sont comme des plans courbes, et peuvent circonscrire des 
portions d'espace appelées volumes, ou solides à trois dimensions. 
Les lignes de l'espace ont plus de généralité que celles des plans, 
qui n'en sont que des cas particuliers. 

Dans l'étendue, champ du quatrième degré, il y a, en plus des 
lignes et des surfaces, des hyper surfaces^ êtres à trois dimensions, 
qui sont homogènes avec les volumes, sont comme des espaces 
courbes et peuvent circonscrire des portions d'étendue appelées 
hypervolumes ou solides à quatre dimensions. Les lignes et les 
surfaces de l'étendue ont plus de généralité que celles des espaces, 
qu'elles comprennent comme cas particuliers; quelques auteurs 
donnent aux secondes le nom ^hypercourhes, parce qu'elles ont 
la même situation dans l'étendue que les courbes dans l'espace. 

Les corps correspondant au polygones de la géométrie à deux 
dimensions et aux polyèdres de celle à trois, ont reçu le nom 
mhyperpolyèdres, ou polyédro'ides; ils feront l'objet du Chapitre 
suivant. 

On voit que la géométrie à quatre dimensions implique l'exis- 
tence, non seulement d'une infinité d'espaces linéaires, c'est-à-dire 
pareils au nôtre et n'en différant que par leur situation dans 

(*) Veronese, Fondamenti di Geometria. Padoue, 1891; p. 5oa. 



94 CHAPITRE ¥11. 

l'étendue, mais encore celle d'une infinité à^espaces courbes, qui 
sont les hypersurfaces de tous degrés . Ces espaces plus généraux 
diffèrent de Tespace ordinaire et diffèrent les uns des autres 
comme les surfaces diffèrent du plan et diffèrent les unes des 
autres; ils ne sont pas identiques à eux-mômes dans leurs parties; 
ils sont donc aptes à contenir certaines formes géométriques et 
non certaines autres, comme, dans le monde à trois dimensions, 
une surface sphérique se refuse à recevoir un triangle sphérique 
provenant d'une autre sphère dont le rayon n'est pas égal au sien ; 
ils n'ont pas cette qualité, qui appartient à notre espace seul, que 
nous avons démontrée au § 22, que M. Delbœuf (*) appelle homo- 
généité, et qui permet de majorer ou minorer une figure sans en 
modifier la forme. 

Est-il permis de leur attribuer une existence concrète? On 
reviendra sur cette question au § 47. 



{») Prolégomènes philosophiques de la Géométrie, Voyez aussi Lechalas, 
l'Espace et le Temps. 



LES POLYÊDROÏDES. 96 



CHAPITRE VIII. 



LES POLYÊDROÏDES. 



§ 36. — Généralités. 

Ainsi qu'on vient de le dire, le nom de polyèdroïde a été donné 
aux configurations qui correspondent, dans la géométrie à quatre 
dimensions, aux polyèdres de celle à trois et aux polygones de celle 
à deux. Comprendre un pareil corps n'est pas chose facile, même 
dans la mesure restreinte à laquelle nous nous sommes résignés 
en ce qui concerne la quatrième dimension ; pour y arriver, il 
convient de partir du polygone, et de suivre de près l'évolution 
qui s'accomplit quand il s'élève, d'abord au rang de polyèdre, puis 
à celui de polyèdroïde. Nous désignerons, en attribuant à ces 
notations un caractère générique, par 

Fo, Fi, Fj, Fj, 
des figures dans lesquelles le nombre de dimensions est 

zéro, un, deux ou trois, 

c'est-à-dire qui sont formées de points, de lignes, de surfaces ou 
de volumes. 

La figure que forment, dans un plan, des portions de droite se 
touchant deux à deux par leurs extrémités, et ne laissant entre 
elles aucune interruption, est un polygone. Elle a deux sortes de 
figures limitantes', les côtés, qui sont des F,, et lès sommets, qui 
sont des Fo; chaque sommet sert de contact entre deux côtés une 
fois, et rien qu'une. 

Augmentant les dimensions d'une unité, nous dirons : La figure 
que forment, dans un espace, des portions de plans se touchant 



96 CHIPITBE TlII. 

deux à detu par leurs bords et ne laissant entre elles aucune in- 
terruption est un polyèdre; les portions des plans s*appellent les 
faces^ et les bords communs par lesquels elles se touchent s* ap- 
pellent les arêtes. Les côtés, F|, du polygone sont devenus des 
faces, Ft, du polyèdre ; le point de contact de deux côtés, F«, est 
devenu la ligne de contact de deux faces, une arête, Fi ; les bords 
d'une face servent chacun de contact une fois, et rien qu'une. Il 
est apparu un élément de plus : les sommets, Fo, dont chacun 
est l'aboutissant d'au moins trois faces et d'au moins trois arêtes. 
Le polygone est devenu un polyèdre. 

Augmentons encore les dimensions d'une unité. La figure 
formée, dans l'étendue, par des portions d'espace se touchant 
deux à deux et ne laissant entre elles aucune interruption est un 
polyédroîde; les portions d'espace s'appellent les cases (•), et les 
portions de plan par lesquelles elles se touchent s'appellent les 
faces. L'arête, Fg, qui était, dans le polyèdre, la ligne de contact de 
deux faces, est devenue une /ace F,, suivant laquelle se touchent 
deux cases; chaque face d'une case sert une fois, et une seule, de 
face de contact. Le sommet Fo, qui était Taboutissant d'au moins 
trois faces, est devenu une portion de droite Fi, que nous appelle- 
rons encore une arête pour ne pas créer de mot, et qui est 
l'aboutissant d'au moins trois cases. Enfin il est apparu un élé- 
ment de plus : les sommets, Fq, dont chacun est l'aboutissant 
d'au moins trois cases et d'au moins quatre arêtes. Le polyèdre 
est devenu un polyédroîde. 

Le polygone, le polyèdre et le polyédroîde ont, chacun dans le 
champ qui lui est dévolu, un intérieur et un extérieur, et c'est 
un point qui n'a pas toujours été bien compris en ce qui con- 
cerne le dernier. Nous l'expliquerons au moyen de la figure sui- 
vante, représentant un polyédroîde particulier 

I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II. 12. i3. 14. i5. 16, 

qui fera l'objet du § 42. 

Considérons un point matériel partant du centre et marchant 
sur une ligne indéfinie x perpendiculaire à l'un S des espaces 

(') Les Allemands et les Anglais disent: cellules (Zell, Gell). 



LES POLTÉDROÏDES. 97 

constituants. Arrivé à celui-ci, il le traverse en un point m, et il 
le traverse instantanément, parce que l'espace a, dans ce sens, 
une dimension infiniment petite (§2). Il se trouve alors libre 
dans rétendue quatre fois infinie ; il est passé de V intérieur à 
Yextérieur du polyédroïde. Ce sera la même chose si, en passant 

Fig. 12. 




au point m, il dévie sur une direction my faisant avec Ox un 
angle quelconque autre que 90*». 

Si, en arrivant au point m, il quitte la direction 0^ et s'en- 
gage sur une des 00' directions qui lui sont perpendiculaires (§14), 
par exemple ma?', il se trouvera dans l'espace S, et il y sera 
enfermé dans une case 

1 .4. 16. i3.5.8. 12.9; 

de quelque côté qu'il se tourne, il en aura une face devant lui. 
Supposons qu'il vienne se heurter contre une de celles-ci en un 
point m', et suivant une direction perpendiculaire mm'œ'. S'il 
conserve cette direction ou s'en écarte d'un angle différent de 90®, 
il traversera le plan et se trouvera dans un autre espace S', 
enfermé dans une autre case 

I .4- 16, i3.2.3. i5. i4 

pareille à la première, où les mômes péripéties l'attendent. 

Mais si, étant en m', il s'engage sur une des 00* directions de 
l'espace S qui sont perpendiculaires à m V, par exemple m'm'^, alors 
J. 7 



9B CHAPITRE Yfif. 

il se trouvera dans un plan et il y sera enfermé dans un polygone 

I .4. 16. i3. 

Qu'il marche jusqu'à ce qu'il arrive à un côté i .4 de celui-ci ; là, 
il voit avec étonnement plusieurs plans se présenter à lui, sans 
compter celui par lequel il est arrivé. Il y en a trois au total dans 
la figure qui sert de support à notre démonstration, savoir: 

i.4.i6.i3; 1.4.8.5 et 1.4.3.2; 

nous verrons (§§ 42 et 46) un cas où il y en a quatre et un autre 
où il y en a cinq. Notre mobile n*a aucune raison pour préférer 
Tun ou l'autre plan et, dans chacun d'eux, Tune ou l'autre moitié ; 
embarrassé de son libre arbitre, il se trouve en un de ces poinu 
singuliers de trajectoire étudiés par M. Boussinesq (*). Quel que 
soit le plan qu'il prenne, une des deux moitiés le ramène dans 
un polygone, l'autre lui donne la liberté dans le plan. Enfin, s'il 
longe le côté même, il arrive à un sommet. 

En définitive, le mobile peut, à un instant quelconque, se li- 
bérer dans l'étendue en se dirigeant vers un quelconque des 
points de l'espace situé à l'infini de celle-ci, pourvu, lorsqu'il se 
trouve dans une case, que ce ne soit pas un des points du plan 
d'intersection de cet espace avec celui de cette case. Ilpeutaussi^ 
par de judicieux changements de direction, gagner une figure 
limitante du genre F3, ou Fj, ou Fj, ou Fo, et devenir habitant 
d'un espace, ou d'un pian, ou d'une droite, ou d'un point unique. 

Quelques points de cette organisation se dérobent à notre per- 
ception, mais non à notre analyse. Ils se préciseront quand nous 
examinerons les polyédroïdes réguliers et nous y reviendrons 
avec celui qui se présentera le premier : l'octaédroïde. 

Les arêtes partant d'un sommet S d'un polyèdre forment par 
leurs autres extrémités un polygone dont les sommets et les 
côtés sont des sommets et des côtés du polyèdre. De même, si 
Ton considère les autres extrémités des arêtes partant d'un som- 
met S d'un polyédroïde, ces points sont les sommets d'un po- 
lyèdre, dont les sommets, les arêtes et les faces sont des sommets, 



(*) Conciliation du Détei'minisme et de la liberté morale, Lille, 1878. — 
Voy. aussi notre Ouvrage : Introduction à la Théorie de V Énergie» p. 14 1. 



LES POLYÉDROÏDBS. 99 

des arêtes et des faces du polyédroïde. Ce polyèdre joue un rôle 
important dans l'étude de l'hypercorps, ainsi que nous le verrons 
plus loin (§39). 

De même que toutes les arêtes d'un polyèdre sont doubles, c'esl- 
à-dii*e appartiennent à deux faces, de même toutes les faces d'un 
polyédroïde sont doubles, c'est-à-dire appartiennent hdeux cases. 
S'il s'en trouve parmi les premières qui soient simples, elles 
forment ensemble un polygone qui est le bord d'un trou; s'il s'en 
trouve parmi les secondes qui soient simples, elles forment 
ensemble un polyèdre qui est la paroi d'un évidement. Polygone 
et polyèdre peuvent ne pas être contenus en entier, le premier 
dans un plan, le second dans un espace. 

§ 37. — Formule d'Euler. 

Si Ton appelle : 

/?o,/>i lo nombre des sommets et celui des côtés d'un polygone,, 
/^oj P\% Pt ceux des sommets, des arêtes et des faces d'un 

polyèdre, 
Pnj Pu Pi» Pi ceux des sommets, des arêtes, des faces et des^ 

cases d'un polyédroïde, 

il y a entre ces nombres les relations suivantes : 

/?o~/>i -o, 
(O ^ A'o — Pi -+-/?« = 2, 

Po—Pi-^Pi^Pz'^O. 

La première est évidente. La seconde est la célèbre formule 
d'Euler^ donnée en ces termes, par ce grand mathématicien, dans 
le Recueil de V Académie de Saint-Pétersbourg pour les années 
1752-53 (*) : 

In omni solido hedris planis incluso, numerus hedrarum unà 
cum numéro angulorum solidorum, binario excedit numerum 
acier um. 



(') JVovi commentarii Academiœ Scientiarum J. PeiropoUlanœ, tomus IV,. 
ad annum 1753-53 ; Petropoli, 1758. 



100 CHAPITRE TIII. 

Il a été signalé presque en même temps par Prouhet h l'Aca- 
démie des Sciences de Paris (*) et par Baltzer à celle de Ber- 
lin (*), que le théorème d'Euler se trouve dans Descartes, qui 
toutefois ne l'énonce pas explicitement {Œuvres inédites de 
Descartes, publiées par Foucher de Careil; Paris, 1860, t. II, 
p. 2i4)- 

Un très grand nombre de mathématiciens se sont occupés de 
ce théorème, pour en donner, soit des démonstrations, dont 
quelques-unes ont peu de valeur, soit des généralisations. Citons 
Legendre, Steiner, Grunert, Gergonne, Kirkmann, Schubert, 
Durège, Lhuilier, Cauchy, Listing, Cayley, Halsted, Poinsot, 
Jordan, amiral de Jonquières, Perrin (»}. La meilleure démon- 
stration est peut-être encore celle d'Euler quïl ne trouva, 
paraît-il, qu'avec beaucoup de peine et après le théorème lui- 
môme, et de laquelle dérivent celles de Cauchy, de Tamiral de 
Jonquières, etc.; chose remarquable, elle n'emploie que les 
notions les plus élémentaires de Géométrie. 

Elle consiste dans cette suite de trois propositions, chacune 
de démonstration facile (p. i45 à i58 du volume cité) : 

lo Proposito solido quocumque hedris planis incluso, indè dalum angu- 
lum solidum ita resecare, ut in solido residuo numerus angulorum solido- 
rum unitate sit minor. 

'20 Si à corpore proposito angulus quispiam solidus modo antè exposito 

(•) Comptes rendus, 1860, 1" semestre, p. 779. 

(^) Monatsberichte, 1861, p. ii43. 

(') On peut voir : , 

I* Sur les polyèdres en général : BrUgkner, Vielecke und Vietjlaclie, Théo* 
rie und Geschichte, in-4*i Leipzig, 1900, Ouvrage qui peut s'appeler l'Encyclo- 
pédie de la queslion; Listing, Mémoires de Gottingue, i83i; Gayley, Philo- 
sophical Magazine, 1861; Jordan, Recherches sur les polyèdres {Journal de 
Crelle, t. 68, 1867; Amiral de Jonquières, Comptes rendus des Séances 
de l* Académie des Sciences f t. GX, 1890; Eberhard, Zur Morphologie der 
Polyeder) Leipzig, 1891. 

2^ Sur les polyèdres réguliers : Bravais, Les polyèdres symétriques de la 
Géométrie {Journal de LiouvillCy 18^9); Badoureau, Mémoire sur les figures 
isoscèles {Journal de l'École Polytechnique, 49* Cahier, 1881 ) ; Huqel, />te 
regulàren und halbregulàren Polyeder, mit 113 stereoscopisclier Figuren, 
Neusladt a. d. H., 1876; Wiener, Herstellung der platonischen Korper aus 
Papierstressen, Munich, 1893*, Hess, Eintheilung in die Lehre von der 
Kugeltheilung mit besonderer Beriicksichtigung ihrer Anwendung auf die 
Théorie der gleichfiàchigen und gleicheckigen Polyeder, in-8«, i883. 



LES POLTfiDROÏDES. 101 

resecetur, sicque numerus angulorum solidorum S unitate minuatur, ut 
sit S — I, lum differentia inter numerum acierum A et numerum hedra- 
rum H erit A — H— t. 

S"" Continuata hac mutilatione, quando ad pyramidem triangulareni deve- 
niatur, in quâ S = 4, H = 4, A = 6, evidens est, si fiât S — n = 4, fore 
A — H — n = 2, onde S — 4 = A--H — a, 8euH-hS = AH-2. 

L'amiral de Jonquières a montré que le théorème d'Euler est 
vrai pour toute espèce de polyèdre, convexe ou non, et pour tout 
agrégat de polyèdres, à la condition que, dans ce dernier cas, 
deux polyèdres constituants soient adhérents entre eux par une 
face, môme partielle, mais non par une arête ou un sommet. 

L'étude des polyèdres est entravée par la difficulté de se repré- 
senter ces corps lorsque le nombre de leurs éléments n*est pas 
très petit. Dans un Mémoire publié en i865, Catalan, après une 
fort bonne discussion des conséquences de la formule d^Euler, a 
donné une assez curieuse méthode pour reconnaître la possibi- 
lité de construire un polyèdre dont on donne les éléments : faces, 
arêtes et sommets ; c'est une sorte d'échiquier au moyen duquel 
le problème est ramené à une question de Géométrie plane ana- 
logue à celle du saut du cavalier des échecs, à celle du jeu de 
solitaire, etc. ('). 

La troisième des équations (i) est moins facile que la seconde 
à établir directement; Stringham et Durège (') l'ont fait, mais 
nous ne reproduirons ni Tune ni l'autre démonstration. En réa- 
lité, la question relève de VAnalysis sitûs, qui donne une formule 
générale dont les trois équations (i) ne sont que des cas parti- 
culiers : là est leur véritable démonstration. 

La formule à laquelle nous faisons allusion s'appelle la for- 
mule d'Euler généralisée ; elle exprime que, si l'on considère 
dans l'espace à n dimensions un polyèdre à n—\ dimensions, 
et si l'on appelle />o> Pt^ Pif • • • » Pn-i lô nombre de ses figures 

(') Mémoire sur les polyèdres, dans le Journal de V École Polytechnique 
pour i865. — Voir aussi : Mansion, Discours sur les travaux mathéma- 
tiques de Catalan^ dans les Mémoires de la Société Royale des Sciences de 
Liège, 2* série, t. XII, mai i885. 

( * ) Ueber Kôrper von vier Dimensionen (Académie des Sciences de Vienne, 
i88i, t. I, p. iiio-iiaS). 



102 CHAPITRE TIII. 

limitantes 

de degré o (les sommets). 

» I (les arêtes). 

» 2 (les faces). 

» 3 (]es cases), 

n 4 (les corps à quatre dimensions), 

» , etc., 



on a 



Pa — Px-^Pt—Pi-^ ... drf?„^,^i — (— 0", 



c'est-à-dire que la somme formant le premier nombre est égale 
à zéro ou à deux, suivant que n est impair ou pair. Ce beau 
théorème paraît devoir être attribué à Stringham, et alors il 
daterait de i88o. On en trouvera la démonstration dans VAna- 
If sis siiûs de Poincarc, p. loo à 121 ('). On peut voir aussi le 
Mémoire de Stringham (*) et celui de Durège ('). 

§ 38. - La question des polyédroldes réguliers. 

Nous ne nous occuperons plus maintenant que des polyé- 
droïdes réguliers^ appelant ainsi ceux dont les cases sont des 
polyèdres convexes et réguliers, tous égaux entre eux et faisant 
entre eux des angles d'espace égaux. Ou sait que ceux-ci, qui, à 
leur tour, ont pour faces des polygones convexes et réguliers, 
tous égaux entre eux et faisant entre eux des dièdres égaux, 
sont au nombre de cinq, qu'on appelle les cinq solides de Platon, 
et dont Kepler s'est beaucoup occupé (*). Le Tableau suivant en 
rappelle les noms et la composition : 



(') Journal de l'École Polytechnique, 1895, et Bendic. di Palermo, 1899. 
Voir aussi Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences, 1893, II, 

(*) American Journal of Math., 1880, et Bulletin des Sciences mathéma- 
tiques, 1881, p. 312. 

(^) Wiener Sitzungsb., 1881, p. 83. 

(♦) Mysterium cosmographicum, . , demonstratum per quinque regularia 
corpora geometrica. Tubingue, iSgS. 



LES POLTÉDROÏDKS. 



io3 



TABLEAU I. — LES CINQ POLYEDRES REaULIERS. 



NOMS 



DES 



POLYlfcDRES. 



NOMBRE 

ET 

NATURE 

DES VACBS. 



L'hexaèdre, ou cube. . . 6 carrés. 



Le tétraèdre ' 4 triangles. 



L'octaèdre 8 » 



L'icosaèdre so 



Le dodécaèdre ' la penlagones. 



(1) 



(^) 



KOVBRK DBS 





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• 


«• 


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13 


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(3) 


(4) 



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3 
3 

4 



(5) 



S 

M — 

9 « 

B 
19 



go* 

7o-3i'4o' 

i09»28'i6' 

i38*ir23' 

ii6*33'54' 

(6) 



On verra que les polyédroïdes réguliers sont au nombre de six, 
ayant respectivement 

8, 5, i6, 6oo, 24» I20 cases. 

Suivant un usage devenu loi, on prend pour base de la no- 
menclature le nombre des figures limitantes du degré le plus 
élevé. Nous désignerons donc les six corps par la lettre C accom- 
pagnée de ces nombres, ainsi que le montre le Tableau II, établi 
sur le même modèle que celui des polyèdres; cette lettre a été 
prise comme étant Tinitiale du mot Case^ en anglais Cell, en alle- 
mand Zell; on la trouve aussi dans les ouvrages anglais, et elle 
est remplacée par Z chez les auteurs allemands. Le Tableau II 
donne dès à présent tous les éléments des polyédroïdes; ils 
seront repris et établis dans les paragraphes qui suivent. Par 
angle de deux cases, dans sa dernière colonne, on entend Tangle 
des deux espaces (§21) dans lesquels elles se trouvent, comme 
par angle de deux faces, dans le premier Tableau, on a entendu 
celui des plans de ces faces. 



io4 



CHAPITRE YIII. 



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NOIlVKOISpa 



O 



LES POLTtDROÏDES. Io5 

Les noms qui suivent ont été donnés par Stringham en 1880, et 
ont été adoptés par les auteurs qui ont écrit depuis en anglais et 
en français ; nous les adopterons aussi, bien qu'ils soient peu satis- 
faisants ('), mais nous ferons largement usage des abréviations 
données dans la première colonne du Tableau II. 

Nous indiquons à leur suite les noms dont les auteurs alle- 
mands font usage. 

C*. — L'octaédroïde. — Achtzell. 

C. — Le pentaédroïde. — Fûnfzell. 

C". — L'hexadécaédroïde. — Sechszehnzeli. 

C«oo, __ L'hexacosiédroïde. — Sechshundertzell. 

C". — L'icosatétraédroïde. — Vierundzwanzigzell. 
C*". — L'hécatonicosaédroïde. — Einhundertzwanzigzell. 

La question des polyédroïdes réguliers est difficile ; mais elle a 
été très étudiée, elle l'a été par les méthodes les plus variées, et 
Ton en est aujourd'hui bien maître. Pour la première fois, les 
matériaux abondent entre nos mains. 

Elle remonte à 1880. A cette date, Stringham (*), professeur à 
l'Université de Californie, l'ouvre dans le American Journal 0/ 
Mathematics, que dirigeait alors Sylvester, par un important 
Mémoire dans lequel il généralise la formule d'Euler, établit 
Texistence des six corps réguliers, en décrit la construction, en 
donne quelques dimensions. En 1882 et i883, presque simultané- 
ment, apparaissent les travaux deRudel, à Kaiserslautern (•); de 



( * ) Ces mots ne sont pas bien faits. Si Ton conserve le principe, déjà peu 
judicieux lui-môme, de baser la nomenclature sur le nombre des cases, il fau- 
drait remplacer l'élément èdre, qui correspond au mot face comme on a vu, § 36, 
par un autre correspondant au mot case, et supprimer l'élément oM/e, qui n'au- 
rait plus alors de raison d'être. C'est la facture des noms allemands. Hoppe et 
Brûckner, en allemand, emploient le mot polytope au lieu de polyédroide; 
Hinton et Procter Hall, en anglais, emploient le mot tessaract au Heu ù!octaé' 
droïde, — W nous paraîtrait judicieux de n'employer le mot Hyperpolyèdre 
que pour les polyèdres (corps à trois dimensions dont les faces limitantes sont 
àts polygones) qui n'ont pas tous leurs sommets dans un même espace. 

(^) Stringham, Regular figures in n-dimensional Space {American Journal 
of McUhematicSf 1880). 

(^) RUDEL, Von Kôrper hoherer Dimension ; KaïSQTSl&uiBTnf i88a. 



105 CHAPITRE TIII. 

Hoppe, àLeipzig ( * ) ; de Schlegel, à Halle (*) ; de Puchta, à Prague (') ; 
tous ces auteurs paraissent avoir traité la question chacun de son 
-côté et Tont résolue plus ou moins complètement. La solution la 
plus complète est celle de Puchta, travail considérable qui a 
fourni les matériaux de tous ceux venus depuis; on y trouve, en 
Tableaux numériques, les quatre coordonnées de tous les sommets 
des six polyédroïdes. Schlegel construit des modèles en relief 
représentant les projections sur notre espace (*), et en montre 
pour la première fois la collection complète, en i884, dans un 
Congrès de naturalistes et de médecins allemands, à Magde- 
bourg. Un Mémoire de Cesaro publié en 1887 (*) n'avance pas 
beaucoup la question. En 1889, M. Goursat (•), de la Faculté de 
Paris, la ramène à ce problème de Géométrie à trois dimen- 
sions: Diviser l'espace en corps réguliers égaux de manière qu'ils 
le remplissent sans vides, et fait naître ainsi les six polyédroïdes 
d'une manière aussi élégante que nouvelle. Le môme M. Goursat, 
puis Maschke en Amérique ('), puis van Oss en Hollande (•), 
appliquent à ces corps la théorie des Groupes de rotations fondée 
par Klein dans ses Leçons sur l'Icosaèdre, dont nous avons dit un 
mot dans notre avant-propos; le travail de van Oss prend appui 



(') Hoppe, Eegelmàssige lineavbegrentzle Figuren von vier Dimensionen 
{Archiv der Mathematik und Physik, gegrûndetvon Grûnerl, forlgeselzt von 
Hoppe. Leipzig, i88a). 

(') ScHLEQELf Théorie der homogenen zusammengesetzen Raumgebilde 
{Nova Acta Acad. Cœsareœ Leopoldo-Carolinœ gernianicœ naturœ curio- 
sorum; Halle, iSSS). — Quelques théorèmes de Géométrie à n dimensions 
{Bulletin de la Soc. Math, de France, 1882). 

(') Puchta, j4nalytische Bestimmung der regelmàssigen convexen Kôrper 
im Baume von vier Dimensionen ( Sitzungsberichte der k. Acad. der Wis^ 
senschaften su Wien, i883; aussi 1884 et 189a). 

(<) Librairie MarUii Schilling, à Halle. 

(*) Forme poliedriche regolari e semi-regolari in tutti gli Spazii, 
Milan, 4'. 1887. 

(*) Goursat, Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières 
de l'espace (Annales se. de l'École Normale supérieure, 1889). 

(^) Maschke, The représentation of finite groups^especially o/the rotation 
groups of the regular bodies of three^ and four-dimensional space, by 
Cayley s color-diagrams {American Journal of Mathematics, t. XVIII, 1896). 

(•) Van Oss, Die Bewegungsgruppeh der regelmàssigen Gebilde von vier 
Dimensionen. Giessen, 189). — Das regelmàssige Secfishundertzell und seine 
selbtsdeckende Bewegungen { Verhandlingen der k. Akad. v. Wetensch. te 
Amsterdam, 1899). 



LES POLYtDROÏDES. IO7 

sur de belles épures. Tout récemment, M. Schoute (*), en Hol- 
lande, refait les calculs et les Tableaux de Puchta, et complète 
Tétude, commencée par Schlegel et par Proclor Hall (•), des pro- 
jections et des sections spatiales. Enfin ces dernières sont traitées 
par la méthode des rabattements, par M™' Alicia Boole Stott ('), 
fille d*un mathématicien distingué, un des créateurs de YApplica- 
tion de V Algèbre à la Logique (*). 

§ 39. — Arêtes et sommetB. 

I. 11 suit de la condition de régularité que le polyédroïde est 
déterminé par le nombre des sommets et la constitution de l'un 
d'eux. Laissant de côté la longueur de Tarête, que nous suppo- 
serons fixée une fois pour toutes, et que nous désignerons par a, 
il n'existe qu'un individu de chaque espèce. Les sommets sont 
régulièrement répartis sur une hypersphère, dont le rayon R et 
le centre sont déterminés et que l'on appelle Yhyperspkère 
circonscrite. 

En outre, il résulte de la condition de convexité qu'on doit 
pouvoir mener par le sommet un espace laissant le polyédroïde 
tout entier du même côté; il faut pour cela que les cases réunies 
en ce sommet y fassent un angle solide moindre que huit fois un 
trièdre droit {voir § 24). Or l'angle polyédral est égal à celui-ci 
multiplié par un coefficient k qui est 

1,00000 pour l'hexaèdre, 
0,33096 y> le tétraèdre, 
0.86539 M Toctaédre, 
1 , 885 5o )• le dodôcaèdre, 
1,67720 >» l'icosaèdre; 

(') Schoute, Jîegelmàssige Schnitte iind Projectionen des Achtzelles, 
Sectiszeknzelles , und Vierundzwanzigzelles im vierdimensional Baume 
< Verhandlingen der k. Akademie van Weienschappen te Amsterdam, iSgJ). 
— Regelmàssige Schnitte und Projectionen des Hundertzwanzigzelles und 
Sechshundertzelles im vierdimensionalen Baume (Id.), 

(') PROCTOR Hall, The projections of four-fotd Jîgures upon a three-flat 
( American Journal of Mathematics, 1893 ). 

(*) Alicia Boole Stott, On certain séries of sections of the regular four^ 
dimensional hyperêolids ( Verhandlingen, 1900). 

(*} Boole, Mathematical analysis of Logics ; Londres, iSjj* 



io8 



CHAPITRE YIII. 



on ne peut donc en réunir qu'un nombre n satisfaisant à la con- 
dition 

nk<S, 

Avant d'aller plus loin il est nécessaire de rappeler la suite 
des considérations par lesquelles le géomètre à trois dimensions 
forme les polyèdres réguliers au moyen des polygones réguliers. 

I**. L'angle formé par deux côtés est 60° dans le triangle équi- 
latéral, 90° dans le carré, 54° dans le pentagone, etc. Par suite, 
on peut réunir dans le plan, autour d'un point, sans qu'ils 
arrivent à se toucher ou à empiéter les uns sur les autres : trois, 
quatre ou cinq triangles, trois carrés, trois pentagones; mais on 




Fig. i4< 



Fig. i5. 





■ 

ne saurait ni augmenter ces nombres, ni prendre d'autres 
polygones, étant donné qu'il n'en faut pas moins de trois. Les 
trois premiers cas sont représentés par les figures i3, i4, i5; le 
lecteur est prié de faire lui-morae la figure pour les deux autres. 

Prenant d'abord le cas de trois triangles (Jig. i3), on forme un 
angle solide en détachant du plan commun, qui est le plan du 
papier, chacun des plans 128, i34, 1^2, et le faisant tourner, de 
dessus en dessous, autour d'une droite du plan convenablement 
choisie, jusqu'à ce que les deux arêtes marquées la, les deux 
marquées i3 et les deux marquées i4 se touchent et n'en fassent 
qu'une. On voit sans peine qu'après le mouvement les points 2, 
3, 4, en chacun desquels se sont réunis deux points portant le 
même numéro, forment un triangle équilatéral; ce triangle /erme 
la figure constituée par les trois premiers, et l'on a un solide 
régulier : c'est le tétraèdre. 

Par des rotations analogues, la figure i4 donne un angle solide 



LES POLVeDSOÎDEg. IO9 

1334^ formé parla rëunioa de quatre angles plans en i, et dont 
la base a 3 4 3 est un carré ; il faut celte fois, pour faire un solide 
régulier, accoler à cette première figure une figure symétrique 
i'a'3'4'5', les arêtes a' 3', 3' 4', 4'5', ^'a' n'en faisant qu'une 
avec leurs homologues; on a alors l'octaèdre (fig. 28). 

Dans le cas de la Ûgure i5, les bords des cinq triangles 
forment, après leur réunion, un pentagone régulier 2 3 456, Sur 
le sommet 3, accrochons trois triangles formant avec les deux 
qui y sont déjà un sommet identique à 1. En continuant ainsi de 
sommet en sommet, les bords libres des nouveaux triangles 
formeront une deuxième bordure 7891011 parallèle et identique 

Fig. 16. Fig. 17. Fig. 18. 



;\ la première, et l'on aura Vicosaèdre en la coiffant avec une 
figure la symétrique de i {fig. 19). 

Si l'on prend des carrés, on ne peut former qu'une seule sorte 
de sommet, et l'on a Xhexaèdre, ou cube (fig- 24), familier à 
tous nos lecteurs. 

Enfin, si l'on prend des pentagones, on ne peut encore les 
réunir que par trois. Plaçons-en un horizontalement {fig. 19) et 
attachons-en cinq autres, un à chacune de ses arôtes, de manière 
qu'ils se touchent par leurs côtés; nous aurons cinq sommets 
identiques parce que deux pentagones conséculifs fout entre eux 
le mfime angle dièdre que chacun d'eux fait avec le premier. De 
plus, deux arêtes libres consécutives font entre elles un angle 
égal à l'angle pentagonal : 108°; ces arùtes libres forment un 
décagone dentelé et, si l'on emboîte dans celle première moitié 
une deuxième moitié toute pareille, on a le dodécaèdre régulier. 

Les figures 19 inférieures représentent : celle de gauche, la 



IIO 



CHAPITRE VIII. 



projection de Ticosaèdre régulier sur un plan parallèle à une 
première et à une deuxième diagonale perpendiculaires entre 
elles; celle de droite, la projection du dodécaèdre régulier sur un 
plan parallèle à une deuxième et à une troisième diagonale 
perpendiculaires entre elles ; on appelle premières, deuxièmes 
et troisièmes diagonales les lignes qui joignent : deux sommets 



•4 




/7r"n\ 

^ I I I : 9 , I I 



V 



JS^ 



fS 



^•^JÇ^MS^IS^ 




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^^u 




\ >-./>/ 
16 fj '* 

ÎX.XX.XI 



/7 :tS 



Fig. 19. — L'icosaèdre et le dodécaèdre réguliers. 

opposés, les milieux de deux arêtes opposées, les centres de 
deux faces opposées (*). 

II. Répétons cette description en augmentant les dimensions 
d'une unité, ainsi qu'il est dit au § 36. 

1° Si l'on multiplie par 3 la valeur «p (Tableau I) qui est affé- 
rente à l'icosaèdre, par un nombre plus grand que 5 celle qui est 



( ') On verra, § 45, d'autres projections de Ticosaôdre et du dodécaèdre, faites 
sur des plans non situés dans le même espace que le corps. 



LES POLTÉDROYDES. 1 1 1 

afférente au tétraèdre, et chacune des trois autres par un nombre^ 
plus grand que 3, le produit se trouve supérieur à 36o°. Par suite, 
on peut réunir dans l'espace, sur une même arête, sans qu'ils 
arrivent à se toucher ou à empiéter les uns sur les autres, jusqu'à 
trois, quatre ou cinq tétraèdres, trois hexaèdres, trois octaèdres, 
trois dodécaèdres, mais on ne saurait ni augmenter ces nombres, 
ni se servir de l'icosacdre. Cela fait six assemblages et, par 
suite, il ne peut exister au plus que six polyédroïdes réguliers. 
Les figures i6, 17, 18 représentent, pour les cas de trois, quatre 
et cinq tétraèdres (le lecteur est prié de se faire lui-même la 
figure pour les trois autres cas), la coupe de l'assemblage par 
un plan perpendiculaire au milieu de l'arête considérée; 12 y est 
la projection commune de deux points i et 2 situés de part et 
d'autre du papier à la distance d'une demi-longueur d'arête, et 
les triangles ombrés disposés autour de ce point sont les sections 
faites par le plan du papier dans les tétraèdres. Ceux-ci sont 
donc : 

1284, 1245, 1253 pour la première figure, 
1234, 1240, 1256, 1263 pour la deuxième figure, 
1234, 1245, 1257, 1276; 1203 pour la troisième figure. 

2<> Prenant la figure 16, séparons de l'espace commun chacun 
des espaces contenant les trois tétraèdres, et faisons-les tourner 
de dessus en dessous (§ 15), autour d'un plan convenablement 
choisi dans le premier espace, de manière à amener au contact 
les deux faces marquées i23, les deux marquées 124 et les deux 
marquées i25; les trois plans i23, 124 et i25 forment un trièdre 
de seconde espèce (§23). 

3® Faisant successivement de môme pour les cinq autres assem- 
blages, on a six choses à quatre dimensions, qu'à défaut d'un 
nom que nous ne voulons pas fabriquer, nous appellerons des^ 
arêtes garnies, la garniture consistant en 3, 4 ou 5 tétraèdres, 
3 hexaèdres, 3 octaèdres, ou 3 dodécaèdres; elles correspondent 
à la sixième colonne du Tableau II. 

m. Il s'agit maintenant de former un sommet en réunissant 
sur un même point de l'étendue les bouts d'un certain nombre 
d'arêtes garnies; nous allons arriver, plus simplement que le 



112 CHAPITRE y III. 

lecteur ne peut l'espérer, à confectionner cette singulière calotte, 
mais il devra avoir bien présentes à Tesprit les deuxième et 
cinquième colonnes du Tableau I. 

Supposons un polyédroïde existant et construit; nous avons 
déjà appelé et R le centre et le rayon de Thypersphère qui lui 
est circonscrite. Considérons un sommet, que nous désignerons 
indifféremment parla lettre s ou par le chiffre i, suivant la com- 
modité du moment, et soient 2, 3, 4, 5, 6,.., les divers sommets 
qui Tentourent, c'est-à-dire les autres bouts des arêtes dont il est 
le point de départ. Ces bouts sont sur une même hypersphère de 
rayon a, et, par raison de symétrie, sont aussi sur un même 
espace perpendiculaire au rayon sO (*); leur ensemble est une 
figure régub'ère à trois dimensions que nous appellerons F. Cela 
posé : 

1° Si les cases constitutives du sommet s sont des tétraèdres, 
les points 2, 3, 4, 5, 6, ... se groupent en triangles équilatéraux 
appartenant respectivement à chacune d'elles. Mais le Tableau I 
montre qu'il n'y a que trois figures régulières à trois dimensions 
limitées par des triangles, savoir : le tétraèdre avec quatre faces, 
six arêtes, quatre sommets; Toctaèdre avec huit faces, douze 
arêtes et six sommets; l'icosaèdre avec vingt faces, trente arêtes, 
douze sommets. Les cases dont il s'agit ne peuvent donc être qu'au 
nombre de quatre, huit ou vingt. 

Dans le premier cas, la figure F est un tétraèdre 2 3 4 5 ; il part 
du sommet s quatre cases tétraédrales, six faces planes et quatre 
arêtes; chaque arête porte trois tétraèdres et ils ont trois à trois 
une arête commune. On voit aisément que les points 2, 3, 4» ^ 
sont les sommets d'un cinquième tétraèdre égal aux premiers ; 
celui-ci ferme la figure, et l'on a un corps régulier à quatre 
dimensions, qui n'est autre que le C, le pentaédroïde ; nous le 
reprendrons au § W. 

Dans le second cas, la figure F est un octaèdre 234567 
{fig. 20); il part du sommet s huit cases tétraédrales, douze 



(') De même, s*il nous est permis de remplacer une fois une démonstration 
par une comparaison, que les points situés sur les arêtes d'une pyramide 
régulière à égale distance du sommet sont, à la fois, sur une surface sptiérique 
ayant ce sommet pour centre et sur un plan perpendiculaire à l'axe de la 
pyramide. 



LES POLTlftDBOÏDKS. 



Il3 



faces plaaes et six arêtes. Chaque arôte porte quatre tétraèdres, 
et ils ont quatre à quatre une arête commune. La âgure i a 3 4 5 6 7 
qu'ils forment est ouverte à l'opposé du point i ; on la /erme en 
lui accolant une figure symétrique 8284567, et Ton obtient 





+■-/-•= ^-.x. 



j 

Fig. 21. ~ Calotte à base d'octaèdre. 



ainsi un deuxième solide régulier, qui est le C*S Thexadécaé- 
droïde ; il reparaîtra au § 42. 
Dans le troisième cas, la figure F est un icosaèdre 

28456789 10 II 12 i3 {fig* 22); 

il part du sommet s vingt cases tétraédrales, trente faces planes, 
douze arêtes, et chaque arête porte cinq tétraèdres. La figure est 




« tt 

Fig. 9i. -— Calotte à base d'icosaèdre. 

ouverte, mais nous ne pourrons la fermer que plus tard; nous y 
reviendrons au § 46, et nous verrons que le sommet que nous 
venons de constituer fait partie du G*'*, de Thexacosiédroïde. 

2^ Si les cases constitutives du sommet s sont des hexaèdres 
ou des dodécaèdres, trois arêtes en partent pour le compte de 
chacun d'eux ; la figure F est encore formée par des groupes de 



J. 



8 



Il4 CHAPITRE YlII. 

trois points, c'est-à-dire des triangles, et ne peut, comme dans 
le cas précédent, être qu'un tétraèdre, un octaèdre ou un icosa- 
èdre. Mais le deuxième et le troisième cas ne sont pas admissibles 
parce que la condition nÂr<8 du § 39 ne serait pas satisfaite, 
et le premier nous donne encore, comme partant du sommet s, 
quatre cases, six faces, quatre arêtes. Nous avons à faire au C*, 
ou Toctaédroïde, si les faces sont des hexaèdres, et au G"®, ou 
rhécatonicosaédroïde, si elles sont des dodécaèdres. 

3<> Enfin, si les cases constitutives du sommet s sont des octa- 
èdres, chacun d'eux fournit quatre arêtes et produit un carré 
dans l'espace E. Comme le cube est le seul polyèdre limité par 
des carrés, la figure F est un cube 123456789 {Jfg. 20), et a 
six faces, douze arêtes, huit sommets. II part donc du sommet s 
six cases octaédrales, douze faces planes et huit arêtes ; le solide 
auquel nous sommes amenés est le C", ou l'icosatétraédroïde; il 
fera l'objet des §§ W et 45, où l'on peut voir comme exemple la 
calotte qui a pour sommet le point 8 et pour base le cube 

1 2 79 12 iS i5 24. 

§ iO. — Établissement des coordonnées. 

En résumé, chaque sommet est une calotte, corps à quatre 
dimensions, posant sur une base qui est un polyèdre, corps à 
trois dimensions, c'est-à-dire dont tous les points sont dans un 
même espace. Tous les sommets et toutes les arêtes de cette base 
sont aussi des sommets et des arêtes du corps. Calotte et base sont 
ainsi constituées : 



c* 

\^ • • • • • • • 

pq ,C« 

» / 

û i C" 

C*^ 



BA8B. 






ARÉTBS. 


un tétraèdre. 

» 
un octaèdre, 
un hexaèdre, 
un icosaèdre. 


4 arêtes garnies chacune de 4 tétraèdres. 
4 » » 4 hexaèdres. 
4 » » 3 dodécaèdres. 
6 » » 8 tétraèdres. 
8 » » 3 octaèdres. 
13 » 1) 30 tétraèdres. 



Il nous reste à trouver le nombre des sommets et à en fixer la 



LES POLlTÉDROliDBS. 1 15 

position. Pour que les six figures appartiennent de fait, non pas 
à un polyédroïde quelconque, mais à un polyédroïde régulier, et 
que les six corps auxquels nous avons donné des noms par anti- 
cipation soient admis à Texistence, il faut : i° que chacune des 
distances 23, 34, 4^, 56, ... ait la même valeur a que les dis- 
tances 12, i3, i4, i5, . . . ; 2<^ qu'en portant une figure pareille à $ 
successivement sur chacun des points 2, 3, 4, ... et puis sur 
chacun des nouveaux points libres qui apparaîtront, il se con- 
stitue un tout continu, se fermant sur lui-même pour circonscrire 
une certaine région de retendue, La première condition revient 
à une petite question de géométrie fixant la distance entre le 
point s et Tespace E. Nous verrons comment la seconde se réalise 
pour les polyédroïdes qui ont cinq, huit, seize ou vingt-quatre 
cases; pour les deux autres, le tâtonnement qu'elle exige n'est 
pas sans dif^culté, et nous le laissons à la sagacité du lecteur; 
il en trouvera deux formes différentes, mais peu clairement 
exposées l'une et Tautre, dans Stringham et dans Hoppe. 

Nous considérons donc la morphologie comme terminée, et 
nous passons à la métrique, dont le problème peut s'énoncer 
comme ceci ; mettre les sommets en position dans un système 
quelconque de référence. La solution consiste, soit en des tableaux 
numériques où sont inscrites les valeurs des coordonnées de 
chaque point, soit en des dessins sur lesquels on peut les mesurer. 
Il faut toujours passer par les premiers, et souvent arriver aux 
seconds, qui se prêtent généralement avec plus de facilité aux 
diverses études du géomètre. Nous emploierons un peu chaque 
chose, de manière à donner une idée de l'une et Tautre. Nous 
écourterons beaucoup, ménageant toutefois la vue d'ensemble, 
mais n'évoquant que des détails, ou plus simples ou plus topiques, 
que nous nous efforcerons de mettre en clarté. Notre travail ne 
remplace donc ni le Mémoire de Puchta, ni les Monographies 
publiées récemment par M. Schoute, M, Van Oss et M"' Stott; en 
revanche, nous croyons qu'on ne trouverait ni dans ceux-ci, ni 
ailleurs, la plupart des considérations présentées ici. 

Ces publications sont consacrées surtout au C*^^, et contiennent 
de belles épures qu'on peut caractériser en disant que celles de 
la première sont des projections sur des espaces ou des intersec- 
Uons par des espaces, celles de la seconde des projections sur des 



Il6 CHAPITRE YIII. 

plans suivant les principes de la Géométrie descriptive (§25); 
celles de la troisième, des rabattements et développements sur 
des espaces. Disons quelques mots de chacun des trois pro- 
cédés (M- 
1*^ La projection du polyédroïde sur un espace est un polyèdre 

qui aura généralement un nombre moindre de sommets et d'arêtes. 
On peut le construire en fils de fer, en plâtre ou en carton, et Ton 
peut en donner une idée par des projections planes. Ces polyèdres 
sont intéressants à deux points de vue. Sans nous faire voir la 
forme même des polyédroïdes, nous avons dit pourquoi dans 
TAvant-propos et au § 25, ils donnent cependant à notre curio- 
sité une certaine satisfaction, toute platonique qu'elle soit. 
Ensuite ils constituent, dans la Géométrie à trois dimensions» 
une grande famille naturelle de polyèdres, qui ne sont pas régu- 
liers au sens étroit donné à ce mot dans le § 38, mais qui viennent 
se placer à côté des solides d* Archimède, des polyèdres demi régu- 
liers de M. Catalan (*) et des polyèdres de la cristallographie. 

2<^ D'après ce qu'on a vu (§ 25), le polyédroïde est entièrement 
défini par ses projections sur deux plans complètement perpendi" 
culaires entre eux, et celles-ci se représentent dans les angles 
opposés 

x^Ox^ et x^Qx^^ ou xiQx^ et x,,Oxi 

de deux lignes perpendiculaires entre elles a?,j?j et x^x,, (voir 
la figure du §25). De ces projections on peut déduire aisément 
celles sur deux plans associés aux précédents par perpendicu- 
larité simple; on a alors quatre couples de projections 

X\\jx^ et iiCjUvCjj X\\jx^ et x^Kjx^^ • . . 



( ' ) Les épures de M. Van Oss sont surtout faites en vue d'une question que 
nous n'aborderons pas : celle des groupes dé rotations qui ramènent un polyé- 
droïde régulier sur lui-même. 

(^) M. Catalan appelle ainsi : soit un polyèdre dont les faces sont des poly- 
gones réguliers, ceux de môme espèce égaux entre eux, et dont les angles solides 
sont égaux ou symétriques; soit un polyèdre dont les faces sont égales et dont 
les angles solides sont réguliers, ceux de même -espèce égaux entre eux. Il y en 
a quinze de chaque espèce. 

On peut voir le Mémoire de M. Catalan dans le 4>* Cahier du Journal de 
VÉcole Polytechnique y et la collection des modèles en plâtre de ses polyèdres 
au Conservatoire des Arts et Métiers. 



LES P0LYÉDR0ÏDB8. II7 

dont chacun détermine un espace et y représente un polyèdre; 
celui-ci, dans le système de la Géométrie descriptive ordinaire, 
n'est pas autre qu'une projection spatiale comme celles dont il 
est question dans Talinéa précédent. Ayant les quatre coor- 
données ar,, j?,, ar„ a?4 de chaque point, ces dernières construc- 
tions reviennent à les associer par deux dans Tangle voulu, 
comme le fait la Géométrie analytique à deux dimensions. 

30 Enfin, pour faire le développement, on rabat sur Tespacc 
d'une des cases limitantes chacune de celles qui l'entourent, puis 
les suivantes, au moyen de rotations (§ 18) sur les plans des 
faces de contact ; il faut admettre que les cases se détachent les 
unes des autres par dédoublement de ces faces, et que les arêtes 
et les sommets se résolvent de même suivant leur degré de 
multiplicité. 

Il faut considérer, dans les six corps qui vont défiler devant 
nous, certaines lignes remarquables qui s'appellent : 

/ les premières diagonales, ou les diagonales proprement dites ( i ), 
les deuxièmes diagonales, 
les troisièmes diagonales, 
les quatrièmes diagonales, qu'on appelle aussi les axes, 

et qui joignent respectivement 

deux sommets opposés, 
les milieux de deux arôles opposées, 
les centres de deux faces opposées, 
les centres de deux cases opposées. 

Dans le C* il n'y a que les lignes de la deuxième et de la troi- 
sième espèce. 

Les espaces menés par le centre perpendiculairement à quel- 
ques-unes de ces lignes sont des espaces de symétrie. C'est le cas 
(nous nous contentons d'énoncer ces propositions) pour ceux 
perpendiculaires, — dans le C, à une quatrième ou à une troi- 
sième diagonale, — dans le C", à une première ou à une 



(*) Les auteurs allemands réservent le mot diagonale pour les lignes de la 
première espèce, et emploient le mot transversale (Querlinie) pour les autres, 
qui sont ainsi les premières, les deuxièmes et les troisièmes transversales. 



ii8 



CHAPITRE YIII. 



deuxième, — dans le C**, à une première ou à une quatrième, 
— dans le G*^®, à une première, — dans le G*", à une quatrième. 



§ 41. — L'octaédroîde, oa le G^ 



D'après ce qu'on a vu au § 24, la formule 
(i) j:|trr±-a, J7i=:±:-a, a:m=2zïz -a, XL±^=z-a, 

^ ' 2 2 ' 2 2 

en y combinant les signes de toutes les manières possibles, 
donne seize systèmes différents, de quatre équations chacun, et 
représente seize points. Nous désignerons ces points par les seize 
premiers nombres comme le montre le Tableau suivant : 





2'. 


2 '2 


2X3 


2 '4 






2'. 


2'î 


2*3 


ax» 


1 


-ha 


-ha 


-ha 


-ha 




11 


— a 


— a 


— a 


— a 


•2 


-ha 


-ha 


-h a 


— a 




12 


— a 


— a 


— a 


H-a 


3 


-ha 


-ha 


— a 


— a 




9 


— a 


— a 


-ha 


-ha 


4 


-ha 


-ha 


— a 


-ha 




10 


— a 


— a 


-h a 


— a 


5 


-h a 


— a 


-ha 


-ha 




15 


— a 


-ha 


— a 


— a 


6 


-ha 


— a 


-ha 


— a 




16 


— a 


-ha 


— a 


-ha 


7 


-ha 


— a 


— a 


— a 




13 


— a 


-ha 


-ha 


-ha 


8 


-ha 


— a 


— a 


-ha 




14 


— a 


-ha 


-ha 


— a 



Nous savons déjà (§39) que sur ces seize sommets s'agencent : 

32 arêtes, se réunissant par quatre à chaque sommet, 

24 faces, qui sont des carrés, se réunissant par six à chaque 
sommet et par trois sur chaque arête, 

8 cases, qui sont des hexaèdres, se réunissant par trois à 
chaque sommet et par trois également sur chaque arôte. 

Il nous reste à montrer comment se fait cet agencement; pour 
cela, nous emploierons successivement la méthode géométrique 
et la méthode analytique, celle-ci procédant par espaces coordon» 
nés, celle-là par pla/is de pro/ection, chacune interprétant et com- 
plétant l'autre. L'une donne des projections planes, l'autre des 
projections spatiales. 



LIS POLTtDBOÏDBS. 



I. — MÉTHODE O 

La première et la deuxième colonnes du Tableau ci-dessus nous 



&' 



54 



I 77.7ff ; I £• 



1 fs.re I /«vjl 



I T«2 i 
— ' TT.*-T 



fe« , J.7; 



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Z)|^l^ 






1 W 






m!» 






îf"f I 

I I 



^Jf3 



.il_ 












Fig. i3. — DiierMS projections de l'oclaédrolde, ou C*. 



130 CHAPITBB TlII. 

donneot immédiatemeot, comme projection sur le plan des Xi x,, 
c'est-à-dire dans le compartimeat A de la Qgure a3, le carré qui 
est dessiné avec des traits pleins et des points noirs, et dont les 
cAtés sont parallèles aux axes. Les quatrième et cinquième 
colonnes donnent un carré pareil dans le compartiment C. Les 




A. 






•^ 



Fig. ij. — Les huit caseï hexaédralei qui limitent l'octaédroide. 

quatre axes de l'hypercorps, que nous désignerons par d, b, c, d, 
sont parallèles, dans cette position, aux quatre axes coordonnés. 

Que le lecteur veuille bien porter son atlention sur le sommet 
inférieur droit du premier carré, qui porte les numéros i, 2, 3, 4 
et que nous reproduisons en a dans la figure a5 ; ce que nous en 
dirons s'appliquera à un quelconque des sept autres sommets. Eu 
ce point sont réunies les projections de quatre points de l'hyper- 
corps, qui ne peuvent être autre chose que les sommets d'une des 
vingt-quatre faces carrées, située dans un plan complètement 



LB8 POLTÉDROÏDBS, 



131 



perpendiculaire au plan de projection A, Nous nous proposons de 
séparer ces projections les unes des autres en faisant pirouetter 
l'hypercorps devant les plans de projection, suivant le principe 
des rotations donné au § 25. 

I® Faisons-le tourner d'un quart de quadrant autour d'un plan 
mené par son centre parallèlement au plan œ^ x^ ; la projection 
sur celui-ci ne change pas et, dans le plan x^ x,, le carré prend la 
position, perpendiculaire aux bissectrices des axes, dessinée en 
points blancs et traits interrompus; la projection sur le plan 



a. 



U3 

2 



U3 




Fîg. }5. — Transformations de la projection d'un carré. 

Xy a?4, qui s'obtient comme il est dit au § 25, et que nous 
avons figurée en G bien que nous n'ayons pas à en faire 
usage, serait alors composée de six points et sept lignes formant 
les côtés et la médiane d'un rectangle allongé dans le sens de x^. 
Pour cette forme, deux axes a et 6 sont perpendiculaires au plan 
de projection, les deux autres lui sont inclinés à 45**. 

a^ Imprimons une deuxième rotation d'un quart de quadrant 
autour d'un plan parallèle à celui des x^ x^. Le résultat précédent 
se produit alors sur le plan x^ x^, et les axes a, b, c, d font main- 
tenant tous les quatre un angle de 45* avec chacun des deux plans 
de projection ('); les quatres axes coordonnés sont des troi- 



(M Si trois axes font un angle de 4^" avec le plan de projection, le quatrième 
lui étant perpendiculaire, on a une projection à contour hexagonal, que le 
lecteur peut obtenir en construisant dans A un rectangle pareil à celui de D, 
puis faisant tourner Tun des deux d*un tiers de quadrant pour déduire une pro- 
jection sur A. 



122 GHAPITBB Vllf. 

siènies diagonales. Avec ces deux figures, construisons les pro- 
jections sur les deux autres plans coordonnés œ^ x,, x,, j?t, en 
descendant la partie DA du dessin en D'A' pour ne pas superposer 
des dessins. Nous avons sur chacun d'eux un carré avec ses deux 
médianes, dessiné en traits interrompus et points blancs, com- 
prenant neuf points et douze lignes. Les projections 2 et 4 sont 
maintenant séparées de i et 3 {fig, 25*), mais ces dernières sont 
encore confondues ensemble. 

3<» On voit qu'il est indifférent de considérer la rotation, ou sur 
rhypercorps lui-même, ou sur les projections, l'un des deux 
mouvements ayant l'autre pour conséquence; dès lors, nous ne 
parlerons plus guère que des projections, dont la considération 
est plus facile. Partant des dernières que nous venons d'obtenir, 
faisons-les tourner, comme l'indiquent les flèches, de trois quarts 
de quadrant, et construisons la figure correspondante dans le 
compartiment A'. Les sommets i et 3 sont maintenant séparés 
{fig, 25*^) : la projection s'est ouverte comme un quadrilatère arti- 
culé, et la ligne droite est devenue un losange, comme le point 
était devenu une ligne droite. La môme chose s'est passée en 
même temps pour tous les autres sommets, et toutes les projec- 
tions sont séparées : leur ensemble forme une figure régulière à 
pourtour octogonal, sur laquelle on peut voir, enchevêtrées les 
unes dans les autres, mais distinctes {fig* 23, A') : 

a. Les projections des vingt-quatre faces, qui sont : huit 
carrés, ayant chacun un côté commun avec ce pourtour; huit 
losanges, ayant chacun avec lui un sommet commun; huit 
autres losanges ayant chacun avec lui deux côtés consécutifs 
communs. 

p. Les projections des huit cases hexaédrales; comme leur 
enchevêtrement est un peu plus compliqué, nous les avons sépa- 
rées en quatre groupes de deux, et avons représenté ceux-ci à 
part dans la figure 23. Sont réunis ensemble deux cubes situés dans 
deux espaces parallèles, aux extrémités de chaque axe; et l'on 
peut considérer l'octaédroïde comme engendré par l'un d'eux, 
par exemple celui x,,^=i — a, marchant parallèlement à lui-même 
jusqu'à ce qu'il se confonde avec le second a?*— 4- a. Dans ce 
mouvement, chaque sommet du cube engendre une arête de l'oc- 
taédroïde, chaque arête en engendre une face, et chaque face une 



LES P0LTÉDR0ÏDB8. 



iq3 



case hexaédrale; chaque position intermédiaire du cube généra- 
teur est la section de Thypercorps par l'espace correspondant. 

Les huit cases se voient encore, sous des formes différentes, 
dans les figures 26 et 27 ; nous empruntons la première au 
Mémoire de Kempe sur la Forme géométrique (*); elle a été 
comparée (*) à la perspective de l'intérieur d'un cube vu à 
travers une de ses faces. Cette figure 26, où la génération de Toc- 
taédroïde est rapprochée de celle des configurations correspon- 





7 




z 

~bc. 


§ 7 








i^A — ^\ 


9 
7 

• 



^2 



7 '2 

/ 
^l 



S»^ 



/ 









7 










Fig. a6. — Génération de l'octaédroTde. 

dantes dans les champs à trois, deux et une dimensions, est la 
projection de Thypercorps sur un plan avec lequel ses quatre 
premières diagonales font chacune un angle de 45**. 

En chiffres, les huit hexaèdres sont donnés par le Tableau sui- 
vant : 



1 . 2. 3. 4» 5- ^- 7- 8 

5. 6. 7. 8. 9. 10. II . 12 

9. 10. ] I . 12. i3. 14. i5.i6 

i3. 14. i5. 16. 1 . 2. 3. 4 



1.5. 9. i3.2.6. 10. i4 
2.6. 10. 14*3.7. I I . i5 
3.7. Il . i5.4*8. 12. 16 
4.8. 12. 16.5.9. i3. ' 



II. — MÉTHODE ANALYTIQUK. 



Si nous récrivons le système (1), p. 118, en omettant les trois 



(') -4 Memoir on the theory of mathematical Form {Philos, Transac- 
tions, Vol. CLXXVII, 1887). 

( ' ) PROCTOR Hall, The projection of fourfold figures upon a Three-flat 
{American Journal 0/ Math., vol. XV, iSgS). 



134 GHAPITRB YIII. 

symboles (j:), (=) et f - a j> qui se répètent toujours les mômes 
et ne font qu'apporter un encombrement inutile, il prend la forme 
(2) (±±:±±), 

et celle-ci nous mène de la manière suivante à la constitution de 
l'hypercorps. 

i« Les cases. — Supprimons une fois Talternative des deux 
signes ; nous pouvons le faire de huit manières différentes, savoir : 

t(±dtii=+), (±± + di), (ih + ±±), (-<-±±±), 
^M(±±±-), (=t:±-±), (±-±=h), (-±dz±). 

Chacune représente un système de huit points, et les huit 
systèmes sont situés respectivement dans les espaces 

I 1 I I 

x^-=. -\ — a. a?3 = H — a, a7j :zr H — a, Xi^=r. -\ — a, 

2 2 2 2 

r I I I 

Xl:zz a, j:. =r — - a, a:- = a, Xi-=z ai 

2 2 2 2' 

ce sont les sommets des huit cases hexaédrales; on voit qu'elles 
sont placées perpendiculairement aux bouts opposés de quatre 
axes perpendiculaires entre eux, de longueur a. 

2° Les faces, — Ensemble les huit cases ont 6 x 8 = 4^ faces, 
maïs chacune de celles-ci est commune à deux cases, ce qui 
réduit le nombre effectif à 24. Pour voir analytiquement ces 
contacts, il n'y a qu'à associer successivement chacun des huit 
symboles (3) avec chacun des autres, excepté celui où le signe 
unique h- ou — occupe la même place. Par exemple, le premier 
ne s'associe pas avec le quatrième, mais il s'associe avec chacun 
des six autres et donne : 

Avec le second 

. 1 

a:. =1 in - a 

2 [ I I 

2 ' 2 

qui est un carré dans le plan a;, = + - a, a;» = -t- - a ; 



LBS POLTÉDROÏDES. Iq5 

Avec le troisième 

I 



a?, = 3: - a 

2 r I I 

j ?» ^î = +-«, ^» = + -«, 

a?a = ±: - a 
qui est un carré dans le plan a?, = - a, x^=:-i- - a; ... etc. 

8 v^ fi 

On voit aisément que le nombre de ces associations est = 24. 

3» Les arêtes. — Ensemble les 24 faces ont 24 x 4 = 96 côtés, 
comme les huit cubes en ont 8 x 12 = 96, môme nombre; mais 
chacun de ces côtés est commun à trois faces et à trois cubes, ce 
qui donne seulement 8 x 4 = 32 pour le nombre effectif des 
ai'êtes. En effet, réunissons trois des symboles (3) dans lesquels 
le signe unique -h ou — ne soit pas à la même place. Par exemple, 
avec le premier et le second 

(±it:±+) et (ibzt:4-±), 

nous pouvons prendre: soit le troisième (zt:-hi!z±), ce qui 
nous donne une ligne passant par les deux points 

^ I I I I 

2 2 2 2 

soit le quatrième (4- ih ± db), ce qui nous donne une ligne pas- 
sant par les deux points 

x,=r-^-a. Xx-=,±-a. a:. = H — a, x^z=.'\ — a\ 
* 2 2 2 2 

soit le septième (± — db ±), et soit enfin le huitième (— dz dz dt) ; 
cela fait quatre droites. 

Si, au lieu de commencer avec le premier et le deuxième, nous 
commençons avec deux autres quelconques, nous aurons en tout 
8x7x4 droites, mais alors chaque symbole aura servi sept 
fois, de sorte qu'il n'y a en tout que 8 x 4 = 32 arêtes. 

4** Les sommets, — Enfin les 32 arêtes ont ensemble 64 extré- 
mités, dont une, par exemple, est 

2 ' 2 



126 GHAPITBB TIII. 

On verra sans peine que chaque extrémité est commune à 
quatre arôtes, à six faces, à trois cases, et que leur nombre 64 ne 
fait en réalité que seize sommets. 

En résumé, les huit cubes limitants sont limités eux-mêmes 
par 24 carrés, chacun commun à deux d'entre eux ; les carrés sont 
limités par Sa lignes, chacune commune à trois carrés; les lignes 
enfin sont limitées par 64 points, chacun aux extrémités de quatre 
lignes. 

La projection de Toctaédroïde sur Tespace œ^ = o est le cube 
ou, en développant, 

2 22 

L'on peut dire que ce sont deux cubes coïncidents; si l'espace de 
projection est parallèle à une face seulement, au lieu de l'être 
à une case, ils se séparent, et la projection consiste en deux 
cubes parallèles, avec des droites joignant les sommets qui se 
correspondent. 

Voici comment on peut obtenir la projection sur un espace 
quelconque, déterminé de position relativement à l'hypercorps, 
mais pouvant toujours être supposé le nôtre, pourvu qu'une 
pareille supposition ne soit jamais faite en même temps pour 
deux ou plusieurs espaces à la fois. Cherchons la projection sur 
un espace perpendiculaire à une première diagonale. 

Les premières diagonales sont (§ W) les lignes qui joignent 
deux sommets placés sur la même ligne dans les deux parties du 
Tableau de la page 118. Elles se divisent en deux groupes formant 
deux quadrièdres droits pareils entre eux, savoir 

G— 16, 3 — 9, i — ii, 8 — 14 et 2 — 12, 4 — 10, 5 — i5, 7—18; 

nous choisirons le premier pour en faire un nouveau système de 
coordonnées y^ 7, /j y^. 

La tranformation des coordonnées se fait, comme dans la Géo- 
métrie à trois dimensions, en projetant successivement, sur 
chaque coordonnée y d'un point donné, le contour polygonal 
formé par les quatre coordonnées anciennes a?. Dans le cas 



LRS FOLTÉDBOlTUES. 137 

actuel, celles-ci ne sont autre chose que quatre arêtes consé- 
culives de l'octaédroïde et sont projetées par des angles égaux 
k 43° ou à 1 35"; les formules de transformation sont: 

2 y,^^ Xf — .Tj + Xi — Xi, 
a ^, =:: j, -t- ^, — j:, — ar^, 

3 _/, ::^ X, — • JTj — ^, -f- ^,, 

et il en ri^sultc les valeurs contenues dans le Tableau suivant: 



— 


»if, 


^ 


ïf. 


ÏU, 




— 


— 


^ 


SU. 


'!/. 


3 


+ « 


^la 


+a 


-a 






— a 




-a 


+ a 




-a 


-ha 


-\-a 


+ a 






+ a 


-a 


-a 


—a 




-i-a 


— a 


-<-tt 


+ a 






— 


-t-a 


-n 


~a 




+ 3fl 





n 









— JO 





o 







-hO 


-t-a 


— a 


+a 






— a 


— a 


-\-a 


—0 


8 


" 


° 


" 


+ 10 






" 


" 


" 


-10 



Pour avoir l'intersection de l'hypercorps par lespace /, = oil 




~ L'octaédroïde, traversé par ootre espace perpcDdicDlaîrement 
à une diagoDkle. 



ia8 CHAPITRE VIII. 

faul prendre les lignes du Tableau où il y a un zéro dans la 
colonne 2/4. Gela donne les points i, 3, 6, 11,9, 16, lesquels ont 
pour coordonnées 

0, o, 4-2a, o, o, — 2a, 

o, -h 2a, o, o, — 2a, o, 

-I- 2a, 0,0, — 2a, o, o, 

et forment un octaèdre; celui-ci a été dessiné dans la figure 27 
en traits mixtes et soulignés de hachures. 

Pour avoir la projection sur l'espace ^4= o, il faut supprimer 
la colonne 2 J4. Cela donne un polyèdre qui n'est autre chose que 
celui appelé rhombododécaèdre en Cristallographie. Ce solide a 
seize sommets et douze faces, qui sont des rhombes, d'où vient 
son nom ; il peut être décomposé soit en un octaèdre et un cube, 
soit en deux parallélépipèdes ; on en trouvera la description dans 
les Traités de Cristallographie, par exemple celui de de Lap- 
parent. 

Nous avons établi les projections planes et spatiales de Toctaé- 
droïde successivement sur trois systèmes de coordonnées formés 
respectivement par des quatrièmes, des troisièmes et des premières 
diagonales. Est laissé de côté le cas des deuxièmes diagonales, 
lesquelles joignent les milieux de deux arêtes opposées; nous 
nous contenterons de dire que ces lignes, au nombre de seize, 
peuvent être combinées ensemble de huit manières différentes 
pour former un quadrièdre droit. 

§ 42. — L'hezadécaédroide, oa le Gl^ 

L'hexadécaédroïde correspond à l'octaèdre comme l'octaédroïde 

au cube. Portez la longueur -a\Ji sur trois axes rectangulaires 

de chaque côté de l'origine, joignez aux quatre autres points les 
deux qui ont été marqués sur un des axes, vous aurez les six som- 
mets et les douze arêtes de l'octaèdre dont l'arête a la longueur a. 

Portez la même longueur - a v^2 sur quatre axes rectangulaires 

de chaque côté de l'origine ; joignez aux six autres points les deux 
qui ont été marqués sur un des axes ; vous aurez les huit sommets 



LES POLTÉDROÏDBS. I29 

et les vingt-quatre arêtes de Thexadécaédroïde dont Farête a la 
longueur a. 

D'après cela, en posant, pour abréger, a = - a v/2, les huit som- 
mets ont les coordonnées qu'indique le Tableau suivant : 



• 

m 




COORDONNÉES 




M 


*. 


X, 




.V4 


l 


-ha 

















-f-a 





. 


3 








-ha 





4 





G 





-ha 


5 


— a 





G 





6 





— a 








7 








— a 





8 











— a 



Gomme on Ta vu (§ 39), les 24 arêtes aboutissent six par six à 
chaque sommet, et seize cases tétraédrales se réunissent par 
quatre sur chaque arête, par huit à chaque sommet. Laissant de 
côté tout autre point de doctrine, nous nous attacherons unique- 
ment à faire comprendre de notre mieux cette constitution. 





Fig. a8 ('). — L'octaèdre et rhcxadérai^droïde. 



(*) Le lecteur est prié d'ajouter à la figure de droite les lignes pointillées 
i3, 14, 58. 

J. 9 



i3d GHàPITIB TIIl. 

Les deux dernières colonnes du Tableau donnent {fig. ag) la 
projection de l'hypercorps sur le plan des x^ x^ ; c'est le carré 
dessiné en traits pleins; ses sommets 3, 4, 7, Ssontles projec- 
tions des sommets de même nom du corps, et son centre est la 
projection commune des quatre autres sommets de celui-ci ; les 
quatre cAtés du carré sont les projections de quatre des arâtes du 
corps ; chacune des quatre demi-diagonales est la projection de 




Fig. 19, — Diverses projections planes du C 



quatre arêtes; enfin le centre est la projection de quatre arêtes la 
et 56, 16 et aS. 

La projection sur le plan x^ a;, est une figure pareille tracée en 
traits fins interrompus ; sur celle-ci, ce sont les sommets i , a, 5, 6 
qui forment le carré et 3, 4, 7i 8 qui forment le centre. 

De ces deux premières figures nous pourrions déduire les pro- 
jections analogues dans les deux autres angles B, D. Mais avant de 
procéder à la construction, faisons: 1" tourner la figure A de k^", 
ce qui rend ses côtés parallèles aux axes; en l'associant avec 
la première position C nous avons, dans le compartiment D, le 



LIS POLTËDROÏDBfl. l3l 

losange ia.8.56.4; c'est une projection sur uu plan parallèle à 
deux deuxièmes diagonales ; a» tuurn r la figure G de 45", ce qui 
rend à leur tour ses côtés parallèles aux axes ; en l'assoi^iant avec 
la pi-emière position A, nous avons, dans le compartimeat B, le 
losange 3. 35.7.16. Chacune de ces deux figures représonte la 
projection de l'hypercorps sur un plan parallèle au plan bissec- 
teur des précédents. 




Fig. 3o. — Le polyèdre AB. 

Enfin, faisons tourner le losange du plan x^ a;, jusqu'à ce qu'un 
de ses côtés devienne parallèle à l'axe ^1. En l'associant alors 
avec le losange du plan x^xi, nous avons, dans x,jc^, la figure 
heiagonale 1 33567, * laquelle nous voulions arriver parce 
qu'elle va nous permettre de voir séparément chacun des seize 
tétraèdres ; elle est la projection de l'hypercorps sur un plan paral- 
lèle à une de ses faces. 

Associé avec le losange en traits pleins de l'angle B, la figure 



l32 CHAPITRE VIII. 

hexagonale A définit et représente un corps à trois dimensions, 
que nous désignerons par AB, et qui est très voisin de l'octaèdre 
ayant pour sommets les points i, 2, 3, 5, 6, 7. Il a un sommet de 
plus : le point 4-B de la figure A, et six arêtes de plus : les lignes 
joignant ce point aux six sommets. Le point 4-8 est la projection 
commune de deux sommets de Thypercorps sur Tespace AB; les 
six lignes qui en partent sont chacune la projection de deux 
arêtes sur le même espace ; les autres sommets et arêtes ont des 
projections distinctes. 

Le polyèdre AB se décompose en douze tétraèdres dont chacun 
est la projection de deux des cases tétraédrales qui limitent 
rhexadécaédrpïde. En les écartant un peu les unes des autres, 
on forme les quatre figures 3o, dont chacune montre quatre de ces 
cases ; nous pensons que , par ce moyen, le lecteur se rendra 
aisément compte de leur agencement par arêtes et par sommets. 
Ces seize cases sont : 



1234, 


1238, 


1274, 


1278; 


5234, 


5238, 


5274, 


5278; 


i634, 


i638, 


1674, 


1678; 


5634, 


5638, 


5674, 


5678. 



Le cube que représente la figure 3i ci-après est la projection de 
rhexadécaédroïde sur un espace parallèle aux cases 1234 et 8567 : 
des quatorze autres cases, six ont pour projection les six faces du 
cube, et les six autres les figures 

1235, 1246, i347, 1567, 2348, 2568, 3578, 4678. 



§ 43. — Le pentaédroîde, on le G*. 

Pour établir le pentaédroïde, nous allons mettre en équations 
la construction géométrique donnée au § 39, II, à laquelle se rap- 
porte la figure 16. 

Considérons un premier tétraèdre régulier, que nous appelle- 
rons le tétraèdre fondamental, et dont nous désignerons les som- 
mets par I, 2, 3, 4. Comme il convient de donner aux coordonnées 
des valeurs numériquement aussi simples que possible, plaçons 
ce tétraèdre dans un cube (fig. 3j) où ses arêtes opposées 12, 34 



LES POLYÉDROÏDBS. l33 

soient les diagonales contraires de deux faces opposées, et plaçons 




• 7 



Z^ 



\ 




: \ 



r 



8 

Fig. 3i. — Stella octangula de Kepler ( ' ) 



(*) Voici le développement de la figure 3i et la manière de la construire. 
Faire {fig. 3a) un tétraèdre fermé en collant la languette a sous (a) et la 
languette b sous (6); puis appliquer successivement les diagonales des cases 
5, 4, 3, 2 respectivement sur les arêtes 9. 10, 9.7, 7.8, 8.10 de ce tétraèdre; alors 



10 W\ 



^^j?--.^' 



rô; 



8 



(a) 







(W 


^^ 


* 
?>:\ 


V V 


?7 -sj 


^ 









^ 




2 


3 


(CJ 


5 




1 









Fig. 32. — Tétraèdre inscrit dans un cube. 

il ne reste plus en Tair que la face i, servant de couvercle, ou pouvant ôtre 
fixée aussi au moyen de la languette c collée sur 4- 



l34 CHAPITRE VIII, 

le cube lui-même dans lesjiace x^ = o en prenant dans celui-ci, 
pour axe des j?i ^t j?s> trois lignes parallèles à ses arêtes. 

Le tétraèdre 1284 s'appelle, en cristallographie, VhémigonieàxL 
cube, et il est Yhémiédrie de Toctaèdre qui aurait pour sommets 
les centres des six faces de celui-ci. Avec son tétraèdre conjugué 
8567 il forme un solide à huit pointes que Kepler appelait Stella 
octangula. 

L'arête du cube a pour valeur 

a 

et les quatre sommets du tétraèdre fondamental ont pour coor- 
données 

/ le point I : arj— -4-a, j^, =z-f-a, a?j^. -f-a, a?4=:0, 
I « 2 : -f-«, —a, —a, o, 

' « 3 : — a, — a, -\- a, o, 

et nous avons à exprimer que le point 5, en lequel se réunissent 
les deux points marqués 5 de la figure i5, se trouve à la distance a 
de chacun des points i , 2, 3, 4. A cet effet, désignons par 71, ^j,/,,/* 
les coordonnées inconnues de ce point, et par 

(i5)» (25)' (35)« (45)- 
ce que devient l'expression 

(•a^i— jKi)'-+-(j^î— 7i)'-f-(^8— .rî)*-H(j74— 74)-, 

quand on y remplace ^,, j:„ Aj, x,, successivement par 

la première, la deuxième, la troisième, la quatrième 

ligne du Tableau (1). La condition dont il s'agit fournit alors ce 
système de quatre équations à quatre inconnues/ 

(i5)«i=za«, (25)' = a«, (35)«i^a», (45)'-a*, 
et si Ton pose encore, pour abréger, 

? ~ ^—z a ~ a y/5 —-: a X 2 , 236, 
2^2 

on en tire presque instantanément : 

(*') JKi = o, yy — o, Jj-O, /v=p. 



LB8 POLTlftDftOÏDBS. 



l35 



Enjoignant ces valeurs aux valeurs ( i ) nous formons le Tableau 
des coordonnées des sommets, savoir : 





Xl 


Xt 


^3 


«• 


I 


H-a 


-T- a 


-H « 





3 


H-a 


— a 


— a 





3 


— a 


— a 


-ha 





4 


— a 


+ a 


— a 





5 


• o 


o 





p 



Détaillons encore la constitution du corps ; il a : 

cinq cases limitantes : i234, ia35, i245, i345 et a345; 
dix faces : ia3, 124, 12$, i34, i35, i45, 234, 235, 245 et 345; 
dix arêtes : 12, 23, 34, i3, i4, 24, 35, i5, 25, 4^; 
cinq sommets : i, 2, 3, 4» 5. 

Au sommet i (ce serait pareil pour chacun des autres) abou- 
tissent 

quatre arêtes : 12, i3, i4t i5; 

six faces : i23, 124, 1^5, i34, i35, i45; 

quatre cases : i234, i235, 1245, i345; 

les quatre arêtes portent chacune trois cases, savoir : 

( 1234, ( 1234, l 1234, l 1235, 



( 1235, 

12 : ' 1235, i3 : j i235, i4 : ! i245, i5 : J i245, 

( 1245, ( 1345, ( i345, ( i345, 



1345, 
elles ont deux à deux deux cases communes : 

12 et i3 : i3 et i4 : i4et i5 : i5 et 12 ; 



1234 
1235 



1234 
i345 



1245 
1345 



1235 
1245 



et trois à trois une case commune : 

i3 i 



14 



12 1 lô \ 14 j 

i3 : : 1234, i4 ^ ' i345, i5 / : i245. 

14) i5 ) 12 



i36 



CHAPITRE TIII. 



Tel est le pentaédroïde. La figure 33 en montre quelques pro- 
jections planes obtenues suivant les mêmes principes que dans 
les cas précédents. Les figures dessinées en traits pleins dans les 
angles A et C sont celles que fournit immédiatement le Tableau 
des coordonnées : ce sont les projections sur des plans parallèles 




Fig. 33. — Diverses projections planes du pentaédroïde. 

à deux faces du cube circonscrit. La figure en traits interrompus 
de Tangle B est la projection sur un plan parallèle à une face, et 
celle en traits interrompus de Tangle A, la projection sur un plan 
parallèle à deux arêtes opposées. 

Quant à la projection du pentaédroïde sur un espace, c'est. un 
corps qui s'obtient en joignant les quatre s^ommets d'un tétraèdre 
à un cinquième point, soit intérieur, soit extérieur, suivant les 
cas; on a quelcpies-unes de ces projections en associant les figures 
correspondantes des angles A et B, ou B et C, ou C et D, ou D et A. 



LBS POLTÉDROÏDKS. l3j 

L'hypervolume de Toctaédroïde est a*; celui de Thexadécaé- 

droTde est ^ «*. M. Schoute a donné (*) celui du pentaédroïde en 

fonction des coordonnées des sommets. En le considérant comme 
une pyramide qui aurait pour base le tétraèdre 1284 et pour 
hauteur la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 5 sur 
l'espace 1384, on peut déduire de la formule de M. Schoute que 
cet hypervolume est égal au volume de la base multiplié par la 
hauteur et divisé par 4, c'est-à-dire par le degré du champ. C'est 
le même énoncé qui donne le volume du tétraèdre lui-même, le 
degré du champ étant alors 3, et celui du triangle, le degré du 
champ étant 2. 

Pour les cas de quatre et cinq tétraèdres {fig- 17 et 18, § 39), 
on opérera comme nous Tavons fait au début de ce Paragraphe, 
et ainsi de proche en proche sur chaque nouvelle arête obtenue 
« jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus », dit Puchla, auquel nous avons 
emprunté ce petit calcul pour donner une idée de sa méthode. 
Avec quatre tétraèdres, on retrouve l'icosatétraédroïde, qui a fait 
Tobjet du Paragraphe précédent; avec cinq, on a l'hexacosié- 
droïde, qui fera l'objet du § W ; avec six, ou davantage, on trouve- 
rait des valeurs imaginaires, 

%U. — Vicosatétraédroide, on le OK 

Nous arrivons au troisième cas du § 39, celui où la case 
constitutive est un octaèdre régulier {fig. 28). ,Nous désigne- 
rons ce solide à trois dimensions en écrivant à la iile les 
trois sommets d'une face quelconque, puis les sommets corres- 
pondants de son opposée. Par exemple 

I 2 3. 4 ^ 6 

désigne un octaèdre dont les diagonales (qui sont des lignes ne 
faisant pas partie du corps) sont 

i4, 25, 36. 



( * ) Sur les types de cristaux du système régulier de V espace à quatre 
dimensions (Ass. fr, p, l'avanc, des Sciences; Congrès de Bordeaux, 1895). 



l38 CHAPITRE TIII. 

On les écrit en sautant deux chiffres chaque fois dans le sym- 
bole ia3.456. 

Pour avoir les huit faces de cet octaèdre il n'y a qu'à écrire 
successivement, suivant une loi facile à apercevoir : 

123, a34i 345, 4^^» S61, 612, i35, 246, 
abcahcdd 

les faces soulignées des mêmes lettres étant parallèles entre elles. 
Pour avoir les douze arêtes, il faut prendre d'abord deux som- 
mets opposés quelconques, par exemple i et 4» puis écrire 

12, i3, i5, 16; 4^, 43, 4^9 46; 23, 35, 56, 62. 

La projection plane de l'octaèdre comporte régulièrement 
douze lignes. Pour éviter l'encombrement, nous en supprimerons 
souvent quelques-unes, mais nous conserverons toujours au 
moins celles qui forment le pourtour de la projection, au nombre, 
tantôt de six, tantôt de quatre, quand la projection de Toctaèdre 
lui-même ne se réduit pas à un simple fragment de droite. 

L'octaèdre régulier d'arête a est déterminé de position dans 
rétendue quand on connaît quatre de ses sommets. 

L Appliquant la méthode de Puchta, nous avons à réunir sur 
une même arête 23 trois octaèdres 

a =1^123.645, p= 123.987, ^^=^'^Z^,l\ 107, 

dont a et p ont en commun le triangle i23, ^ et y le triangle 237, 
Y et a le triangle 236. Nous supposons connus les sommets du 
premier; pour avoir le second et le troisième il suffit, puisque 
trois de leurs points sont déjà fixés, savoir i, 2 et 3 pour 
celui-là, 2, 3 et 6 pour celui-ci, de chercher un quatrième point 
de chacun d'eux : ce sera le point 7, qui leur est commun. 
Soient y,, /j, j^,, j* ses coordonnées. 

La figure 34 représente les trois octaèdres «, p, y» avant et 
après la réunion (*), laquelle se fait sur l'arête 23; les triangles 
communs à a et p, p et -y, t ^^ «, sont couverts de hachures, incli- 



( ' ) Le lecteur remarquera les formes que prennent ces projections de l'oc- 
taèdre régulier, faites sur un plan non situé dans le môme espace que lui. 



LES POLTtDROÏDES. 



189 



nées pour le premier, horizontales pour le second, verticales pour 
le troisième. 

Comme toutes les arêtes ont la longueur a et toutes les diago- 
nales la longueur ay/â, les distances 37, 87, 17, 67 doivent, après 
la réunion, être égales, les deux premières à a, et les deux 
dernières à a\Ji, 

(r) 







\\ /l 



\ • 



\ I / 



Fig. 34. — RéuDioD de trois octaèdres sur une arête. 



On a donc 

(0 



s î î 2 

27 1:1: a', 87 =a*, 17 ■^n'ia-^ 67 =2a', 



les premiers membres de ces équations désignant respectivement 
ce que devient l'expression 

quand on y remplace j?i, o?,, ar,, a?^, successivement par les coor- 
données des points a, 8, i, 6. Ces équations, au nombre de quatre 
pour quatre inconnues, font connaître le point 7 et la position des 
deux octaèdres p, -^ %%\. déterminée. On en placera de la même 



l4o CHAPITRE VIII. 

manière deux autres p', y', et voici ce que Ton trouvera en conti- 
nuant ainsi. 

Prenons six points, que nous désignerons parles numéros i, 2^ 
8, 9, 10, 18; et posant toujours 

attribuons pour coordonnées a?t, a:,, x^, x^ : 

au point i les valeurs o, o, -h a, -4- a, 

» 2 ï> o, -4- a, -4- a, o, 

» 8 t> o, — a, -+- a, o, 

» 9 » -t- 3c, o, -h a, O, 

» 10 » — a, o, H- a, O, 

>i 18 » 0. O, 4- a, — a. 

Ces points forment un octaèdre d'arête a, comme le montrent 
leurs projections {Jîg. 35) : les deux projections supérieures, B et C, 
constituées chacune par une simple ligne droite, indiquent que 
Toctaèdre est dans un espace parallèle au plan x^x^x^^ et les- 
deux projections inférieures A, D, font ensemble une figure de 
géométrie descriptive ordinaire. Les points dont il s'agit sont 
extraits du Tableau suivant : 



Tableau I. — Les viNai-QUATRE sommets. 































1 




;{ 


4 



5 


l> 


1* 


8 


9 


10 


11 


12 


X, 








— a 








■+- a 





4- a 


— a 








X, 





-f- a 


4- a 


-\- a 





— a 


— a 


— a 








-h a 


-t- a 


x^ 


-4-a 


-h a 


" 


— a 


— a 


— a 





-h a 


H- a 


+ a 


<» 





X, 


-f- a 











— a 

















-+- a 


— a 



! 13 



14 



15 



X. — a -ha 



31! — a 



X. 



O 



o 

— a 

o 



o 

— a 
o 

— a 



10 



o 
— a 



o 



17 




o 



18 



o 
o 

-4- a 
— a 



1» 



— a 

o 
o 

-4- a 



20 



h a 

ha 

o 





21 



— a 


o 

— a 



*>o 





o 

- a 

-h a 



23 



24 



-4- a 
o 
o 

— a 



— a 

— a 
o 

o 



LBS POLYÉOROÏDBS. l4l 

En substituant ces six points à ceux désignés par 1,2, 3, 4» 5, 6 
dans Texposition précédente, et procédant comme il a été dit, le 
septième point fourni par le calcul fera également partie du 




— Un des 24 octaèdres. 



Tableau; puis on verra apparaître successivement toutes les 
colonnes de celui-ci et, une fois qu'on en aura vingt-quatre, on 
retombera sur une des six prises comme point de départ. On aura 
formé vingt-quatre cases octaédrales, se tenant sans solution de 
continuité dans les conditions qu'exprime le Tableau de la 
page 104. De la multitude d'octaèdres que l'on peut former avec 

TabIeau If. — Les vinot-quatre casks octaédrales. 





T. 


II. ni. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 


1 2 10. 3 19 II 

2 3 II. 4 30 12 

3 4 13. 5 21 l3 

4 5 i3. 6 22 i4 

5 6 14. 7 23 i5 

6 7 i5. 8 24 16 

7 8 16. 1 17 9 

8 I 9. 2 18 10 


1 2 11.20 17 9 

2 3 12.21 18 10 

3 4 i3.22 19 11 

4 5 14.28 20 12 

5 6 §5.24 21 i3 

6 7 16.17 22 i4 

7 8 9.18 23 i5 

8 1 10. IQ 2^1 16 


1 II 19.22 16 17 

2 12 20.23 9 18 

3 i3 21.24 >o '9 

4 14 32.17 II 20 

5 i5 23.i8;i3 31 
G 16 34.19 i3 22 

7 9 17.20 i4 33 

8 10 18.21 i5 2^1 



les vingt-quatre points et d'associations que Ton peut faire avec 
ces octaèdres, une seule réalise cette condition ; elle est donnée 
dans le Tableau II,* disposé en Tableau d'enchaînement, de telle 



1^2 CHAPITRE VlU. 

sorte qpi'on peut trouver presque à première vue les faces de 
contact, les arêtes commuues, etc. 

Nous désignerons chaque octaèdre en réunissant le numéro de 
sa colonne avec celui de sa ligne, ce dernier étant placé comme 
un exposant; par exemple II* sera l'octaèdre 2 3 12.21 18 10. 

On remarquera que les vingt-quatre points du premier Tableau 
sont tous ceux dont deux coordonnées ont la valeur zéro et deux 
la valeur absolue a; le Tableau peut donc être condensé sous 
cette forme : 

o, ib a, ±: a, o ; ih a, o, ±: a, o : ±: a, i± a, o, o ; 
ih a, o, o, ilzjf; o, iha,o, ™a; o, o, it a, ±: a. 

On voit ainsi (pie les points ne se trouvent que sur les six plans 
du système de coordonnées ; il y en a quatre dans chacun d'eux et 
ils sont sur les bissectrices des quatre angles droits en lesquels 
le partagent les deux axes qui le déterminent. C'est ce que nous 
appellerons la division hexaédrale de Ticosatétraédroïde. La 
répartition entre les six plans a lieu comme ceci : 

3, 7, 20, 24 sont dans le plan des œ^ x^ 
1,5, 1 8, 22 Xi Xy 

9, 10, i3, i4 Xi Xi 

II, 12, i5, 16 x^ x^ 

2, 4» 6j 8 x^ Xi 

17, 19, 21, 23 X,, x^ 

et il se forme de cette manière trois groupes naturels que nous 
retrouverons plus loin. 

IL Construisons quelques projections du C**. 
I" D'après le Tableau I, les espaces 

contiennent les octaèdres 

IIP et IIP, PetP, PetP, IIP et IIP. 

Il s'ensuit que les axes auxquels sont rapportées les coordonnées 
de ce Tableau sont les axes mêmes deThypercorps : des quatrièmes 
diagonales. Le Tableau fournit directement les projections sur les 
plains x^ x^ et x^ x.^'. ce sont (fig, 36) deux figures composées 



144 CHAPITRE YIII. 

chacune de douze lignes et de neuf points, formant le centre, les 
sommets, les milieux des côtés, les côtés et les médianes d'un 
carré parallèle aux axes ; nous désignerons ces figures par leurs 
sommets, qui sont 24, 7f 20, 3 dans ^1 a?, ou A et i, 22, 5, 18 dans 
.r, x^ ou C. En déduisant les projections B, D comme nous l'avons 
déjà fait plus d'une fois, on aurait, par la réunion de AB, ou BC, 
ou CD, ou DA, les projections de l'hypercorps sur un espace per- 
pendiculaire à une quatrième diagonale. 

2*» Faisons tourner les deux figures de 45**: dans cette deuxième 
position, les numéros des sommets sont affectés d'un accent, 
mais ceux des points intermédiaires n'ont pas été répétés. En reve- 
nant à l'hypercorps, celui-ci a maintenant ses quatre premières 
diagonales parallèles aux axes coordonnés. La figure représente 
donc les projections sur des plans parallèles à deux de ces lignes, 
et l'on en déduirait, comme dans i®, celle sur un espace perpendi- 
culaire à une d'elles. 

En reportant les quatre projections sur un autre dessin {/Ig. 87 ), 



^^» 

k 



7 

20.7 



V%-P 



/J*^ 



1S2f 
1Z23 



78 




•^*- 



D 



A • . ' 

2tf. 
8.76 *^ J0 79 

SfS^ • 13.2! 



•7 



7 78 
m 
S. 22 



*J 



977 

y<f.23 



•277 
i,.72 



^, 



20 



Fig. 37. 



on voit plus commodément les trois groupes déjà signalés, savoir : 

(a) I, 3, 5, 7, 18, 20, 22, 24; 

{h) 9, 10, II, 12, i3, i4, i5, 16: 

(c) 2, 4, 6, 8, 17, 19, 21, 28; 

le premier de ces groupes forme une figure identique aux 



LES POLTÉDKOÏDBS. l45 

projections dessinées en traits interrompus dans Tangle A et en 
traits pleins dans l'angle C de la âgure 29, page i3i ; l'ensemble 
des deux autres forme une figure identique aux deux projections 
dessinées en traits pleins dans les angles A et C de la figure 23 , 
page 1 19. On a, d'autre part {fig, 87), 



d'où 



ON = OM = OP V MP = 2 aS 



ON = a v^2 = - as/i.sji = a. 



Les figures se correspondent donc pour la grandeur comme pour 




Pig. 38. — Les trois groupes de sommets. 

la forme, et il en résulte ce remarquable théorème : Sur les 24 
sommets de V icosatétraédroïde d'arête a, seize sont les sommets 
d^un octaédroïde d'arête a et les huit autres ceux d^un hexa~ 
décaédroïde d'arête a \J 2. La décomposition peut se faire de trois 
manières, car il est facile de voir que chacun des trois groupes 
forme un C" ; la figure 38, qui résulte de la projection B' {fig. 36), 
montre la parfaite symétrie des trois groupes entre eux. 

3« Associant le carré 24.7.20.3 de A avec i'.22'.5'.i8' de B, 
puis 24'. 7'. 20'. 3' de A avec 1.22. 5. 18 de B, nous avons dansC 
et D deuxfigiu:es que nous désignerons par leurs sommets oppo- 
J. 10 



l46 CHAPITRE ¥111. 

ses 7.3 et 24.20, lesquelles compreanent chacune onze points et 
22 lignes, avec pourtour hexagonal pseudo -régulier. Si Ton note 
sur ces projections les points 

T, 18, 5, 22, 24, 20, 3, 7, 

on voit qu'ils forment des losanges identiques à ceux dessinés, 
l'un avec le grand axe vertical, l'autre avec le grand axe horizon- 
tal, dans les compartiments B, D de la figure 29; chacune de nos 
deux projections est donc faite çur un plan parallèle à deux 
deuxièmes diagonales d'un des trois C" circonscrits. 

4" Faisons tourner les carrés primitifs, non plus d'un demi- 
quadrant, mais seulement d'un quart de quadrant, ce qui leur 
donne les positions 24"^ 7" 20* y et i" 22^^ 5" iS". Nous en dédui- 
sons dans B et D deux figures dont l'une a été reportée dans le 
haut de la feuille en B', tandis que l'autre, de même forme, mais 
avec des numéros placés différemment, est supprimée. Dans ces 
figures, les projections des sommets sont placées par huit sur 
trois cercles concentriques. 

5? Faisons tourner la figure hexagonale 73 de B de manière que 
ses côtés 7.6.14 et 3. 10. 12 deviennent parallèles à a?t a:,, puis 
combinons-la avec D. Nous aurons : dans C une. figure de douze 
lignes et sept points formant un hexagone parfaitement régulier, 
qui a été portée parallèlement à elle-même en G' au haut de la 
feuille ; dans A, une autre figure à pourtour hexagonal pseudo- 
régulier, qui est dessinée dans Tangle A* au bas de la feuille. 
Celle-ci est la projection du C** sur le plan d'une face, celle-là 
sur un plan absolument perpendiculaire à une face. 

•6« Enfin, amenons les figures hexagonales 3.7 et 20.24 deB 
et D dans les positions 3' 7' et 20' 24''; en les combinant ensuite, 
nous aurons deux figures où les projections des 24 sommets sont 
disposées par douze sur deux cercles concentriques ; une de ces 
figures est en B''. Cette curieuse forme, comme la plupart des pré- 
cédentes, a été mise au jour par M. Van Oss. 

7® Les projections du C** sur un espace perpendiculaire à une 
première, deuxième, troisième, quatrième diagonale sont des 



LES P0LT£DR0ÏD£S. i47 

polyèdres ayant respectivement 

i4, i4f i^t 13 sommets, 
a4» 3o, 4^} 34 arêtes, 
12, 18, 26, i4 faces; 

et ses sections par un espace pareillement placé passant par le 
centre sont des polyèdres ayant 

i4, 26, 18, 12 sommets, 

24, 4^1 ^o, 24 arêtes, 

12, 18, 14, i4 faces. (Schoute.) 

L'icosatétraédroïde présente cette particularité intéressante 
qu'on peut le juxtaposer indéfiniment à lui-même et remplir à 
saturation l'étendue à quatre dimensions. Les centres de ces 
icosatétraédroïdes sont les sommets d'une suite infinie d'heza- 
décaédroïdes, qui remplissent aussi retendue sans vides. 

Les milieux des 24 arêtes d'un C'*, comme les centres des 
24 faces d'un C', sont les sommets d'un C*. 

§ 45. — Gonstmction de ricosatétraédroide. 

Nous voudrions maintenant, ainsi que nous l'avons fait dans les 
trois cas précédents, construire Ticosatétraédroïde, c'est-à-dire 
donnerun corps géométrique à cet ensemble de points et d'octaèdres 
que définissent les Tableaux l et II du dernier paragraphe. C'est 
un nouvel efibrt qu'avec le lecteur nous tentons pour saisir l'hy- 
percorps, et apprécier la distance qu'il y a de lui au polyèdre, 
encore plus grande que de celui-ci au polygone. Ce sera, en outre, 
un exercice de Géométrie descriptive à quatre dimensions, en 
vue duquel il nous faut rappeler les points suivants (*). 

On a vu, dans le § 24, que les quatre espaces coordonnés 
partagent Tétendue en seize quadrièdres droits. Chacun de 
ceux-ci a quatre arêtes, qui sont une des seize associations 
quatre à quatre qu'on peut faire avec les six demi-axes; il a six 
faces planes, qui joignent les arêtes deux à deux. C'est ce point 



(') Le lecteur pourrait aussi, pour suivre plus commodément nos explications, 
se fabriquer quelques octaèdres en papier fort (de la carte à deux ou trois 



l48 CHÀPITRB YIII. 

de la constitution du quadrièdre droit qui amène dans la Géo- 
métrie à quatre dimensions un corps régulier n'ayant pas d'ana- 
logie dans celle à trois. 
Dans le § 42 nous avons placé, sur chacun des huit demi- 

axes 

^1, ±^j, ^^i^ ±^*, 



et à la distance a de l'origine, un point. Ces huit points ont pu 
être réunis quatre à quatre par seize tétraèdres réguliers, dont 
chacun ferme, comme un couvercle, un des seize quadrièdres 
droits, et dont l'ensemble ferme complètement l'étendue autour 
de l'origine. C'est l'hexadécaédroïde. 

Enfin, dans le § M, nous avons placé, à la distance a de l'ori- 
gine et perpendiculairement à chacun des huit demi-axes, 



feuilles). Nous donnons {fig, Sg) le développement qui sert à faire cette cons- 
truction; a, 6, c, d, e sont des languettes qui doivent être fixées à la colle 




(à) 
Fig. Sg. — Déyeloppement d*un octaèdre régulier. 



V._— g. 



sous les endroits marqués par les mêmes lettres. Pour Texécution : découper le 
pourtour, creuser les plis avec une pointe mousse, les briser; faire une pyra- 
mide avec les faces a, 3, 4, 5 en laissant en Tair la face i et collant la languette a 
sous 4» coller b sous 5, venir à la face i et coller c sous 6; engager les deux 
languettes é^, e de 8 sous i et 3 ; enfin numéroter les sommets. On maintient 
les languettes a, b, c en piquant chaque fois l'assemblage sur une planchette 
de bois tendre avec deux aiguilles emmanchées, et Ton ne passe à Tassemblagc 
suivant que lorsque la colle a fait prise. La meilleure colle pour ce travail est 
celle de pâte de seigle et de gélatine blanche, très cuite et un peu épaisse. 



LIS POLTfiDROÏOBS. 1^9 

un hexaèdre régulier. Ces huit hexaèdres, dont chacun a 
une face commune avec trois des autres, forment aussi un corps 
régulier fermé, qui a seize sommets, un dans chacun des seize 
quadrièdres droits ; de chacun de ces sommets part une calotte 
de quatre arêtes et six faces, qui est aussi un quadrièdre droit, et 
qui s'appuie ( § 39) sur un des seize tétraèdres du corps précédent. 
C'est Toctaédroïde. 

Le nombre seize va conserver le rôle important qu'il remplit 
dans ces premières constructions. 

I. Considérons un des seize quadrièdres droits, par exemple 
celui qui, placé le dernier, est désigné par 4iSS dans le Tableau 
de la page 66. Ses arêtes sont 

X\^ J?j, J7j, .a?4, 

et ses faces 

toutes les lettres étant affectées du signe + sous^entendu. Or on 
voit : i^ par le Tableau I, que les sommets qu'elles contiennent 
sont respectivement 

20, 17, I, 2, 11,9; 

2® par le Tableau U, que ces sommets sont ceux de l'oc- 
taèdre IP. On peut ainsi dresser le Tableau III, page iSo, qui 
donne Toctaëdre inscrit dans chacun des seize quatrièdres droits, 
mais ne le remplissant pas. 

Le Tableau est divisé en quatre parties. La première (nous 
appelons ainsi celle de Tangle supérieur droit) comprend quatre 

octaèdres, 

l\ IP, . IIP, IP, 

formant ensemble un hypercorps que nous appellerons h^ parce 
que le sommet 2 leur est commun ; nous appellerons de même 
les trois autres A4, A,, A,. Ils forment à eux quatre Thypercorps H, 
de seize octaèdres. L'on remarque que, tandis que chacun des 
nombres 2, 4» 6, 8 se trouve quatre fois dans un même quartier 
du Tableau et ne se trouve que dans celui-là, les nombres 17, 19, 
21, 23 se trouvent tous les quatre dans chaque quartier et n'y 
sont chacun qu'une fois. Il y a symétrie entre les deux groupes, 
et l'on pourrait remplacer le premier par le second en ordonnant 



i5o 



CHAPITRE YIII. 



le Tableau par rapport à celui-ci. La symétrie apparaîtra non 
moins clairement dans les figures, où la place importante que 



ce 

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H 


11 

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«■ 

H 


II 






I 






1 


«0 



prennent les quatre derniers nombres se trouve ainsi expliquée. 

On remarque aussi que chaque octaèdre a une face commune 

avec quatre des autres : ce sont ceux occupant les quatre cases 

qui touchent la sienne par un côté, les colonnes de droite et de 



LBS POLTÉDROÏDBS. l5l 

gauche étant considérées comme se touchant par leur bord exté- 
rieur, et de même les rangées supérieure et inférieure; par 
exemple, pour Toctaédre P situé dans la première case, ce sont 
IP et IV situés dans les deuxième et quatrième cases de la pre- 
mière ligne, puis II* et IP situés dans les deuxième et quatrième 
cases de la première colonne. Il suit de là que, si l'on prend un 
quartier quelconque de quatre cases, chacun de ces quatres octa- 
èdres tient au suivant, et le dernier au premier, par une face. 
Ce théorème touche au point fondamental de la constitution 
des polyédroïdes; nous allons essayer de Tillustrer par des 
figures et, afin de donner à celles-ci un peu d'expression, nous 
appliquerons à quelques-unes la distinction, chère au dessina- 
teur, en parties vues Biparties cachées. Nous considérons comme 
vues, et nous dessinons en traits pleins, les lignes de la projec- 
tion B qui, le corps étant dans la position qui donne cette projec- 
tion, sont au-dessus de l'espace des quatre points i, i8, aa, 5; 
nous considérons comme cachées, et nous dessinons en traits 
pointillés, celles qui sont au-dessous de cet espace. Les sommets 

3, 6, 8, 10, i3, j5, i6, 19, 21, 34 
sont dans le premier cas, et les sommets 

^^ 4, 7» 9> ï'> ï2, i4, 17, ao, 23 

sont dans le second. 

Quant aux hachures qui couvrent certaines parties de nos figu- 
res, elles n'ont qu'une seule des diverses significations admises 
dans Part du dessin : celle d'appeler l'attention sur ces parties ou 
de les distinguer des autres à un titre quelconque, généralement 
indiqué dans le texte. Elles ne sont pas autre chose que le trait 
par lequel, dans l'écriture, on souligne un ou plusieurs mots. 

Nous mettrons, auprès de quelques figures, une rose de direc- 
tions pour indiquer les positions qu'y prennent les quatrièmes 
diagonales formant le système d'axes auquel sont rapportées les 
coordonnées du Tableau I. 

Ces conventions faites, voici Pexplication des figures 39 à 44» 
qui sont Pexpression graphique des Tableaux I, II, III, ou, si Ton 
aime mieux, dont ces Tableaux sont la formule numérique. 

La figure 4o donne les projections A et G, B et D de l'hyper- 



■ Sa CHAPITRE TIII. 

corps H; les deux premières, dont chacune a SOD plaa perpeadi- 
culaire aux équateurs de huit octaèdres, se déduisent du Tableau I 
et fouruiâsent les deux autres comme il est dit daus le Para- 




JJÏlU 




Fig. 4°- — ProlectioDi pUnes des seiie octaèdrei fonda meoUiix. 

graphe précédent. On voit, dans A et C, quatre carrés que sous 
avons un peu écartés les uns des autres une fois la construction 
faite; dans l'épure régulière, ils devraient se toucher, leurs 
quatre angles intérieurs coïncidant avec le point central de la 
figure. Les groupes de ohiQ^es, qui sont, comme toujours, les 



LRS POLVeDKOÎDBS. |53 

numéros des sommets correspondants de l'hypercorps, se rap- 
portent également aux deux ou aux quatre points dont ils sont 



Fig. 4<' — PenpectiTC ciTali^ des seize oeUédrei fondamcutans. 

voisina; nous ne les avons écrits qu'une fois, et il appartient au 
lecteur de faire, le cas échéant, le triage des numéros se rappor- 
tant à l'un ou à l'autre de ces points. Chaque carré de A ou C, 



l54 CHAPITRE VIII. 

avec son unique diagonale ne passant jamais par le centre, est la 
projection de quatre octaèdres, lesquels se projettent, dans la 
figure conjuguée G ou A, suivant quatre carrés différents : cela 
fait seize combinaisons qui âont les seize octaèdres de H. Associés 
par deux comme le montre la figure, les carrés donnent les 
quatre hypercorps partiels Ai, h^, A«, A,. 

Dans la projection B nous avons de même écarté ces quatre 
hypercorps les uns des autres. En opérant ces déformations, nous 
pensons obvier à la confusion que présente ce genre de figures, 
et qui résulte de la multiplicité des points et des lignes projetés 
les uns sur les autres, multiplicité venant elle-même de la dis- 
tance de deux champs qu'il y a de Tobjet au plan de projection, 
comme si Ton projetait un polyèdre sur une droite. Mais la cor- 
respondance graphique des points homologues se trouve ainsi 
détruite; si lé lecteur voulait faire quelque construction géomé- 
trique, il devrait rétablir les figures partielles dans leur position 
en faisant : dans A et G, glisser les quatre carrés comme nous 
Tavons déjà dit; dans B, glisser les quartiers h de manière que 
les centres des quatre carrés ai, 19, 17, 28 coïncident ensemble. 

Enfin, dans la projection D, on a mis Thypercorps A, tout seul; 
on y a néanmoins marqué les autres sommets de H, au nombre 
de onze, en les entourant de parenthèses. 

Dans B et D les parties ombrées sont deux faces du cube sur 
lequel (§ 39) porte la calotte du sommet 2, 4, 6 ou 8. 

La figure 4i correspond en tous points à la projection B de la 
précédente ; c'est une perspective cavalière, mode de représen- 
tation qui a été appliqué systématiquement aux corps deThyper- 
espace, pour la première fois, par M. Schoute, tandis que celui 
des projections planes Ta été par M. Van Oss. On voit ici nettement 
deux propriétés importantes des quartiers A : i* Toutes leurs faces 
ont un sommet en un des points 

2, 4, 6, 8; 17, 19, 21, 23, 

et le côté opposé à ce sommet est une des arêtes du cube 

I 10 18 9. II 3 12 20 pour As I 

Il 3 12 20. 22 i3 5 i4 » A4, 

22 i3 5 14. 16 24 i5 7 » Af, 

16 24 i5 7. I 10 18 9 » A9. 




Fig. 4>- — Les ocUJdres I' - I 3 II .3 loig et II i i ii S'i^i 



Fig. 43- — Lei octaèdres II< = i g sa - 17 t 11 et II' = 1 g lo . a3 13 



Fig. J4. — Lei ocUèdres IP = :> 13 iS.iSgso et lit- = 3 11 18. ai 10 3. 



Fig. 45. — Le* ocuUres ni' = 1 3 10 , 4 11 18 et I- =^ 1 3 10 . ig 1 



l56 GHAPITRB YIII. 

2^ Les faces qui émanent des points 17, 19, 21, 28 sont com- 
munes à deux quartiers : hi et A4, h^ et k^^ A« et A^, Ag et A,. 

Si l'on prend à part le quartier A„ on voit qu'il est formé par 
les quatres octaèdres 

P = 2 3 II. 19 I 10, n*= 2 I II. 17 9 20, 
IIP= 2 12 20. 23 9 18, IP = 2 3 12. 21 18 10, 

lesquels sont accolés ensemble 

le premier et le second par la face commune 2 i 1 1 , 

le second et le troisième » 2 9 20, 

le troisième et le quatrième •> 2 12 18, 

le quatrième et le premier » 2 3 10 : 

c'est la décomposition de H en quatre quartiers A qui se continue 
suivant les mômes principes par celle de chacun de ces quartiers 
en quatre octaèdres. Et c'est ce qu'on a cherché à faire ressortir 
en représentant séparément {^g. ^2 h i^) chacun des quatre 
couples d'octaèdres de A, au moyen de deux figures, dont l'une 
est une projection plane correspondant à la figure 39 B et dont 
l'autre est une perspective correspondant à la figure 4o ; chacune 
pouvant être considérée, suivant le point de vue auquel on vou- 
dra se placer, comme la traduction et l'explication de l'autre. 

II. Accolez ensemble les quatre octaèdres 

P, IP, m», n* 

comme l'indiquent les figures 4a à 45, vous aurez A,; composez 
de même A4, A, et As; puis accolez ensemble ces quatre A comme 
l'indique la Jig. 4o, vous aurez sous les yeux ïhypercorps H. 
Vous lui veiTez 32 faces doublées par des juxtapositions et 
64 faces simples; les premières sont dans la condition normale 
du polyédroïde; les secondes forment (§36) les parois d'évi- 
dements polyédriques, sur lesquels notre attention doit mainte- 
nant se porter. 

Il n'a été question jusqu'ici que de seize octaèdres sur les vingt- 
quatre du Tableau II. Les huit restants sont 

im, P, P, in», HP, P, P, IIP, 



LIS POLTÊDROÏDBS. 

et ils se trouvent respectivement dans les espaces 



15; 



J?! =■- -h a, 
ar, = — a, 



a?2 = -f- a, 
a;, = — a, 



a?, = -f- a, 
a:, = — a, 






a. 



Us forment un deuxième hypercorps, qui n*a que des faces 

Tablbau IV. >- Lbs trois hyperpolyèdreb (A), (B), (C). 
(A) (B) 





m 

» 

31 
10 

i8 


•• 
31 

3 

13 

4 

» 

5 
i3 


10 

T 
» 

2 
10 

I 
» 

19 


M 
18 

13 

3 

» 

30 

9 
33 


» 

II 

30 

» 

14 


8 

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I 

9 

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7 
16 


5 

» 

33 

i4 

7 
» 

6 


34 
i3 

»9 

» 

33 
16 
6 
» 






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u 

3 
II 
30 

» 

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9 

I 


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2 

T 

13 

31 

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10 


1 

11 
3 
» 

T 

i3 
33 
» 

»9 


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30 
13 

5 
il 

33 


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• 

31 

i3 

5 

» 

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i5 


33 

14 
6 

B 

2, 
16 


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HH 

9 
18 

B 
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7 

B 

8 


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1 
10 

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» 

24 
16 

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1» 




1* 




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» 
8 
i5 

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j^ 




1» 




IIP 


» 


33 





(G) 





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30 

9 

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B 

7 

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33 


30 

B 

3 
II 

3 

B 

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13 


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3 

B 

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10 

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18 


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16 

33 
» 


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B 

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31 


7 
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34 

» 

6 

Ts 


i4 
4 

B 
33 

T 
B 

5 


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33 
13 
18 
B 
31 

Ts 
T 

» 


iir 


p 


p 


iii' 


IIP 
p 


p 


IIP 



simples, au nombre de 8 x 8 = 64, et que nous appellerons (G). 
On peut aisément se représenter chacun d'eux dans son espace, 
par exemple III' dansa?^ = 4- a, en observant que ses six sommets 
sont sur les bissectrices des six angles droits que les six demi- 
axes ~ 0?!, — J7„ ± J7, font entre eux. On peut les écrire comme 



i58 chàpiteb VIII. 

le montre le Tableau IV (G), disposé à double entrée (*). Chaque 
ligne ou colonne contient les six sommets de Toctaèdre inscrit 
dans sa première case^ et Tintersection d'une ligne avec une 
colonne est un sommet commun à ces deux octaèdres. Pour les 
cases marquées d'un astérisque, les deux en-tâtes portent, ou le 
môme octaèdre, ce qui est le cas pour celles de la diagonale 
descendant de gauche à droite, ou deux octaèdres diamétrale^ 
ment opposés. 

Chaque octaèdre a donc un sommet commun avec chacun 
des six autres, son opposé ayant été mis de côté. Les points 
d'attache successifs, en prenant les octaèdres dans Tordre du 
Tableau, sont 

ao, a, I, 19, a4, 6, 5, a3j ao; 

ils sont entourés d*un rond dans quelques-unes des figures 
ci-après. 

Le Tableau contient les vingt-quatre numéros de i à a4, ce qui 
veut dire que le groupe des a4 sommets du C* est déjà constitué 
par les huit octaèdres. C'est pour cela que les projections obtenues 
dans le présent paragraphe offrent la môme apparence que celles 
du paragraphe précédent auxquelles elles correspondent ; la diffé- 
rence entre les trois cas : C'*, H et (C), consiste simplement en ce 
que les points et les lignes de la projection, comparés à ceux de 
Thypercorps, n'ont pas la même multiplicité. 

Les projections des huit nouveaux octaèdres, représentées 
figure 4^, ont des formes tout autres que celles des premiers. 
En A et C, elles consistent soit en une ligne droite, soit en un 
carré avec ses quatre demi-diagonales; quatre présentent le pre- 
mier cas sur l'un des deux plans conjugués, et le second sur 
l'autre; sur chacun de ces plans, les quatre carrés n'en font qu'un, 
commun à quatre octaèdres. Pour plus de clarté, nous avons 
écarté un peu les lignes de leur position, marquée par quatre 
lignes pointillées formant un autre carré. En B et D, quatre 
octaèdres ont pour projection un losange dans lequel est inscrit 
un carré, par exemple i a 18 8 et i 10 18 9, et les quatre autres un 
carré dans lequel est inscrit un losange, par exemple i8i2 5 i5 



(') On verra bientôt la signification des parties (A) et (B) du Tableau. 



LES POLTfiDSOÏDBB. ibg 

et 1833 531. Les quatre figures de la première sorte forment, dans 
chaipie plan, le pourtour de la projection, tandis que les quatre 
autres couvrent ensemble le grand carré i 3 5 7 dans B, 18 ao 22 34 




Fig. 4fi- — Projectioi 



s des huit octaèdres complémeii 



dans D, se recouvrant elles-mêmes par leurs coins sur le petit 
carré 18303334 dans B, i35 7 dans D. Nous n'avons détaillé le 
dessin que pour une figure de chaque sorte, laquelle est couverte 



l6o CHAPITRE YIII. 

de hachures. Mais, pour la projection B, nous en avons transporté 
au bas de la page, à gauche le couple d'octaèdres IIP et III\ à 
droite le couple IIP et III''; le premier se trouve dessous et le 
second dessus. 

Plus encore que dans le cas de H, la projection plane gagne à 
être traduite en perspective cavalière; c'est ce que nous avons 
fait figure 47, toujours'pour B. Ici Ton voit bien les quatre octaèdres 
du pourtour P, P, P, P ; un seul des quatre autres, III*, a été figuré 
en place et les deux mêmes couples que ci-dessus, IIP et IIP, III* 
et ni^ ont été dessinés séparément. 

En regardant ces figures, la personne qui n'aurait pas suivi 
régulièrement notre exposition se demanderait sans doute com- 
ment un demi-axe, par exemple a?,, traverse l'octaèdre correspon- 
dant P, c'est-à-dire par quel point il y entre et par quel point il en 
sort : nous savons (§36) que ces deux points coïncident. La même 
personne pourrait aussi trouver insolites certaines formes de pro- 
jections, et n'y reconnaîtrait pas un octaèdre régulier ou un cube. 
Ces formes sont néanmoins correctes, et il ne faut pas s'étonner que 
les résultats soient différents quand on projette les points d^me 
figure en opérant dans l'étendue au moyen de plans projetants 
ou dans un espace au moyen de droites projetantes, 

m. Les huit octaèdres que nous venons de considérer en der- 
nier lieu sont placés aux extrémités de huit demi-axes de lon- 
gueur OL comme le sont les huit hexaèdres de Toctaédroïde (§ <^1) 
aux extrémités de huit demi-axes de longueur a. Mais, tandis que 
ceux-ci se soudent deux à deux par une face, ce qui leur permet 
d'enclore une portion de l'étendue, nous avons vu que chacun 
des huit octaèdres d'à présent ne tient à un autre que par un 
point; il s'ensuit qu'ils laissent entre eux des évidements. Ces 
évidements sont au nombre de quatre, savoir, en les désignant 
par deux sommets opposés : 

2.23, 4i7i 6.19, 8.21. 

Ils sont tous faits comme le premier. Celui-ci a seize faces qui 
aboutissent à des arêtes du cube 

I 10 18 9. j I 3 i3 20 
et sont : 



LES POLTtDKOÎDBg. . l6l 

1° Qualre faces, a ii 3, 33 la, a laao, aao ii, de l'octaèdre P 
■n' Quatre ■ a i lo, a lo i8, a 189, açii, de l'octaèdre I' 

3° Deux » 1 1 1 17 et I 1 1 19, de » IIP 

4° Deux » 3(oi9 etSioai.de » IIP 

S' Deux n 13 18 ai et la i8a3de » IIP 

6" Deux » 9 30 a3 et 9 ao 2-j, de ■ IIP. 




Fig. 47' — Perspective cavalière des huit octaèdrea complémeoiaires. 

Si l'on dresse aiosi la liste des 64 faces de (C), si l'on dresse 
d'autre part celle des 64 faces libres de H, on trouve que ces deux 
listes sont identiques ; ou reconnaît en outre que les faces qui 
dessinent un creux sur celui-ci dessinent un relief sur celui-là, 
et réciproquement ; en un mot, les deux corps s'embotient exacte- 
i. 11 



l6a CHAPITRE TIII. 

ment Tun sur Tautre, et les évidements que nous venons de recon- 
naître sur (C) sont remplis: 

2.a3 par As, 
4.17 par A^, 
6.19 par A,, 
8.21 par A,. 

Ce sont les octaèdres occupant les deux colonnes extrêmes du 
Tableau III, savoir : 

IMP, P, U», IIP, II», IIP, IP, 

qui forment les couvercles supérieurs, et ceux occupant les deux 
colonnes du milieu, savoir : 

IP,m», IP,I1P,IP, P, IP, P 

qui forment les couvercles inférieurs. 

Par cet emboîtage, les 64 faces de H qui étaient simples 
deviennent doubles, comme le sont déjà les Sa qui sont ombrées 
dans les figures 4o à 44> ^^ l^ C*^ est constitué, avec ses 2[\ sommets 
et autant d'octaèdres, ses 96 faces doubles et nombre égal 
d arêtes triples, "^ 

Nous avons vu que si, dans le Tableau III, on passe d'une case 
à sa voisine par leur côté commun, leurs deux octaèdres tiennent 
ensemble /?ar une face. Si Ton prend deux cases ne se touchant 
que /?ar un point, alors leurs deux octaèdres ne se tiennent aussi 
que par un sommet. Par cette seconde manière, le Tableau III est 
divisé en deux groupes diagonaux, qui y sont distingués par une 
impression différente; le premier comprend les octaèdres 

(A) P, P, P, P, IIP, IIP, IIP, IIP, 

et le second les octaèdres 

(B) n«, n«, ip, m, n», n% ip, ip. 

Ces deux groupes sont tels qu'un quelconque des seize octaèdres 
a un sommet commun avec chacun de ceux faisant partie du 
même groupe, tandis qu'il y en a quatre dans l'autre groupe avec 
lesquels il a une face commune et quatre avec lesquels il n^a rien 
de commun. 



LES POLYÉDROÏDBS. l63 

Si Ton rapproche de ces deux groupes celui des huit octaèdres 
appelés plus haut les complémentaires : 

(C) P, P, !•, P, IIP, IIP, HP, IIP, 

il est avec chacun d'eux dans les mêmes conditions, c'est-à-dire 
qu'on peut former avec (C) et (A), ou avec (C) et (B), un Tableau 
pareil au Tableau III. Voici ces trois Tableaux, qui satisfont à 
une même condition assez complexe, et dont la confection n*esl 
pas des plus aisées : 

Tableau V. — Aoencement des vingt-quatre octaèdres du G^*. 





(AB) 








(BC) 








(CA) 




Il» 


r 


II» 


r 




ir 


p 


IP 


p 




IIP 


P 


V 


p 


m* 


ir 


IIP 


ip 




IH^ 


\v 


IIP 


IP 




lU» 


IIP 


UP 


p 


ij» 


1» 


u* 


p 




ip 
iu> 


p 


IP 


1* 
IP 




p 
IIP 


P 


IIP 


p 


m* 


ii« 


m* 


ip 


IP 


IIP 


r 


HP 


UP 



Rappelons la condition dont il s'agit. Deux des seize octaèdres 
de chaque Tableau ont une face commune si leurs numéros sont 
inscrits dans deux cases contiguës par un côté, et un sommet 
commun s'ils le sont dans deux cases contiguës par un point, les 
rangées et les colonnes extrêmes étant censées contigués par leur 
bord extérieur comme si le Tableau était, sans solution de conti- 
nuité, imprimé sur un cylindre horizontal en ce qui concerne les 
rangées, vertical en ce qui concerne les colonnes. Les octaèdres 
se trouvent ainsi disposés dans les Tableaux comme ils le sont 
en réalité sur le C* lui-même : à eux trois, ces Tableaux à 
double entrée (à deux dimensions) remplacent le Tableau à qua* 
druple entrée (à quatre dimensions) qui réaliserait la condition 
à lui seul. 

On a donc trois groupes 

(A), (B), (C), 

dont deux, à volonté, peuvent fournir les octaèdres fondamentaux, 
tandis que le troisième fournit les huit octaèdres complémen* 
taires. Dans chaque groupe séparé, les 64 faces d'octaèdres sont 
simples; par Temboltage de deux d'entre eux, Sa faces de chacun 



l64 CHAPITRE TUI. 

se doublent avec 32 faces de l'autre; par Temboîtage avec le troi- 
sième, les 32 4- 32 faces simples restantes se doublent avec les 
64 de celui-ci. On retrouve ainsi le nombre des faces du C" égal 
à 32 X 3 = 96, comme il est donné, par une autre considération, 
égal à 24 X 8 x-} = 96. 

Le groupe B, intermédiaire entre les deux autres, se présente 
dans les projections avec une symétrie remarquable. Nous le 
donnons dans la figure 48 qui, débarrassée des constructions dont 
les précédentes étaient encombrées, semble pouyoir être offerte 
comme un bon spécimen ù!épure de Géométrie descriptive à 
quatre dimensions, — Dans les angles A et C, les octaèdres ont 
pour projections des carrés superposés par deux; chaque côté 
d'un de ces carrés est la projection de deux ou dé quatre arêtes, 
et nous avons tracé, suivant le cas, deux ou quatre lignes voi- 
sines, qu'il faut considérer comme n'en faisant qu'une. — Dans 
les angles B et D, nous avons dessiné seulement le pourtour de 
chaque projection d'octaèdre, formé toujours par la même figure: 
un hexagone à côtés opposés parallèles, dont deux plus longs; 
ce pourtour est tracé en pointillé pour les octaèdres à indice 
pair : II*, II*, II*, IP. Dans les deux figures, chacun des numéros i 
à 24 devrait être écrit deux fois, parce que chaque sommet appar- 
tient à deux octaèdres. Nous avons couvert de hachures les deux 
octaèdres II* et IP,*qui s'attachent par le sommet le plus élevé 24. 

La figure 49 est unejperspective interprétant la projection B. 
Cette fois, toutes les arêtes de chaque octaèdre sont dessinées, 
celles d'un pourtour en traits plus forts. Nous aurions voulu 
faire ressortir par un modelé que les deux octaèdres 

IP et IP, qui s'attachent par le sommet 24, 
IP et IP, » » 19, 

IPetlP, » » i3, 

IP et IP, » » 21, 

y ont le vide au-dessous d'eux et y forment une espèce de pont. 

Projetés sur nn plan quelconque, par exemple sur le plan B de 
la figure 48, où ils forment autour du centre une si régulière cou- 
ronne d'hexagones, les huit octaèdres II y ont des parties com-^ 
munes : des recouvrements. Projetés sur un espace quelconque, 
ils y ont aussi, au moins quelques-uns, des parties communes : 



LES POLYÉDROÏVBg. 



r-'- 



Figures 48 et jç. — E>ro]eetioiis et peHpecti*e de l'hjperpoljidre (B). 



i66 



CHAPITRE YIII. 



àQ^ pénétrations. Prenons, par exemple, l'espace des deux plans 
B et A de la même figure 48 ; les projections sur cet espace sont 
des octaèdres s* écartant plus ou moins de la forme strictement 
régulière représentée figure 28, page 129 et figure Sg, page 1 48 ; on 
peut les construire séparément comme il suit. 
Avec Taiguille emmanchée, piquez sur une autre feuille les 




Fi g. 5o. — Développement de 11*. 

points gui, dans chacun des angles A et B delà figure 47> portent 
les numéros 

5, 6, i5, 24i 2') i3; 

joignez tous ces points deux à deux par des droites, excepté 5 et a4, 
6 et 21, 1 5 et 23; vous aurez, en géométrie descriptive ordinaire, 
la représentation de Toctaèdre qui est la projection de II*, et que 
nous représenterons par 1 1*. 

Construisez chacune de ses faces en vraie grandeur : ce ne sera 
pas long, parce que plusieurs arêtes sont perpendiculaires ou pa- 
rallèles à Tun ou à Tautre des plans de projection. Accolez ces 
huit triangles de proche en proche par leurs côtés de mêmes nu- 
méros en les groupant par quatre autour des sommets 5 et 24; 
vous aurez la figure 5o. Faites-en deux pyramides quadrangu- 
laires, Tune avec le sommet 5 et les faces marquées i, 2, 3, 4, 



LES POLTÉDROTDBS. 167 

l'autre avec le sommet 24 et les faces marquées 5, 6, 7, 8; puis, 
appliquez-les Tune contre Tautre par leur base en les faisant 
tourner autour de la ligne commune 6-i5; vous aurez Toc- 
taèdre 1 1* lui-même, de forme très aplatie. 
Faites de même avec les points 

3, 4) ^^9 2^} 10, 11; 

vous aurez la figure 5i et Toctaèdre 1 1*. 
Continuant avec les six octaèdres 1 1 , vous en trouverez trois 

-.. 22' 






19 \ \ 




Fig. 5i. — Développement de n*. 

pareils (sauf bien entendu, le numérotage des sommets) à 17*, un 
pareil à 1 1*, deux symétriques de 11'. 

Cherchez maintenant à réunir ces huit octaèdres par leur 
sommet comme l'indique le Tableau V pour leurs homonymes de 
rétendue. Vous ne pourrez construire que deux moitiés séparées 



iiS 



II 



II 



II 



et 



1 1 



II 



II». 



i«(M; 



(') Voici la manière peut-être la plus simple de faire cette constructioo. 
Dessiner sur une planchette le carré ao 7 24 3 de l'angle A (fig, 4^)> planter 



l68 CHAPITRE VIII. 

pour les amener à la position voulue, il faut, en ne nous occu- 
pant que de la partie droite, enlever préalablement, dans un des 
octaèdres n* ou ii*, la partie qui leur est commune et qui est 
déterminée, dans le premier par le plan 3 13 ai, dans le second 
par le plan 3 11 19. Si c'est celui-ci qui est choisi pour l'opéra- 
tion, il devient un autre solide, dont le développement est donné 
par les traits pointillés de la figure 5i. 

En tenant compte de ces troncatures, construisez encore les 
seize autres octaèdres i et 1 11 ; puis accolez-les de proche en 
proche par leurs faces de mêmes numéros, comme l'indique le 
Tableau V. Vous aurez un polyèdre que vous pourrez appeler la 
projection de V icosatétraédroïde sur notre espace^ et qui, dans la 
mesure du possible, en reproduira la constitution octaédrale. 

Le C** a douze quatrièmes diagonales, avec lesquelles on peut 
faire trois systèmes de coordonnées rectangulaires : si, en effet. 
Ton en prend une quelconque, les trois qui forment avec 
elles un pareil système sont déterminées en lui menant par le 
centre un espace perpendiculaire. Les trois groupes A, B, G corres- 
pondent à ces trois systèmes. Nous laisserons au lecteur le soin de 
chercher quelle correspondance ils ont d'autre part avec les trois 
groupes de sommets qui ont été reconnus dans le paragraphe pré- 
cédent. Nous lui laissons aussi le soin de construire les sections 
du G*^ par des espaces perpendiculaires aux diagonales des divers 
systèmes; entre autres figures, il retrouvera le rhombododé- 
caèdre. 

Nota. — Le numérotage que nous avons adopté pour les 
sommets du G'* en commençant l'étude de cet hypercorps est 
celui qui se présente le plus naturellement quand on regarde la 



sur le milieu de chaque côté deux aiguilles se touchant, fines et longues ; y 
enfiler les octaèdres de manière que les arêtes 

2 II et 12 4} 3 12 et II 4 ^^ II' ot II*, II' et u', 

10 21 et 19 i3, 10 ig et 21 i3 de 11' et 11', 11* et 11^, 

8 16 et' i5 6, 8 i5 et 16 6 de ïT» et 7ï*, 17' et 7ï«. 

9 17 et 23 14, 9 23 et 17 i4 de 11' et n®, 11* et 11* 

soient respectivement le long des deux aiguilles plantées entre 20 et 3, 3 et 2{, 
24 et 7, 7 et 20. 



LES POLYÉDROÏDES. 96 1 

projection supérieure droite dans les épures qui le représentent. 
Mais il n'a qu'une régularité partielle. Au lecteur qui voudrait 
reprendre ou poursuivre notre étude, nous conseillons de rem- 
placer les numéros 

ao,i,34)^; 32)3, 18,7; i4,9)io,i3; 16,11,13, i5; 4)i7}S,2i; 6,19,2,23 

respectivement par 

1,2,3,4; 5)6,7,8', 9,10,11,12; i3, 14)15, 16; 17,18,19,20; 21,22,23,24. 

Cette deuxième notation est modelée sur la division hexaédrale 
du C", et nous parait la plus maniable et la plus suggestive de 
toutes ; elle donne les vingt-quatre octaèdres comme le montre 
le Tableau suivant, qui remplacerait le tableau H, de la page 142- 





A 


B 


C 


I 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 


X 9 17. 5 i4 18 

2 10 18. 8 i3 19 

3 II 19. 7 16 20 

4 12 20. 6 i5 17 

5 i3 31. 3 12 22 

6 i4 33. 2 II 23 

7 i5 23. I 10 24 

8 16 24. 4 9 21 


i 9 17. 4 '5 24 

2 10 18. I l4 23 

3 II 19. 2 )3 22 

4 12 30. 3 16 31 

5 i3 31. 8 9 18 

6 14 32. 5 12 17 

7 i5 23. 6 II 20 

8 16 24. 7 10 19 


I 9 18. 8 10 34 

3 10 19. 7 II 33 

3 II 20. 6 12 22 

4 12 17. 5 9 21 

5 x3 22. 2 i4 18 

6 i4 33. 1 i5 17 

7 i5 24. 4 *^ 30 

8 16 21. 3 i3 19 



§ 46. — L'hezacosiédroide, ou le C^oo, et rhécatonicosaédroîde, 

on le G»«o. 

Nous avons exposé (§ 42), les principes de l'établissement du 
cinquième polyédroïde régulier, nous ne les développerons pas 
et nous nous bornerons à donner de ce corps une idée sommaire. 

Nous serons encore plus bref pour le sixième, et nous renver- 
rons, pour ce qui les concerne l'un et l'autre, aux monographies, 
déjà citées, de M. Schoute, de M. Van Oss et de M"« Stott. 

I. Nous empruntons au second de ces auteurs la figure 62 qui 
représente les projections du C*®* sur les quatre plans d'un système 
de coordonnées rectangulaires qui sera défini plus bas. Les deux 



■ 70 CBAriTBB Tlll. 

projeclions supérieures, x,a;, et ir,Xi, font voir cinq systèmes de 



Fig. 53. — L'heiacosijdrolde. 

lignes parallèles qui les divisent chacune en six zones et sont les 




Fig, bZ et 54. — Ico»a<drei régulie: 



LES POLYÉDROÏDBS. I7I 

projections d'autant d'espaces perpendiculaires à la diagonale 
I — I, une des soixante premières diagonales de cet hypercorps. 
Les divisions se présentent comme il suit en descendant du som- 
met 1 jusqu'au milieu : il est inutile d'aller plus loin à raison de 
la symétrie. 

i'» Tout en haut est une calotte formée par douze arêtes partant 
du sommet i et aboutissant à douze autres sommets numérotés 
de 2 à i3. Nous savons déjà, par le § 39, que ces douze som- 
mets sont ceux d'un icosaèdre régulier. Ce solide a une droite 




7^74 




Fig. 55 et 56. — Dodécaèdres réguliers. 

pour projection sur 07,07, et sur x^x^ parce que son espace est 
perpendiculaire à ces plans. Si nous considérons spécialement 
le premier, nous voyons que deux sommets, 2 et i3, se projettent 
chacun isolément, tandis que les autres se projettent suivant deux 
groupes de cinq points : ce sont deux pentagones réguliers situés 
dans un plan absolument perpendiculaire au plan de projection. 
On voit ces pentagones en vraie grandeur sur le plan œ^x^ (com« 
partiment C), auquel ils sont parallèles; Ticosaèdre lui-même a 
pour projection sur ce plan une figure que nous avons reportée à 
part {/ig. 53), et dans laquelle on reconnaît aisément que la pro- 
jection du solide est faite sur un plan perpendiculaire à une pre- 
mière diagonale. Sur le plan x^x^ (compartiment A), notre ico- 
saèdre a pour projection une figure qui a été reportée à part 
ifig' S4i traits pointillés) et qui est la projection du solide sur 



IJI CHAPITRE TIII. 

un plan parallèle à deux arêtes. Enfin, on peut le voir encore, 
avec deux autres, afférents Tun au sommet — 36, l'autre au som- 
met — 53, sur la figure 67 où les points multiples de la projection 
ûCfX^ ont été dédoublés en faisant tourner Thypercorps comme 
nous l'avons fait tant de fois dans les paragraphes précédents. 

2* L'espace qui vient ensuite contient vingt sommets, numé- 
rotés de i4 à 33, formant ensemble un dodécaèdre : en projection 
sur le plan ^a^'*, ils forment la figure 54, où Ton reconnaît la 
projection de ce solide sur un plan perpendiculaire à une troi- 
sième diagonale (ou parallèle à une face); sur le plan ^i.r„ ils 
forment la figure 55, qui est la projection de ce solide sur un plan 
parallèle au plan diamétral mené par une seconde et une troi- 
sième diagonales perpendiculaires entre elles (*). 

3* L'espace qui vient ensuite contient vingt autres points 

34; 35, 36, 3;, 38, 39; 4o, 4i, 4-», 43, 44; 45 

formant un deuxième, ou grand icosaèdre; on le voit sur la 
figure 53, où sa projection, en traits pleins, ne diffère de celle du 
premier que par la grandeur. 

4** Enfin l'espace équatorial contient trente sommets numérotés 
de 46 à 60 et de — 60 à — 46, qui peuvent être considérés comme 
la combinaison d'un dodécaèdre et d'un icosaèdre. 

Tels sont les 

(l 4- 2 -H 10 -h 12) X 2 4-30== 120 

sommets. Ils forment six cents tétraèdres qu'on déduit des neuf 
figures précédentes (savoir : les points i et — i, les deux petits 
icosaèdres, les deux dodécaèdres, les deux grands icosaèdres et le 
polyèdre équatorial) en associant, suivant un détail dans lequel 
nous n'entrerons pas, soit quatre sommets d'une môme figure ou 
de deux figures voisines, soit un sommet avec une face, soit une 
arête avec une arête. On obtient ainsi les nombres de 720 arêtes 
et 1200 faces inscrits au Tableau delà page io4. 

Ensemble, les deux figures supérieures, a:,a?3 et x^x^, repré- 



(') Il est généralement peu aisé de comprendre les projections où abondent 
les points multiples; le lecteur pourra se rendre compte des figures 53 et 55, 
en les comparant aux figures 18 où les numéros sont les mêmes. 



LES POLTCDROÏDUS. lyS 

sentent la projection de l' hypercorps sur an espace j!,3;,ari 
perpendiculaire à une deuxième diagonale : celle qui joint le 
milieu de l'arête 58 Sg au milieu de son opposé — 58 — 59. Cette 
projection est un polyèdre à 5a sommets, i3o arêtes et 80 faces, 
formé de deux calottes polaires comprenant entre elles quatre 
pyramides régniières tronquées. L'ase 1 — i est, pour employer 
le langage de la Cristallographie, à période 10, c'est-à-dire qu'une 
rotation de 36" ramène le corps sur lui-même. Les deux figures 



Fig. h-. — Sifparatioa des 

de gauche, X, j:, etxjj;,, représentent la projection de l'hyper- 
corps sur un espace x, x^ x, perpendiculaire à une autre deuxième 
diagonale : celle qui joint le milieu de l'arête 34 — 45 à celui de 
l'arête— 34 45- 

Ensemble, les deux figures inférieures représentent la projec- 
tion de l'hypercorps sur un espace perpendiculaire à une 
première diagonale i — i , et les deux figures de droite celle sur 
un espace perpendiculaire à une autre première diagonale 
56 — 56. Chacun de ces polyèdres a 4» sommets. 

Le système de coordonnées auquel est rapportée la figure 5a 
est celui constitué par ces quatre espaces perpendiculaires entre 



Si l'on fait tourner de 90* la projection x^x^ de la figure 5a, de 



174 CHAPITRE Tlll. 

manière que les sommets 46, — 5i, — 46, Si prennent respecti- 



Fig. 57*", complétant lafig. 57. 
vement la place de — 5i, — 46, 5i, 46 et si ensuite, en l'asso- 



Mfe%iM 









Fig. 58. — Projection du C"* sur ud plan panllèle 1 une fice. 



LES POLYfiDRÏODBS. 176 

ciant avec x^x^, on construit une nouvelle projection x^ j?,, on 
aura une figure que nous reportons {/ig. 67) et qui sera la 
projection de Vhypercorps sur un plan parallèle à une face : la 
face 8 5 6, ou sa parallèle 3 ion, ou les deux opposées. En en 
détachant encore le petit icosaèdre et le dodécaèdre qui sont 
perpendiculaires à la diagonale 1 — i, on a, cette fois, les 
figures 59 et 60; la première est la projection de l'icosaèdre 
régulier sur un plan parallèle à une face, et la seconde, la 




31 32 

Fig. 59 et 60. — Un icosaèdre et un dodécaèdre. 

projection du dodécaèdre régulier sur un plan perpendiculaire à 
une première diagonale. 



II. Le dernier polyédroïde est constitué par 120 dodécaèdres 
réguliers, qui se réunissent par trois sur 1200 arêtes, tandis que 
celles-ci se réunissent par quatre sur 600 sommets. On verra, 
dans le Paragraphe suivant, qu'il peut se déduire directement du 
précédent. 

Nous renonçons à le décrire, parce qu il ne parait guère se 
prêter, comme les précédents, à des décompositions faciles à voir 
séparément. Nous nous contenterons d'en donner une projection 
sur notre espace et une coupe centrale par le même, faites en 
supposant Thypercorps placé de manière qu'une de ses troisièmes 
diagonales lui soit perpendiculaire. Les deux figures, empruntées 
à M. Schoute, sont des perspectives cavalières. 

La projection (Jîg, 61) est un polyèdre qui a 160 sommets 



176 

disposés par 



CHAPITRE y III. 



10, 10, 10, 20, 20, 10; 10, 20, 20, 10, 10, lO 

dans douze plans parallèles, et 92 faces, dont 10 sont des octo- 
gones formant une zone équatoriale, 80 des pentagones formant 



.4 -77 'JO 

^/rr77777777f/77777TA) 



'10 



-4?19. 



-mi 




^^'^^ 



V*l 



-ass 



Fig. 61. — Projection orthogonale de rhécatonicosaédroTde sur un espace 

perpendiculaire à une troisième diagonale. 

deux rangées de chaque côté de celle-ci, deux des décagones 
polaires ; la ligne joignant les centres de ces derniers est Taxe 
auquel les douze plans sont perpendiculaires. 

La coupe {Jig, 62) est un polyèdre ayant 80 sommets disposés 
par dix dans huit plans perpendiculaires ; il est figuré de la même 
manière, et Ton a reporté sur le dessin, en guise de repère, la 



t » i .t. . 



LES POLYÉDROÏDES. 



177 



moitié du polyèdre précédent qui se trouve au-dessus du plan 
commun de symétrie; elle est dessinée en traits allongés et en 
points blancs, ceux-ci accompagnés de numéros qui sont ceux 
des sommets correspondants de Thypercorps. Quelques traits ont 




Fig. 6:). — Section de l'hécatonicosaédroYde par un espace central 
perpendiculaire à une troisième diagonale. 

été accentués par des amorces de hachures pour faire ressortir 
la symétrie. 

§ 47. - DuaUté. 

Si Ton prend (§ 32) la figure polaire de chacun des six corps 
réguliers par rapport à une hypersphère concentrique H, on 
trouve les résultats suivants. Le C* en produit un autre qui lui 
J. 12 



178 CHAPITRE VIII. 

est concentrique; il en est de même du G**; le G* donne un C" 
et le G*®® donne un G*", et réciproquement. Les cases, faces, 
arêtes et sommets ont fourni respectivement les sommets, arêtes, 
faces et cases de la figure transformée. 

Ces résultats sont d'accord avec le Tableau II (§ 38), où les 
nombres contenus dans les deuxième, troisième, quatrième et 
cinquième colonnes se reproduisent pour le G* et le G** quand on 
les lit de la droite à la gauche, tandis que ceux du G* et du G"®, 
lus de même, reproduisent ceux du G'* et du G"®. 

Ils sont un intéressant exemple de la loi de dualité (§ 19). Ils 
montrent que l'existence du G' et du G*®<* entraîne celle du G" et 
du G"°, et que les deux premiers corps déterminent tous les détails 
de forme comme tous les éléments métriques des deux autres; 
aussi pourrait-on se contenter d'établir et d'étudier directement 
quatre polyédroïdes réguliers au lieu de six. 

Afin de préciser cette proposition, soient E un espace quel- 
conque eip son pôle relativement à l'hypersphère H. La théorie 
esquissée (§32) nous fournit ces trois points : i<» les intersections 
de E avec les arêtes, faces et espaces (cases) d'une des figures 
réciproques sont les polaires des espaces, plans et droites obtenus 
enjoignant/? aux faces, arêtes et sommets de l'autre; 20 si l'on 
appelle S la sphère intersection de E et de H, les intersections de 
E avec les arêtes, faces et espaces d'une des deux figures sont les 
polaires par rapport à S des projections des faces, arêtes et som- 
mets de l'autre, faites sur cet espace avec/? comme point radiant; 
3<» par conséquent, la section d'une des figures par un espace ou 
un plan donné, comme aussi sa projection sur cet espace ou ce 
plan, peuvent se déduire de celles de l'autre figure, soit par le 
calcul, soit par des constructions géométriques, à volonté. 

Une projection du G*°^ sur un espace de symétrie a pour réci- 
proque une section du G**' par un espace de symétrie, et inver- 
sement (') . La correspondance a lieu comme il suit : si l'un des deux 
espaces est perpendiculaire à une première, deuxième, troisième 
et quatrième diagonale, la figure réciproque l'est à une quatrième, 



( ■ ) C'est un cas particulier d'un théorème très général de Géométrie projec- 
twe. ( Voy. Veronese, Behandlung der projectivischen VerhàUnisse, . . , dans 
Math. Ann,, t. XIX, 1882. ) 



LES POLTÉDROÏDES. 179 

troisième, deuxième et première diagonale. Ainsi le polyèdre que 
représente la figure 6a est polaire réciproque de celui que repré- 
sentent ensemble les deux projections :r, x^ x^ de la figure Sa : la 
ligne joignant les centres des deux décagones du premier corres- 
pondant à la diagonale i — i du second; de ce que celui-ci a 
I20 faces dont 20 quadrilatères et îoo triangles, il suit que celui- 
là a 120 sommets dont 20 à chacun desquels il aboutit quatre 
faces et 100 à chacun desquels il en aboutit trois, etc. 

Le rayon r de l'hypersphère transformante étant arbitraire, 
on peut en disposer pour que les deux corps réciproques aient l;i 
môme longueur d'arête et, par suite, soient inscrits dans la même 
hypersphère. Pour le G**, par exemple, il faut prendre 

a 

alors il se transforme en lui-même, mais en changeant de position 
dans l'hypersphère qui le contient, de sorte qu'un de ses sommets 
n'a pas pour correspondant dualistique un de ses octaèdres. 

Les centres des cases d'un polyédroïde régulier sont les sommets 
d'un polyédroïde réciproque; ainsi les centres des 600 tétraèdres 
du C*°° sont les 600 sommets d'un C**\ 



APPLICATIONS. l8l 



CHAPITRE IX. 



APPLICATIONS. 



§ 48. — L'axiome des trois dimensions. 

Il y aurait lieu de considérer deux catégories d'applications de 
la Géométrie à quatre dimensions : celles qui concernent les 
sciences mathématiques et celles qui concernent les sciences 
physiques. Les premières ne sont généralement pas d'ordre élé- 
mentaire, et elles rempliraient un volume autrement lourd que 
celui-ci; nous n'ajouterons rien à ce que nous avons pu en dire h 
diverses reprises. Nous passons aux secondes; mais nous ne nous 
dissimulons pas que le terrain est moins solide et plus difficile : 
ce n est plus de la Géométrie. Il nous a semblé toutefois que nous 
ne pouvions guère nous dispenser de cette courte excursion. 

L'univers que l'homme habite, et dans lequel toutes ses sensa- 
tions prennent naissance, existe dans ce qu'il appelle l'espace. 
C'est ce que nous disions dès le début et, comme nous le faisions 
prévoir, les notions que nous avons acquises depuis font de cet 
être quelque chose de moins absolu : remplaçant l'article défini 
le par l'article indéfini un, nous disons maintenant que c'est un 
espace, un champ du troisième degré; nous admettons qu'il est 
plongé dans un champ de degré supérieur, une étendue à quatre 
dimensions. Il y coexiste avec une infinité d'espaces sembla- 
bles, parallèle aux uns, ayant avec chacun des autres un plan 
commun, de même que le plan sur lequel nous marchons coexiste 
avec une infinité de plans semblables, parallèle aux uns, ayant 
avec chacun des autres une droite commune. 

Le physicien, allié ou non avec le mathématicien, s'occupe des 
mouvements dont cet espace est le théâtre, et ces mouvements 



l8a CHAPITRE IX. 

sont de deux sortes. Les uns sont ceux des masses, choses que 
nous considérons comme des agglomérations d'atomes en nombre 
immense et d'une petitesse que nous ne pouvons pas concevoir, 
l»ien que nous soyons parvenus à Texprimer par des chiffres. Les 
autres sont ceux des atomes eux-mêmes au sein de la masse. Les 
premiers tombent sous nos sens, dont nous avons su augmenter 
la puissance au moyen d'instruments variés; les seconds, de 
nature essentiellement vibratoire, s'accomplissent dans des 
espaces dont la petitesse est du même ordre que celle des atomes; 
ils sont, comme ceux-ci, à une énorme dislance (énorme compa- 
rativement à leur grandeur) de Textrême limite du terrain sur 
lequel portent nos observations. 

Il y a une étroite dépendance entre les premiers mouvements 
et l'axiome des trois dimensions (Avant-propos, pages vi et xvi), 
puisque celui-ci ne serait autre chose que l'expression d'un senti- 
ment héréditaire leur devant son origine. On doit donc admettre 
qu'ils lui sont subordonnés, c'est-à-dire qu'aucun échange de 
matière ni d'énergie ne s'accomplit de leur fait entre notre espace 
et les autres. Les théories physiques ne présentent d'ailleurs pas 
de cas dans lesquels la nécessité d'invoquer de pareils échanges 
se ferait sentir; bien entendu, nous laissons de côté, trop étran- 
gers à ces sujets pour nous permettre d'en parler, le parti que 
les spirites et les thaumaturges entendent tirer de la quatrième 
dimension. 

Mais, puisque l'axiome des trois dimensions n'est qu'un fait 
d'ordre expérimental et n'a par ailleurs aucune espèce de néces- 
sité, que d'autre part les mouvements moléculaires, s'ils existent 
réellement, ne sont pas de cet ordre; ils n'ont rien à faire avec 
lui. Or, ces mouvements présentent des circonstances qui ne sont 
pas exprimables par des fonctions ne contenant, avec le temps, 
que les trois coordonnées de l'espace. On en jugera par la consi- 
dération suivante. Les corps célestes, en particulier la matière si 
divisée des comètes, marchent dans Téther avec d'énormes vitesses 
sans en éprouver de résistance, en d'autres termes, sans lui com- 
muniquer la moindre parcelle de leur force vive ; au contraire, 
la molécule animée du mouvement vibratoire que nous appelons 
chaleur, si mouvement il y a, partage rapidement avec lui son 
excédent d'énergie. Il faut alors qu'il y ait une différence 



APPLICATIONS. l83 

fondamentale entre le mouvement moléculaire ou atomique et 
celui des particules de matière, même les plus ténues que nous 
puissions concevoir. 

Les fonctions ne contenant que trois coordonnées se trouvent 
encore insuffisantes lorsqu'il s'agit des phénomènes de la vie, pro- 
bablement aussi des phénomènes chimiques qui en sont voisins 
et, en termes généraux, toutes les fois que deux substances ayant 
même composition atomique manifestent des attributs ou des 
propriétés dissemblables. L'impuissance de la Mécanique clas- 
sique vis-à-vis de ces différents cas vient évidemment de ce que des 
termes essentiels, mais qu'elle ne sait pas où prendre, manquent 
dans ses équations. C'est avec eux qu'entrerait en scène la qua- 
trième composante, négligeable jusque-là devant les trois qui ont 
si bien tenu leur rôle tant qu'elles n'ont eu affaire qu'aux mouve- 
ments qui tombent sous nos sens, c'est-à-dire, ajouterait un phi- 
losophe, qui sont des choses de perception, tandis que les mou- 
vements atomiques ne sont, tout comme la quatrième dimension, 
que des choses de conception. 

Il est donc naturel, autant que légitime, d'admettre la 
quatrième composante dans ces petits espaces qui échappent à 
notre conception, de l'appliquer à ces petits mouvements qui 
diffèrent tant de ceux que nous voyons; en un mot, d'y remplacer 
le système trirectangulaire par le système quadrirectangulaire. 
Sur cette base, la mécanique moléculaire peut édifier des calculs 
facilement et à perte de vue. Nous ne l'y suivrons pas. Nous ne 
voulons plus qu'indiquer rapidement, d'après René de Saussure, 
de Genève (*), comment on peut concevoir le mécanisme des 
actions chimiques, dans cet ordre d'idées; mais il nous faut 
auparavant présenter, ou plutôt renouveler deux observations. 

§ 49. — Récapitulation des qualités de Tespace. 

La première est que notre espace n'est qu'une tranche élémen- 
taire de cette étendue qui Tentoure de toutes parts. Dans le sens 



( ' ) Les phénomènes physiques et chimiquesjet Vhypothèse de la quatrième 
dimension, {Arch. des Se, phys. et nat. de Genève^ Janvier et février 1S91, et 
lievue scientifique du 9 mai rSgi.) 



l84 CBAPITRB IX. 

de la quatrième dimension, il est infiniment mince et absolu- 
ment plat, et il en est de même de tous les êtres qu'il contient. 
En un quelconque de ses points on peut lui élever une perpen- 
diculaire, et on peut lui en abaisser une d'un point quelconque 
de retendue extérieure (§H). Cette perpendiculaire, qui est 
unique, n'a pas d'autre point commun avec l'espace ; elle est pei- 
pendiculaire à toutes les droites et à tous les plans qu'on peut 
mener dans celui-ci par son pied; elle s'appelle Yaa^e de la qua- 
trième dimension. Toute droite faisant avec elle un angle difFé- 
rent de 90*» n'a également qu'un point commun avec Fespace et est 
du domaine de la quatrième dimension. Mais toute droite faisant 
avec elle un angle de 90°, et toute droite ayant deux points dans 
l'espace, sont entièrement dans celui-ci. 

Une quelconque des choses qui sont dans l'espace en sort et 
n'existe plus pour nous si on la déplace si peu que ce soit sui- 
vant l'axe de la quatrième dimension ou une de ses obliques. Un 
point matériel marchant dans l'étendue suivant une de ces direc- 
tions le traverse instantanément. Si le mobile a des dimensions 
finies, la durée de la traversée a aussi une valeur finie correspon- 
dant à ces dimensions. Si c'est, par exemple, Thypersphère 
du § 31, l'apparence sera la môme que celle que nous avonsdécrilo 
alors en supposant que c'est l'espace j:4=o qui se transporte 
parallèlement à lui-même à travers l'hypersphère immobile; on 
verra une sphère d'abord très petite, puis grossissant jusqu'à 
avoir le diamètre 2 R, puis diminuant jusqu'à zéro; rien avant ni 
après; l'apparition sera immobile, puisque le point d'entrée dans 
l'espace et celui de sortie ne sont qu'un seul et même point; par 
conséquent, on lui verra le mouvement contraire à celui, sans 
doute fort rapide, qui nous emporte à notre insu dans l'espace : 
on ne pourra pas trouver de cause au phénomène. 

Pour le professeur Karl Pearson, de Londres, chaque atome 
serait un filet d'éther [an ether squirt (*)] traversant ainsi 
perpétuellement notre espace, avec une densité soumise à cer- 



(') Ether squirts {Amer. Journ. of math,, vol. XUI, 1891, p. 3o8; Cam- 
bridge phil, trans.f vol. XXIV, p. 71 ; London math.. Soc. Proceedings, vol. XX, 
1889, p. 38 et 297). 

Le raol anglais sguirt, substantif ou verbe, veut dire: seringue, ou serin^ 
guer. 



APPLICATIONS. l85 

taines variations périodiques. Cette idée bizarre, mais se prêtant 
remarquablement bien au calcul, comme le montrent sans con- 
teste les volumineux Mémoires de Tauteur, rend compte faci- 
lement des actions interatomiques, optiques, électriques, magné- 
tiques, de l'attraction newtonienne, etc. Elle mène tout droit à 
cette autre idée, émise par Hinton, que la naissance, le dévelop- 
pement, la vie et la mort des êtres animés ne seraient que des 
phases présentées par le passage de corps à quatre dimensions 
à travers notre espace. 

Avec les qualités qu'on vient d'énumérer l'espace n'est qu'un 
être de raison, et les êtres à trois dimensions qu'il contient ne 
sont aussi que des abstractions. Puisqu'il n'est qu'une tranche de 
l'étendue, ils ne sont, eux, que les sections fiiites par cette 
tranche dans des corps à quatre dimensions. Ceux d'entre eux qui 
se disent des êtres pensants n'existent, tout comme les autres, 
que dans l'esprit di3 l'être de l'hyperespace qui les conçoit, et 
leurs pensées ne sont que des formes de celles de cet être. C'est 
tout simplement le système philosophique de Spioosa ('), dont 
Voltaire a dit : « Je ne connais que Spinosa qui ait bien rai- 
iîOnné. » L'exacte définition des champs supérieurs apporte à ce 
système le théâtre concret et la précision matérielle qui lui 
manquaient. 

Mais si Ton veut qu'au lieu d'être de pures abstractions, Tespace 
et ce qu'il contient soient des choses réelles, il faut considérer le 
premier comme étant la figure limitante, la couche superficielle 
(c'est une hypersurface, voyez § 28) d'un corps à quatre dimen- 
sions (un hypercorps)^ que nous appellerons le Support, Il serait 
cl ce corps ce que, en descendant d'un degré, la surface terrestre, 
chose à deux dimensions, est sur la Terre, chose à trois. Natu- 
lellement, on admettra, soit d'emblée, soit à titre approximatif, 
que rhypersurface est du premier degré, c'est-à-dire est un 
espace ordinaire. 

Le Support, doué d'élasticité et de rigidité, serait l'agent trans- 



(') Ethica more geometrico demonstrata et in quinque partes distincta, 
Amsterdam, 1677. ~ L'Œuvre de Spinosa a été traduite en français par 
Em. Saisset, 3 vol. in- 13, Paris, Charpentier, 1872. Le Tome I eet une Intro- 
duction remarquable de clarté et de fidélité; V Ethique forme le Tome UI. 



l86 CHAPITIE IX. 

metteur des vibrations, et remplirait le rôle pour lequel notre 
Physique a créé le chimérique éther : toute molécule animée 
d'un mouvement vibratoire lui en communiquerait une partie, 
qui se propagerait immédiatement dans sa masse, et passerait 
partiellement dans toute autre molécule en contact avec lui (*). 
Les molécules appartenant à certaines catégories déterminées 
se mettraient à Tunisson, en quelque endroit qu'elles se trouvent ; 
les différences spécifiques des corps simples et le fait, qui étonne 
tant le chimiste, de leur petit nombre en présence du nombre 
infini de vibrations possibles, seraient ainsi expliqués avec 
autant de naturel que de simplicité. 

Quant aux êtres que contiendrait cet espace, la manière la plus 
simple de les concevoir est de leur attribuer une épaisî?eur extrê- 
mement faible dans le sens de la quatrième dimension. Ce sont 
ainsi des êtres réels ( Koj. Avant-propos, p. xx), et, comme quel- 
ques-uns sont en outre des êtres pensants, nous allons, dans les 
paragraphes qui suivent, chercher à nous rendre compte des 
impressions que doit produire sur leur entendement Tétat de 
choses dans lequel nous les mettons. 

Comme leur quatrième dimension est très petite, ils n*en ont 
pas conscience, et leur vie est exclusivement tridimensionnelle. 

§ 50. — Un Univers à denz dimensions. 

Voici notre seconde observation. 

Dans le cours de ce travail, nous avons sans cesse, pour faciliter 
rintelligence d*un point de la Géométrie à quatre dimensions, 
cherché Tanalogie dans celles à trois et à deux. Utile dans Tordre 
purement géométrique, cette recherche de l'analogie ne Test pas 
moins dans l'ordre concret. Descendons donc d'un degré pour 
comprendre quel peut être notre état d'esprit en présence de phé- 
nomènes dans lesquels la quatrième dimension interviendrait. 

A cet effet, considérez Tombre horizontale qui s'attache à vous 
quand vous marchez au soleil, et qui, longue ou courte, large ou 
grêle, répète vos mouvements comme si elle vous comprenait, 

( ' ) RousB Ball, a kypoUiesis relative to the nature of ether and graviiy 
( Messenger of mathematics^ 1891 ). — Même auteur: Bécréations et problèmes 
mathématiques f 3" édiUon, traduite par Fitz-Patrick. Paris, i8()8. 



APPLICATIONS. 187 

bien qu'elle ne soit qu'une vaine apparence. Donnez-lui Texis- 
tence et la vie; donnez-lui, avec la vie, vos sens et votre intelli- 
gence, mais sous la réserve absolue de n'en savoir user que dans 
son plan ; puis disparaissez avec vos semblables en la laissant 
seule avec les siens. Nous appellerons cette nouvelle population 
les hommes-plans, et nous admettrons que la surface sur laquelle 
ils s'agitent est assez petite pour pouvoir être assimilée à un 
plan P. Découpez des silhouettes en papier, jetez-les sur une 
table P, poussez-les dans tous les sens, vous aurez une idée de 
ces gens, de leur support et de leur existence (*). 

Ils ont, comme tous les corps qui les entourent, une épaisseur 
1res petite, dont ils ne se doutent pas. N'exerçant leurs sens que 
dans le plan P, ils sont ignorants de l'espace qui les recouvre, 
ou, s'ils le soupçonnent, ils sont incapables de l'explorer en quoi 
que ce soit. Ce qu'ils appellent espace, c'est ce plan lui-même. 
Des objets qui les entourent et de ceux qui voguent dans le Ciel, 
ils ne connaissent que la section faite par lui, et ils lui donnent 
le même nom que celui donné par nous à l'objet lui-même. Très 
intelligents, la Géométrie à deux dimensions n'a point de secrets 
pour eux, pas plus dans ses théories les plus élevées que dans ses 
applications les plus pratiques; mais ils n'ont aucune idée de 
celle à trois, ni, a fortiori, de celle à quatre ; et il en est de même 
de toutes leurs connaissances, sur quelque sujet que ce soit. 

Pour n'avoir pas affaire à une pesanteur extérieure au plan P, 
nous supposerons toute la masse attirante réunie au centre de la 
région qu'ils habitent et qu'ils appellent la Terre. 

Tel est Y Univers à deux dimensions sur lequel nous 'invitons le 
lecteur à jeter les yeux, et dont nous voulons lui expliquer le 
mécanisme, non pas dans son ensemble encore hien compliqué, 
mais en nous bornant à trois des questions qui préoccupent le 
plus ses physiciens: les changements d'état des corps, les combi- 



( ' ) M. René de Saussure considère aussi une Terre à deux dimensions; il en 
met les habitants, non à plat sur une face du disque, mais debout sur son pour- 
tour. Sous Tune ou l'autre forme, les hommes-plans ont été mobilisés encore 
par : Beltr/imi, Saggio d'interpretazione delta geometria non euclidea, — 
Hblmholtz, Populàre Vorlesungen, — Hinton, Scientific Bomances^ — 
Sghofibld, Another wortd, — Seeleys, Flailand, ..., etc. 



l88 CHAPITRE IX. 

naîsons chimiques et les décompositions. Le retour à notre propre 
univers sera facile et nous ne nous en occuperons même pas : 
puisque le plan, dans le sens de la troisième dimension, et V espace, 
dans celui-de la quatrième, ont la même épaisseur infiniment 
petite, il n'y a, dans les limites tout à fait élémentaires qui 
enserrent notre exposition, qu'à remplacer les deux premiers 
mots par les deux derniers. 



§ 51. — Matière et énergie dans TUnivers à deux dimensions. 

11 nous faut commencer par définir les deux éléments: Matière 
et Énergie, qui forment le Système de la Nature dans ce singu- 
lier Univers. 

i<* Les corps matériels disséminés dans le plan P n'ont pas une 
épaisseur nulle, ni infiniment petite; nous avons déjà dit qu'avec 
ces qualités négatives on n'est qu'un être de raison. Ils ont une 
épaisseur finie très petite, formée par des atomes ou des molé- 
cules superposées. Cette épaisseur est insoupçonnée des hommes 
plans, pour lesquels il n'y a qu'w/ie couche d'atomes, et pour 
lesquels les groupements d'atomes qui constituent les molécules 
se font dans le plan P. (Rien n'empêcherait, si on le préférait, do 
considérer de pareils corps comme des tranches faites dans les 
corps à trois dimensions de notre Univers ; alors le phénomène 
observé par Thomme-plan ne serait qu'une face de celui que 
nous observons nous-mêmes). 

2<>Tous ces corps sont soumis à une force perpendiculaire au 
plan P, de la nature de celles que nous appelons /orc^^ molécu- 
laires, c'est-à-dire agissant en sens inverse des deux côtés opposés 
du plan, et produisant, soit une traction^ soit une compression. 
Nous l'appellerons \di force perpendiculaire, ou la/orce G. Elle ne 
gène en rien les mouvements des corps, puisqu'elle est perpen- 
diculaire à tout déplacement. Elle n'est pas autre chose qu'une 
des trois composantes des forces que nous voyons, nous, se jouer 
de part et d'autre du plan P, et sur lesquelles s'exerce notre saga- 
cité. Les hommes-plans n'ont connaissance que des deux autres 
composantes, qui sont dans ce plan P et dont l'ensemble forme, 



APPLICATIONS. 189 

avec les corps plats qu'on vient de définir, l'aliment des discus- 
sions interminables auxquelles ils se livrent sur Tessence des 
choses et les destinées de leur Univers. 

§ 52. ~ Les trois états des corps. 

Considérons un de ces corps plais, et supposons que la force 
agisse en traction, avec une grande intensité. Comme la barro 
de fer à l'épreuve de traction dans le laboratoire de Tusine, 
le corps s'étire et sa section diminue; ses molécules se serrent 
les unes contre les autres; les hommes-plans disent que c'est un 
corps solide; ils appellent cohésion et désignent par y la force qui 
leur paraît lier les molécules ensemble. 

Que la force C vienne à diminuer et, avec elle, la force y; que 
celle-ci arrive à n'avoir plus qu'une intensité égale, puis infé- 
rieure à celle de la pesanteur. Les molécules se desserrent, s*ét;i- 
lent davantage sur le plan, deviennent de plus en plus indifTé- 
rentes les unes aux autres et finalement se trouvent libres d'obéir 
individuellement à la pesanteur ; alors le corps, se moulant sur Ui 
récipient qui le contient, n'a plus d'autre tendance que de prendre 
un niveau perpendiculaire à celle-ci. 11 s'est dilaté, puis liquéfié. 

Si la force C change de sens et exerce une compression croissanlo 
sur le corps que nous considérons, les molécules s'écartent encore 
plus et semblent maintenant se repousser. La force de la pesan- 
leur devient négligeable devant celle de cette répulsion ; on ef-t 
obligé de recourir à une enceinte fermée tout autour pour empê- 
cher une diffusion indéfinie. Les hommes-plans disent qu'ils ont 
affaire à un gaz et ils appellent /?re55/o/i ou tension le résultat du 
bombardement exécuté contre la paroi enveloppante par ces mil- 
lions de molécules lancées dans toutes les directions du plan P. 

Ces déplacements de molécules, qu'ils aillent ou non jusqu'au 
changement d'état, ne s'accomplissent pas sans des résistances 
opposées par leur inertie. Du jeu alternatif de ces résistances et 
des poussées, il résulte des agitations intestines et invisibles, 
dans lesquelles la force y accomplit un certain travail, produit de 
son intensité par le déplacement de son point d'application. Ce 
travail est la seule chose qui tombe sous les sens des hommes- 
plans; mais, ignorant son origine, ils ne lui ont pas donné le nom 



igo CHAPITRE IX. 

de travail Qi ne T expriment pas en kilogrammètres ; ils lui ont 
donné un nom particulier : chaleur, et ils l'expriment au moyen 
d'une unité factice : degré de température. 

Si l'homme-plan applique une force F sur tout le pourtour du 
corps de manière à diminuer la surface que celui-ci recouvre sur 
le plan P, il en résulte une force égale perpendiculaire au plan, 
et, si celle-ci accomplit du travail, c'est-à-dire si son point 
d'application se déplace, ou aura de la chaleur. Voilà la transfor- 
mation du travail en chaleur, inverse de la précédente. 

§ 53. — Les combinaisons chimiques. 

Un homme-plan triture ensemble de la fleur de soufre et de la 
limaille de fer. Par cette opération, ilyM^^a/?05e des éléments plus 
ou moins ténus de ces deux substances, et il pourra plus tard les sé- 
parer de nouveau par des moyens mécaniques : il fait un mélange. 

Mais que laforce perpendiculaire G intervienne, et qu'elle super- 
pose ces éléments dans le sens de la troisième dimension. Alors 
l'homme-plan, avec ses outils les plus puissants ou les plus fins, 
ne pourra pas les séparer, parce que son action est nulle dans ce 
sens; s'il parvient à opérer une division en fragments plus petits, 
cette division s'est faite sans sortir du plan, et chaque fragment 
obtenu est encore formé de molécules posées l'une sur l'autre. Il 
dit alors que c'est une combinaison chimique. 

Pour obtenir une combinaison, l'e.xpérience lui montre qu'il 
faut toujours développer de la chaleur. Mais il ignore que c'est la 
force G qui empile les éléments des corps perpendiculairement au 
plan P, et qu'elle jouit seule de cette faculté. 

Dans cet ordre d'idées, la constitution des molécules des corps 
composés pourrait être indiquée par une représentation graphique 
de la pile moléculaire. Et comme iine pareille représentation 
comporte deux figures symétriques pour une même composition 
de la molécule ( voir les positions de gauche et de droite dans la 
figure 63), que ces deux figures se remplacent mutuellement par 
un simple retournement de la pile, que lune peut être imaginée 
debout sur une face du plan P, l'autre debout sur l'autre face, on 
trouverait là une explication très simple du dimorphisme que 
présentent certains cristaux. 



Chaque atome ou molécule qui, pendant que la combinaison 
chimique s'opère, sort du plan P pour aller se poser sur un autre 
jitome ou molécule, laisse un vUle. Ceux qui entourent ce vide s'y 
précipitent, s'y choquent, sont repoussés en arrière, yreviennent, 
n.xécutent un va-et-vient qui se transmet de proche en proche, 
dans toutes les directions, sous la forme d'une onde, comme les 

Fig. 63. 



vagues circulaires qui partent du point de chute d'une pierre 
dans l'eau et s'en éloignent en grandissant. Si la réaction chi- 
mique est suffisamment active pour que la succession des ondes 
se fasse entre certaines limites de rapidité que sa science a cal- 
iîulées, l'homme-plan les peiçoit sous forme de lumière. C'est poui- 
cela que la réaction chimique est souvent accompagnée de lumière 
et en est la condition nécessaire. 

Mais les choses ne se passent pas entièrement dans le plan P. 
Si nous revenons à la comparaison de la pierre tombant dans 
l'eau, nous voyons que la surface de celle-ci s'est couverte de 
rides circulaires. Ces rides proviennent de ce que les compres- 
sions et les dilatations qui se succèdent sur une circonférence 
ayant le point de chute pour centre, ont pour conséquence, les 
premières une élévation des molécules au-dessus de la surface dt; 



192 CHAPITRE IX. 

l'eau tout le long de cette circonférence, les secondes une dépres- 
sion au-dessous ; de plus, chaque molécule ne marche pas avec 
l'onde, mais reste toujours à la même distance du point central. 11 
en est de même pour les ondes calorifiques et lumineuses : tandis 
que les forces élastiques se transmettent de proche en proche 
dans le plan P, les mouvements moléculaires se font perpendicu- 
lairement à ce plan, c'est-à-dire empruntent la troisième dimen- 
sion. Celle-ci se trouve donc enjeu, non seulement en ce qui con- 
cerne la cause, mais encore en ce qui concerne la modalité du 
phénomène, et les hommes-plans ne soupçonnent, ni l'un, ni 
l'autre fait. Et c'est aussi le point dont il faut bien voir la corres- 
pondance dans le champ supérieur. 



§ ru. — Les décompositions chimiques. 

Lorsque s'opère une décomposition, c'est qu'un atome ou une 
molécule faisant partie d'une pile perpendiculaire au plan P en 
est retirée et est rejetée dans ce plan, puisque c'est la différence 
entre ces deux positions qui constitue la différence entre l'état 
de combinaison et celui de mélange. En y prenant place, elle 
repousse celles qui entourent le point de chute ; celles-ci revien- 
jient après avoir communiqué du mouvement derrière elles, sont 
repoussées de nouveau, et les mêmes mouvements alternatifs ont 
lieu que dans le cas précédent, produisant, suivant les circon- 
stances, delà chaleur, ou de la chaleur accompagnée de lumière. 

On sait que Yélectricité est le principal agent de décomposition 
chimique. Pour quelqu'un dominant le plan P et pouvant le 
regarder comme il lui plaît, le mouvement expliquant le mieux 
les phénomènes^rangés par ses habitants sous cette rubrique est 
peut-être une rotation de la pile moléculaire autour d'un axe situé 
dans ce plan, njouvement que ceux-ci ne sauraient s'imaginer. 

Ce mouvement peut produire de la chaleur et de la lumière, 
puisque, à chaque rotation entière, le plan P est traversé par des 
atomes en deux points symétriquement placés par rapport à l'axe de 
la pile ; il en résulte des ondes auxquelles cette circonstance donne 
un cachet particulier, et qui produiront en outre les manifesta- 
tions électriques, sous certaines conditions de vitesse ou autres. 



APPLICATIONS. igS 

Il peut aussi produire des décompositions chimiques, et voici 
comment. Considérons une pile formée de deux atomes H d*hydro- 
gène et un d'oxygène ; c'est un molécule deau, que nous prenons 
au milieu d'une multitude de molécules pareilles, placées dans 
les mêmes conditions. Au moment où la rotation que nous sup- 
posons amène cette pile dans le plan P, les atomes ne sont plus 
serrés par la force C et ne tiennent plus ensemble ; ils sont un 
instant dans l'état qui correspond au mélange et non plus dans 
celui qui correspond à la combinaison. A chaque demi-rotation, 
c'est en quelque sorte une combinaison qui se défait et se refait. 
Qu'une circonstance quelconque, par exemple ce simple fait que la 
force centrifuge n'est plus annihilée par la pression C, écarte les 
molécules au moment du passage dans le plan, la rotation ne peut 
pas se continuer, et l'on trouve séparément deux atomes d'hydro- 
gène d'une part, un d'oxygène de l'autre ; on appelle pôle négatif, 
la direction dans laquelle la culbute (ce mot convient mieux 
maintenant que celui de rotation) a fait tomber les premiers, 
pôle positif ^ celle qui est échue au second; ce sont la droite et la 
gauche de la position du milieu dans la figure ci-dessus. 

Ainsi s'expliquerait très simplement l'aptitude caractéristique 
de l'électricité à produire des décompositions chimiques. 



>«i»i 



13 



HORS DK l'étendue. 



igS 



CHAPITRE X. 



HORS DE L'ÉTENDUE. 



§ 55. — Les perpendicnlaires. 

Le lecteur a donc fait connaissance avec V Étendue, ce champ du 
quatrième degré formé d'une multitude quatre fois infinie d'es- 
paces, parmi lesquels le nôtre se trouve. Il en a jusqu'ici res- 
pecté scrupuleusement les frontières; pour terminer, nous 
l'invitons à les franchir une fois, et résolument. 

Rien n'empêche, disions-nous dans l'Avant-Propos, de consi- 
dérer l'étendue comme n'étant aussi qu'une unité au milieu d'une 



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Fig. 64. — Les qaatre premiers champs et leur perpendiculaire. 



infinité d'autres pareilles, toutes ensemble formant un champ du 
cinquième degré ; et ainsi de suite indéfiniment. En vertu de ces 
cinq mots si usuels et qui paraissent si simples, et en nous aidant 
de ce que les Chapitres précédents nous ont appris, pénétrons 
dans l'immense et mystérieux domaine. 



196 CHAPITRE X. 

A cet effet {fig. 64) : 

i*> Menez à l'endroit où vous êtes deux lignes droites perpendi- 
culaires entre elles. Vous n'avez que l'embarras du choix, car il 
est facile de voir, par le raisonnement employé § 8, que le 
nombre de systèmes birectangulaires qu'on peut établir en un 
point donné de l'espace à trois dimensions s'exprime par l'infini 
élevé à la troisième puissance. Mais, le choix une fois fait, toutes 
les opérations que nous allons indiquer s'ensuivent sans aucune 
indétermination. Nous supposerons, uniquement pour fixer les 
idées, que les deux lignes droites choisies par vous sont les deux 
horizontales nord-sud et est-ouest, 

2° Menez une troisième ligne qui soit perpendiculaire à ces 
deux-là. Il y en aune et rien qu'une, qui est la verticale du lieu. 
En vous élevant sur celle-ci, comme l'oiseau ou le ballon, vous 
traverseriez une suite de plans horizontaux. Ce serait la même 
chose si vous preniez toute autre direction faisant avec elle un 
angle diff'érent de 90®, mais avec cet angle particulier, vous res- 
teriez dans le plan horizontal, qui est le lieu de toutes les lignes 
menées perpendiculairement à la verticale par le point où vous 
êtes. 

3® Menez une quatrième ligne qui soit perpendiculaire à cha- 
cune des trois premières ; c'est le problème qui a été résolu § 14. 
et rappelé une première fois § 20; vous trouverez toujours une 
direction et rien qu'une; et si une autre personne, en quelque 
autre endroit de TUnivers, faisait de son côté la même opération 
que vous, elle trouverait aussi une direction unique, qui serait 
parallèle à la vôtre. Marchez sur la ligne ainsi trouvée, vous serez 
dans l'étendue, et vous traverserez une suite d*espaces parallèles 
au nôtre. Ce serait la même chose si, au lieu de cette ligne, vous 
en preniez une autre faisant avec elle un angle difTérent de 90» ; 
mais avec celui-ci, vous resteriez dans notre espace, qui est le 
lieu de toutes les perpendiculaires qu'on peut lui mener par 
l'endroit d'où vous partez (§ ik). 

4** Vous arrêtant à un point quelconque, ou revenant au point 
de départ, menez une cinquième direction perpendiculaire aux 
quatre premières. Elle est unique et déterminée; vous l'obtien- 
drez par l'intersection de quatre étendues comme vous avez 
obtenu la précédente par l'intersection de trois espaces (§ 14, II), 



HORS DE l'étendue. lOy 

rantéprécédente par l'intersection de deux plans. Suivez-la à 
son tour; vous serez dans le champ du cinquième degré et vous 
traverserez des étendues. 

5** Revenez encore au point de départ. Menez une sixième direc- 
tion, etc. 

La figure 64 correspond aux quatre premiers cas : elle voudrait 
montrer un point mobile s'olevant perpendiculairement aux 
champs du premier, du deuxième, du troisième et du quatrième 
degré, représentés respectivement par les projections d'un seg- 
ment de droite, d'un carré, d'un cube et d'un octaédroïde (*). 

Chacune des directions que vous trouvez ainsi l'une après 
l'autre est perpendiculaire, non seulement au dernier champ 
sur lequel vous avez fait la construction géométrique, mais 
encore à tous les champs précédents; elle se projette par un 
point unique, et sur notre espace, et sur le plan horizontal par 
lequel vous avez commencé. 

Les champs que vous visitez successivement sont caractérisés 
chacun par le nombre de directions perpendiculaires entre elles 
qu'on y peut mener en chaque point, ou, ce qui revient au 
même, par la possibilité d'y établir un système de coordonnées 
autant de fois rectangulaire qu'il y a d'unités dans le degré du 
champ. Les éléments de ce système de coordonnées ne sont autre 
chose que ceux du champ de degré immédiatement inférieur : 
c'est le rôle qu'en commençant nous avons vu prendre par les 
droites pour le champ appelé plan, les plans pour celui appelé 
espace, les espaces pour celui appelé étendue, 

Cliaque fois, vous voyez changer le régime des intersections. 
Au cinquième champ, par exemple, qui a pour éléments : des 
points Oy des droites d, des plans /?, des espaces 5, et des éten- 
dues ^, vous voyez que : 

Deux, trois, quatre, cinq étendues t ont respectivement pour 
intersection un espace, un plan, une droite, un point; 

Une étendue t a pour intersection avec un espace 5, avec \m 



(*) La dernière figure est la projection de Toctaédroide sur un des plans de 
l'espace perpendiculaire à une première diagonale, et se déduit aisément de la 
figure 23 (p. 119). 



igS CHAPITRE X. 

plan/?, avec une droite rf, respectivement : un plan, une droite, 
un point; 

Deux espaces s se coupent généralement suivant une droite; 
un espace s et un plan/?, suivant un point; 

Un espace s et une droite d ne se rencontrent généralement 
pas; il en est de môme de deux plans; 

Un plan p et une droite d sont toujours dans une même éten- 
due; il en est de môme de deux droites. 

Ce cinquième champ et le suivant ont été le théâtre de spécu- 
lations importantes intéressant notre propre espace. Nous cite- 
rons en particulier les travaux de Véronèse et de Segre (*). 

§ 56. — Le champ de degré n. 

Le mathématicien, ne se contentant plus des géométries parti- 
culières que nous connaissons pour les premiers champs, a fait 
celle d'un champ quelconque, sans le particulariser autrement 
qu'en le désignant par la lettre n, effroi du profane : c'est ce 
qu'on appelle la Géométrie à n dimensions, expression qui paraît 
avoir été employée pour la première fois par Cayley (*). Cette 
Géométrie est le principal théâtre de deux branches des plus 
difficiles et d'un grand intérêt philosophique. 

L'une s'appelle la Géométrie énumérative {Abzàhlende Geo- 
metrie) et s'occupe de la recherche du nombre des êtres géomé- 
triques satisfaisant à des conditions données; les fondements en 
ont été posés par Shubert, Chasles, Halphen et Zeuthen ('). 



( ' ) Veronese, La superficie omaloïde normale a due dimensioni e del 
quarto ordine dello spazio a cinque dimensioni {Accad. dei Lincei, 3* série, 
1884 ). 

Seore, Sulla Geometria delta relta et délie sue série quadratiche {Mé- 
moires de Turin, a* série, 188^). 

(') Chapters in the analytical geometry of n dimensions [Cambridge 
and Dublin Math. Journ., i845). 

(') Shubert, Kalkiil der abzhàlenden Géométrie. Leipzig, 1870. 

Shubbrt, Die n-dimensionale Verallgemeinerungen der fundamentalen 
Anzahlen unseres Baumes {Math. Ann., 1886). 

Shubert, Anzahtbestimmungen fiir lineare ftàume belibieger Dimen- 
sion {Acta Math., 1886). 

Shubert, Allgemeine Anzahl/unctionen fiir Kegelschnitte, Flâchen und 
Baume {Math, Ann., i8g/|). 



HORS DE l'étendue. I99 

L'autre porte le nom d' Analysa situs, qui est devenu d'usage 
courant depuis Riemann, mais que Riemann a pu prendre dans 
Gauss, celui-ci dans Kant, et celui-ci dans Leibnitz. L'on trouve 
en effet dans les Œuvres de ce dernier, pour ne citer que lui, un 
Chapitre intitulé : ///. De Analysi situs et commençant ainsi : 
Quœ vulgo celebratur Analysis mathematicay est magnitudinis, 
non situs. (Edition Gerhardt, t. V, p. 178.) 

Cette branche s'occupe des relations entre les êtres géomé- 
triques, non au point de vue de la grandeur, mais au point de 
vue de la forme, et l'un de ses principaux objets est l'étude des 
connexions, dont nous devons donner au moins la définition. 

Considérons dans le n»*"^" champ (a?! j?î...d7„) un ensemble 
continu de points dépendant de n—m paramètres : c'est ce que 
nous avons appelé § 11 une multiplicité — dans la théorie ac- 
tuelle, on dit de préférence, une variété — de degré n — m. Elfe 
sera définie par m équations de la forme 

F,(^i J?î...:r„) — 0, (i 1=1,2, ..., m), 

accompagnées d'un certain nombre p d'inégalités 

On dit que cette variété est linéairement connexe, si l'on peut 
joindre par une ligne continue, sans en sortir, deux quelconques 
de ses points; si ce n'est pas le cas, la variété pourra être décom- 
posée en d'autres linéairement connexes. 

Fondée par Riemann et Betti, X Analysis situs a sa principale 
expression dans un Ouvrage de M. Poincaré, publié en iSgS (*). 

La formule d'Euler (§37) n'est vraie que pour les polyèdres, 



Halphen, Recherches de Géométrie à n dimensions ( Bulletin de la Société 
meUhématique de France, 1673 ). 

SCHOUTBi Les hyperquadriques dans V espace à quatre dimensions, étude 
de géométrie énumérative {Académie des Sciences d'Amsterdam, juin 1900). 

(*) Riemann, Œuvres mathématiques, traduites par Laugel. Paris, 1898; 
p. 4*4-4 19- 

Betti, Sopra gli spazt di un numéro qualunque di dimensioni {Ann. di 
Matem,, 1871, p. i4o-i58). 

Poincaré, Analysis situs {Journal de l'École Polytechnique, 1896, p. i à 
laS). — La publication de i895 a eu trois continuations importantes : la pre- 
mière dans Bendic. di Palermo, 1899, p. 285-343; la seconde dans Proce- 



200 CHAPITRE X. 

polyédroïdes, etc., qui sont linéairement connexes; les solides ' 

satisfaisant à cette condition ont été appelés solides eulériens. 

Toutes les questions que le quatrième champ nous a présen- 
tées se retrouvent avec plus d'ampleur dans le /i»*"»«. Nous 
reviendrons sur deux des plus difficiles, celle des angles (§26) 
et celle des corps réguliers (§ 38), mais en nous contentant de 
dégager les résultats, pour aider dans l'élude des auteurs auxquels 
nous renvoyons. 

I. Angles de deux champs, — Deux champs A et B, le premier 
de degré a, le second de degré ^, faisant partie du w»*"*« champ, 
ont pour intersection un champ Cm dont le degré m est 

m - a -{- b — n; i 

si n=za-\- b, l'intersection est un point ; si /i > ^ -h 6, les deux 
champs n'ont aucun point commun. 

ï° Envisageant d'abord le cas n-.--a-}-b, nous commençons 
par psuposer que n est un nombre pair 2/?, et que les deux 
champs considérés A, B sont du môme degré a — 6 — /?, condi- 
tions correspondant tout à fait à celles qui font l'objet du § 26. 
Alors : On peut mener par le point d'intersection 0, dans chacun 
des deux champs A, B, p droites perpendiculaires entre elles 

«1, Ofy «3, .... ap dans A, 
^i, ^j» ^Jt ' ' ••> ^p dans B, 

dont chacune est la projection orthogonale de celle qui est écrite 
au-dessus ou au-dessous, c'est-à-dire qui a le même indice. 
Deux droites ayant le même indice font ensemble un angle plan, 
ce qui en fait /?, et ces p angles sont les angles que les deux 
espaces A, B font entre eux; ce sont des invariants. Deux droites 
quelconques n'ayant pas le même indice font ensemble un angle 
droit. Le plan d'un quelconque des p angles du premier groupe 



dings of the London Mat, Soc, 1901, p. 277-308); la troisième dans le Bull, 
de la Soc. math, de France, t. XXX, 1902, p. ^^'^o, 

Picard, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépen- 
dantes, Paris, 1897. ( Le Ciiapitre II de cet Ouvrage. ) 

Walther Dyck, Beitràge zur « Analysis situs » ( Berichte der Sachs. 
Gesells, d, Wiss., i885, p. 86 et 87; et Math. Ann,, 1890, 1898 ). 



HORS DE l'étendue. 201 

est perpendiculaire aux deux plans A, B et au plan d'un quel- 
conque de ces angles droits. 

a"" n étant pair ou impair, mais a et 6 satisfaisant toujours à 
la condition a-^-b^zzn, soit a le plus petit des deux; alors le 
champ A a pour projection orthogonale sur B un champ A' de 
degré a, et les deux champs A, B ont les mêmes angles que A, A', 
en nombre a, 

30 Si m = a -f- 6 — n > o, les deux champs A, B n'ont plus pour 
intersection un point, mais un champ d,; alors m de leurs 
angles ont la valeur zéro ('). 

II. Les corps réguliers. — On a dû être frappé, § 38, de 
Tanomalie que présente le nombre des solides réguliers exi- 
stants dans les premiers champs : infini dans la Géométrie à 
deux dimensions, ce nombre n'est plus que cinq dans celle à 
trois, et il passe à six dans celle à quatre. La conception de 
pareils corps peut être étendue de champ en champ : avec les 
polyédroïdes réguliers du quatrième comme figures limitantes, 
on cherchera à en former dans le cinquième, et ainsi de suite. 
Alors l'anomalie constatée ne se conserve pas, et le nombre 
dont il s'agit demeure invariablement trois, à partir du cinquième 
champ; nous ignorons à quel fait général se rattache l'existence 
de deux corps en plus dans le troisième champ (l'icosaèdre et le 
dodécaèdre), et de trois dans le quatrième (le G", le G*" et le 
G"*); mais nous avons expliqué (§4-4.) pourquoi il y en a un de 
plus dans celui-ci que dans celui-là. 

Il s'établit donc trois séries qui ont respectivement pour terme 
général G****"*, G*'*, G*", et dont le Tableau suivant montre les pre- 
miers termes, ces deux exceptions étant laissées de côté; elles 
ont été reconnues par Stringham dès i88o. 

(*) Voyez : 

Jordan, Bulletin de la Société mathématique, 1675, p. ia5. 

Gassani, Gli angoli degli Spazt lineari {Bendiconti dei Lincei, l, p. i885; 
Giornale di Battagliniy i885^ et Atti delV Ist. veneto, 1896). 

Gastelnuovo, Angoli di due Spazt contenuti nello Spazio a n dimensioni 
Atti deir Ist. veneto, i885. [Gel Auteur établit élégamment la réalité des 
angles (.voyez § 26, à la fin)]. 

Brun EL, Propriétés métriques des courbes gauches dans un espace linéaire 
à n dimensions {Math. Ann,j t. XIX, 188a, p. 39). 

13. 



202 



CHAPITRE X. 




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4 


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6 


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7 


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3 


carré 


3 


cube 


4 


G» 


5 


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6 


G'> 


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G'* 


2 


carré 


3 


octaèdre 


4 


G» 


5 


G'« 


6 


G" 




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NOMBRE DE FIQDSBS UMITAIITBS : 



sommets. 


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• 


3 


3 




4 


6 


4 


5 


10 


10 


6 


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20 


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21 


35 


8 


28 


56 


4 


4 




8 


12 


6 


i6 


32 


24 


3a 


8o 


80 


64 


192 


240 


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672 


4 


4 




6 


12 


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8 


24 


32 


10 


40 


80 


12 


60 


160 


^4 


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280 



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5 

i5 
35 

70 



8 

40 
160 
56o 



16 

80 

240 

56o 



• 




• 


a 


S 


a 


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6 


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21 


7 




56 


28 


8 


10 






60 


12 




280 


84 


i4 


3a 






192 


64 




672 


448 


128 



Ce Tableau offre de beaux exemples de dualité {§§ 19 et 4^7). On y 
reconnaît: i** que toute figure de la première série est corrélative 
d'elle-même, car chaque ligne donne le même résultat quand on 
la lit de gauche adroite ou de droite à gauche; 2*» que deux figures, 
une de la deuxième série et une de la troisième, situées dans le 
même champ, sont corrélatives Tune de l'autre, car on a le même 
résultat quand on lit une des deux lignes de gauche à droite et 
l'autre de droite à gauche. L'on voit en outre de quelle différente 
manière la correspondance dualistique s'établit entre les champs 
subalternes suivant que le degré du champ fondamental est pair 
ou impair. Si les premiers sont de degrés m et m', ils sont corré- 
latifs quand on a m 4- m' = /i — 1 . 

Puisque nous sommes dans le /i**"*» champ, il faut bien pousser 
le Tableau jusqu'à lui et donner les formules qui lui sont rela- 
tives (*). 



(') Après Stringham, la question a été étudiée par: — Schlegel, Quelques 



HORS DE L'fiT£NDUB. 303 

Ses trois corps réguliers 

sont limités par des solides de même type ayant n — i dimen- 
sions, ceux-ci par d'autres en ayant n — 2, et ainsi de suite jus- 
qu'aux quatre derniers échelons qui sont des cases, des faces, des 
arêtes et des sommets. Le nombre de ceux qui ont k dimensions 
est, pour les trois types: 

k\(t7^^k)\ ' (k^\) ! ( n — ky, ' {k 4-i)"!(/i.- ^ -f- i j ! ' 

k I désignant la factorielle i . 2 . 3 . . . A:. 

Les sommets sont sur une sphère à n dimensions dont le rayon 
est, pour les trois cas, en désignant l'arête par a, 



/ n ni a 



quand n augmente indéfiniment, le rapport du rayon à l'arête 
augmente de même pour le deuxième corps, conserve une valeur 
constante pour le troisième, et tend vers cette même valeur pour le 
premier. 

Les meilleurs endroits pour étudier la géométrie à n dimen- 
sions nous paraissent être les suivants: 

1° Le Mémoire de G. Jordan, déjà cité bien des fois {Bulletin 
delà Soc, Math,, 1876, page io3-i8i). 

2*> D'OviDio, Le funzione metriche fondamentali negli spazt di 
quante si vogliano dimensioni e di curvatura costante {Memorie 
dei Lincei, série III, vol. I, année 1877, p. 929-986). 



ttiéorèmes de Géométrie à n dimensions {Bull, de la Soc. Math, de Fr., i88a, 
p. 172-207). — BiËRMANN, C/eber die regelmàssige Kôrper hoherer Dimension 
{Acad. des Sci. de Vienne, 188^, p. 1 44- 1^9). — Puchta, Analytische Bes- 
timmung der regelmâssigen convexen Kôrper in Bàumen von beliebiger 
Dimension {Id., p. i68-i85). — ScHOUTE, Voordracht over de regelmatige 
Lichamen in Ruimte van meer dimensies dans Algemeine Vergadering van 
het deerde natuur-en Scheikundig Congres te Utrecht, avril 1891). 

[Le Tableau de la page précédente esl enoprunté en grande partie à Procter 
Hall, The Projections of fourfold Figures upon a three-flat {Amer, Journ. 
of Math., t. XV, 1893)]. 



ao4 CHÀPITRB X. 

3® Ybronese, Behandlung der projectivischen Verhàltnissen 
der Baume von verse hiede ne n Dimensionen durch dos Princip der 
Projicirens und Schneidens {Math. Ann., t. XIX, année 1882, 
p. 161-234). 

§ 97. — Le champ de degré infini. 

Et après? Pouvons-nous, sans que jamais cette opération de 
notre pensée rencontre d'obstacle, accumuler toujours les per- 
pendiculaires autour de nous, et multiplier à Vinfini ces champs, 
dont chacun en contient déjà tant d'infinités? Pouvons-nous 
entrevoir cette étendue dernière, vei*s laquelle il semble, non que 
tout converge, mais que tout diverge, dans laquelle les corps 
auraient un nombre infini de dimensions, où des choses corres- 
pondant à nos surfaces et à nos volumes, le contenant et le con- 
tenu, seraient homogènes entre elles? Pouvons-nous seulement 
y penser avec la même tranquillité qu'aux infinis des plans et des 
espaces (§ 7), et espérer en tirer, comme de ceux-ci, un parti géo- 
métrique quelconque ? 

Il semble que cet infini des infinis doive être aussi celui de 
l'imprécision et de la confusion, qu'on n'y puisse rien concevoir, 
pas même un système de cordonnées, sans que l'objet de la 
pensée s'écroule aussitôt. Voici, cependant, un résultat des plus 
curieux, qui a été signalé par M. Heyl, de Philadelphie (*). 

Nous avons donné ( § 33 ) les formules qui expriment le contenu A 
et le contenant B de la circonférence, de la sphère et de l'hyper- 
sphère. Les champs de degré plus élevé nous présentent chacun 
un corps analogue, lieu des points également distants d'un point 
donné. Il est facile d'étendre à ces corps les formules du § 33, 
soit successivement de champ en champ à partir du quatrième, 
soit par une expression générale contenant le nombre n (*). 

Sans recommencer à faire des calculs, nous remarquerons que 
la relation intéressante constatée alors entre les A et les B se con- 
serve comme une sorte de loi générale, et permet de passer faci- 



( ' ) Heyl, Properties of the locus r = constant in spcuce of n dimensions. 
Philadelphie, 1897. 
(*) Voyez BiERMANN, Wiener Sitzungsberichte, 188^, p. iS/j. 



HORS DE l'étbndue. ao5 

lemeut des uns aux autres : elle consiste en ce que le contenu A 
est égal au contenant B multiplié par le rayon et divisé par le 
degré du champ. Aussi nous donnerons dans un Tableau numé- 
rique quelques valeurs de la première fonction seulement ; 
ensuite nous rapprocherons dans un Tableau graphique les deux 
fonctions, le contenu et le contenant. 

Ces Tableaux supposent le rayon r pris pour unité. Il importe 
de remarquer que cette particularisation entraîne la fixation de 
l'unité, qui sera 

pour les A : le mètre élevé à la puissance n, 
pour les B : le mètre élevé à la puissance /i — i , 

n étant le degré du champ: c'est un point qu'on n'a pas le droit 
de perdre de vue lorsqu'on songe à faire croître n indéfiniment. 
Voici d'abord le Tableau numérique : 



YAI.BUK9 

paires 
de n. 



2.... 
4.... 
6.... 

o* * • • 

12.... 
16.... 
20.... 

a/t. . . 



VALBDBB OB ▲. 


TZ — 


3,i4a 


a ~ 


: 4,936 


6 ~ 


5,170 


24- 
720 


4»o6i 
= 1,336 
= o,a35i 


4o3ao 


it>» 


= o,oa58 


36a88oo 


"KV* irr" 
1 'J 


1 r* it r» 
3 n 







VALEURS 

impaires 
de n. 



3 

5 

7 

9 

15 

19 

2/1 — I .. 



VALBUBS DB ▲. 



¥ = 4,-89 



Sic» 

i5 

i6it* 

io5 

Sait* 

64 ir* 

10395 

256 1:' 



2027025 



= 5,264 

::= 4,725 
=3,299 
= 1,885 

= o,38i6 



1024''^* = /66 
654729075 "" ' "* 



2 Tir* Ttr* 



r 



it/*' 



2/1— I 



Les valeurs vont d'abord en croissant, atteignent un maximum 
qui est relativement près de nous, puisqu'il a lieu dans le champ 
du cinquième degré pour les A, celui du septième pour les B, 



2o6 



GHàPITBB \. 



puis elles diminuent et convergent rapidement vers zéro sous la 
forme asymptotique. Le fait s'explique tout naturellement par 
ceci que le facteur au moyen duquel on passe d'un terme de A 
au suivant va en croissant tant que son dénominateur 



2 n 



ou 



3/t 



est moindre que le numérateur Tur*, et va ensuite en décroissant 
indéfiniment. 

On voit donc que, si le degré du champ augmente au delà de 
toute limite, le nombre abstrait qui exprime le contenu, comme 



Fig 65. 



35-« 




1 2 3 <► 5 10 15 

Échelle des degrés des champs. 



celui qui exprime le contenant, tendent avec une marche régu- 
lière vers une limite parfaitement déterminée, qui est zéro pour 
l'un et l'autre. Mais que deviennent les nombres concrets, c'est-à- 
dire les produits des deux unités par ces nombres abstraits? 

Est-ce 0, ou -9 ou 00, ou un nombre déterminé? Nous laissons au 

o 

lecteur le soin de faire cette recherche, qui le jettera, croyons- 
nous, dans les fonctions Gamma de Legendre. 

L'inspection du Tableau graphique suggère deux réflexions. 
La première est que, au lieu de l'indétermination que nous 



HORS DE l'étendue. ^07 

redoutions, nous rencontrons une de ces convergences rapides 
que présentent quelquefois les cas d'asymptotisme, par exemple 
la fameuse courbe de la loi de probabilité des erreurs des obser- 
vations, dont Téquation est (*) 

Nos deux courbes ont la même forme que celle-là. Après leur 
point culminant, elles changent le sens de leur courbure, puis 
s'approchent très vite de l'axe des abscisses, et finissent par se 
confondre avec lui à nos yeux. A partir d'un endroit qui dépasse 
à peine l'abscisse 20, nous pouvons pratiquement leur substituer 
celui-ci, au moins en ce qui concerne la question actuelle; alors 
les champs successifs ne diffèrent plus les uns des autres jusqu'à 
Tinflni. Il serait intéressant de faire une étude spéciale des 
formes géométriques dans ce champ unique en lequel ils 
finissent tous par se confondre. 

La seconde réflexion résulte de la continuité parfaite des 
courbes. On y peut mesui-er les ordonnées qui correspondent à 
des valeurs quelconques de /^, entières ou fractionnaires. Que 
signifient ces dernières, qu'on peut aussi calculer au moyen des 
formules, tout comme les premières, avec telle approximation 
que l'on voudra ? Le géomètre va-t-il se trouver amené à consi- 
dérer des champs de degré fractionnaire, comme il le fut, à son 
grand étonnement, le lendemain de l'invention de la notation 
exponentielle, à considérer des puissances à degré fractionnaire? 



( ' ) Voyez notre Ouvrage : Sur la probabilité du tir des bouches à /eu et la 
Méthode des moindres carrés. Paris, 1875. 



ERRATA. 



Page 4i ligne 12 en remontant. — Au lieu de (3), lire (3). 
Page 21, ligne i5. — Après point, ajouter dans un plan donné. 

» ligne 16. — Après droite, ajouter dans un espace donné. 

» ligne 22. •— Après point, ajouter dans un espace donné. 

Page 65 {/Ig. 8). — Mettre le numérotage des axes, dans la figure de droite, 
en concordance avec la formule qui fait la dernière ligne de la même page. 

Page 71 {/îg, 10). — Remplacer (A) par ( V) dans l'angle XiOx^. 



RECUEILS ACADÉMIQUES ET SCIENTIFIQUES. 209 



RECUEILS ACADÉMIQUES ET SCIENTIFIQUES 

MENTIONNÉS DANS 

LE COURS DE L'OUVRAGE ET ABRÉVIATIONS 
EMPLOYÉES POUR LES DÉSIGNER. 



Acta math. — Acta mathematica, rédigé par Mittag-Leffler; iii-4. 
Stockholm. 

American Journ. 0/ Math. — American Journal of mathematics, 
edited by Thomas Craig, with the coopération of S. Newcomb, under 
the auspices of the John Hopkins University; in-4. Baltimore. 

Ann. de Gergonne. — Annales de Mathématiques pures et appli- 
quées, publiées par Gergonne; in-4. Nismes (de 1810 à 1831). 

Ann, de VÉc. norm, sup, — Annales scientifiques de TÉcole nor- 
male supérieure, publiées sous les auspices du Ministre de l'Instruc- 
tion publique par un comité de rédaction composé des maîtres de 
conférences de TEcole; in-4. Paris. 

Ann. de VÉc, norm. sup. de Pise. — Annali délia r. Scuola supe- 
riore di Pisa; in-8. Pise. 

Ann. di matematica. — Annali di matematica pura ed applicata, 
diretti dal professore F. Brioschi colla cooperazione dei prof. Cremona, 
Beltrami, Dini ; in-4. Milan. 

Archives de GrUnert. — Archiv der Mathematic und Physik, mit 
bcsonderer Berûcksichtigung der BedOrfnisse der Lehrer an den 
hôheren Lehranstalten, gegrQndet vonGrtinert, fortgesetzt von Hoppe; 
in-8. Leipzig. 

Ass.fr. p. l'avanc. des Sci. — Association française pour Tavance- 



2fO RECUEILS ACADÉMIQUES ET SCIENTIFIQUES. 

ment des Sciences; fusionnée avec l'Association scientifique de 
France; Comptes rendus des sessions; in-8. Paris. 

Bull, des Se, math. — Bulletin des Sciences mathématiques et 
astronomiques, rédigé par MM. Darboux et Tannery, sous la direction 
de la Commission des hautes études; in-8. Paris. 

Bull, de la Soc, math, — Bulletin de la Société mathématique de 
France, publié par MM. les Secrétaires; in-8. Paris. 

Bull, of the amer, math. Soc. — Bulletin of the american mathe- 
matical Society, continuation of the Bulletin of the New- York math. 
Soc, edited by Fiske, Ziwet, Modley, Cole, etc.; in-8. New- York. 

C, B, de VAcad. des Se. — Comptes rendus hebdomadaires des 
séances de TAcadémie des Sciences ; in-4. Paris. 

L'Enseign, math, — L'Enseignement mathématique, Revue inter- 
nationale paraissant tous les deux mois. Directeurs : Laisant et Fehr ; 
in-8. Paris. 

Giornale di Battaglini. — Glornale di matematiche di Battaglini 
per il progresse degli studi nelle Università italiane, fondato nel 1863, 
proseguito dal prof. Capelli; grand in-8. Naples. 

Istituto veneto. — Atti del reale Istituto veneto di Scienze, lettere 
ed arti; in-12. Venise. 

Journal de Crelle. — Journal fur die reine und angewandte Mathe- 
matik, gegpûndet von Crelle 1826, forgesetzt von Fuchs; in-4. Berlin. 

Journ. de VÉc. Polyt, — Journal de l'École Polytechnique, publié 
par le Conseil d'administration de cet établissement; iu-4. Paris. 

Leopoldina Nova Acta. — Nova acta AcademiaB Cesareae Leopoldino- 
Carolinse germanicaB naturae curiosorum; in-4. Halle a. S. 

Math. Annalen. — Mathematische Annalen, in Verbindung mit 
Neumann begrOndet durch Clebsch. Unter Mitwirkung der Herren 
Gordan, Neumann, Noether, von der Mtthll, Weber, gegenwftrtig 
herausgegeben von Klein, Walter Dyck und Mayer; in-8. Leipzig. 

Mathesis. — Mathesis, recueil mathématique à l'usage des écoles 



RECUEILS ACADÉMIQUES ET SCIENTIFIQUES. 211 

spéciales et des établissements d'iDstruction moyenne, publié par 
Mansion et Neuberg; in-4. Gand et Paris. 

. Mémothes d'Amsterdam, — Voyez plus loin : Verhandlingen, 

Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bor- 
deaux; grand in-8. Bordeaux. 

Mémoires de Turin, — Memorie délia reale Âccademia délie Scienze 
di Torino; in-4. Turin. 

Memorie dei Lincei. — Memorie délia r. Âccademia dei Lincei; 
grand in-4. Roma. 

Messenger of Matkèmatics. — In-8, Cambridge. 

Monatsberichte. — Monatsberichte der kgl. preussischen Akademie 
der Wissenschaften zu Berlin; in-4. Berlin. 

Nieuw Archief. — Nieuw Archief voor wiskundige uitgegeven door 
het wiskundig Genootschap te Amsterdam, omler Redactievon Kluy- 
ver, Korteweg en Schoute; in-8. Amsterdam. 

Nouv. Ann. — Nouvelles Annales de Mathématiques, journal des 
Candidats aux Écoles spéciales, à la Licence et à l'Agrégation, rédigé 
par Laisant et Antomari; in-8. Paris. 

Novi Comm. Petrop, — Novi commentarii academiaD cientiarum. 
Imp. Petropolitaneœ; in-4. Saint-Pétersbourg. 

Philosophical Magazine, — The London, Edinburgh and Dublin 
philosophical Magazine and Journal of Science, conducted by Lord 
Kelvin, Fitzgerald and Francis; in-8. London. 

Proceedings of Irish Academy, — In-8. Dublin. 

Proceedings of the London mathematical Society, — In-8. London. 

Rendic. di Palermo. — Rendiconti dei Circolo matematico di 
Palermo; grand in-8. Palerme. 

Bev, gén. des Sci, — Revue générale des Sciences pures et appli- 
quées, dirigée par Olivier; grand in-8* Paris. 



2ia RECUEILS ACADÉMIQUES ET SCIENTIFIQUES, 

Rev. phil. — Revue philosophique de la France et de l'étranger, 
dirigée par Th. Ribot; in-8. Paris. 

Reç. scientifique. — Revue scientifique (Revue rose) paraissant le 
samedi, fondée en 1863; directeur : J. Héricourt, in-4. Paris. 

Sitzungsb. de VAc. des Se, de Munich. — Sitzungsberichte der 
math, phjsikalischen Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie der 
Wissenschaften zu Mûiichen; in-4. Munich. 

Sitzungsb , de VAc, des Se, de Vienne. — Sitzungsberichte der 
mathematisch-naturwissenschaftlichen klasse der Kaiserl. Akademio 
der Wissenschaften zu Wien; in-4. Vienne. 

Verhandlingen te Amsterdam. — Verhandlingen der koninklijke 
Akademie van Wettenshapen te Amsterdam; eerste Sectie; grand 
in-8. Amsterdam. 

Zeitschrift fur Philosophie. — Zeitschrift ftir Philosophie und 
philosophische Kritik, gegrûndet von Fichte und Ulrici, redigirtvon 
Krohn und Falkenberg; in-8. Halle a. S. 



FIN. 



TABLE DES MATIÈRES. ai3 



TABLE DES MATIÈRES. 



AVANT-PROPOS. 

Pages. 

I. La Conception des champs successifs v 

1] La non-perception des êtres à quatre dimensions viii 

IJI. Les applications mathématiques xvir 

IV. Les applications physiques xx 

V. Programme de l'Ouvrage xxiii 



CHAPITRE I. 
Définitions. 

1 . Les champs i 

2. Espaces générateurs 4 

3. Conditions déterminatives 5 



CHAPITRE II. 
Intersections et parallélisme. 

4. Un espace et les autres champs .' 9 

5. Deux plans 12 

6. Plans et droites i3 

7. Les figures infiniment éloignées i5 

8. Les multiplicités 20 

CHAPITRE III. 
Perpendicnlarité. 

9. Distance de deux points a3 

10. Distance d'un point à un champ 24 

11 . Applications 27 

12. Perpendicularité de deux champs 28 



2l4 TABLE DBS MATIÈRES. 



CHAPITRE IV. 
Quelles théorèmes. 

Pages. 

13 . Droites, plans et espaces parallèles 3 1 

14 . Droites, plans et espaces perpendiculaires Sa 

15. Rotation d'un espace 38 



CHAPITRE V. 
Systèmes de coordoimées. 

16. Les quatre espaces coordonnés 4^ 

17. Le point géométrique et le point analytique 4^ 

18. La loi de projectivité 4o 

19. La loi de dualité 5i 

20. Notre propre espace dans le système de coordonnées 55 



CHAPITRE VI. 
Les angles. 

21 . Dièdres d'espaces 5(> 

22. Les trois formes classiques de Téquation d'un espace 6i 

23 . Les trièdres 6a 

24. Le quadrièdre droit 63 

25 . La géométrie descriptive à quatre dimensions 66 

26. Angles de deux plans 71 

27. Plans d'angles égaux 76 



CHAPITRE VIT. 
Les êtres de la géométrie à quatre dimensions. 

28. Les lignes, les surfaces et les hypersurfaces 79 

29. L'hypervolume 8a 

30. Quadriques et quartiques 83 

31 . L'hypersphère 85 

32 . L'hypersphère (suite ) ; pôles et polaires 88 

33 . L'hypersphère (suite ) ; contenu et contenant 89 

34 . Les cônes 91 

35. L'échelle des êtres géométriques 9 



* 



TABLE DES MATIÈRES. 2l5 



CHAPITRE VIII. 
Les polyédroîdes. 

Pages . 

36. Généralités gS 

37. Formule d'Euler 99 

38 . La question des polyédroides réguliers 102 

39. Arêtes et sommets. 107 

40. Établissement des coordonnées 1 14 

41 . L'octaédroïde, ou hypercube 118 

42. L'hexadécaédroïde ia8 

43. Le pentaédroîde iSa 

44 L'icosulétraédroïde 137 

45. Construction de Ticosatétraédroîde 148 

46. L'tiexacosiédrolde et rhécatonicosaédroîde 170 

47. Dualité 178 

CHAPITRE IX. 
Applications. 

48. L'axiome des trois dimensions 181 

41). Récapitula lion des qualités de l'espace iS'i 

50. Un Univers à deux dimensions 186 

51 . Matière et Énergie dans l'Univers à deux dimensions 187 

5?. Les trois états des corps 188 

53. Les combinaisons chimiques . . 189 

54. Les décompositions chimiques 191 



CHAPITRE X. 
Hors de retendue. 

55 . Les perpendiculaires ... 195 

56. Le champ de degré n 198 

57. Le champ de degré infini ao4 

Errata ao8 

RECUEILS ACADEMIQUES ET SCIENTIFIQUES MENTIONNÉS DANS LE COURS DE 
l'ouvrage ET ABRÉVUT10N3 EMPLOYÉES POUR LES DÉSIGNER 309 

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. 



3229i — PARIS, IMPRIMERIE GAUTHIER-MLLARS, 
55, quai des Grands- Augustins.